о размерности: литры, люди, километры и часы

[avva]

Эта запись продолжает предыдущую "о литрах, людях и умножении" - начните с нее, если еще не читали.

Сейчас я расскажу вам, что я лично для себя нового понял из всей этой истории. Не знаю, как для вас, а для меня это понимание было совершенно неожиданным, даже ошеломительным. Я думал, что все понимаю в задаче про 18 литров и вычислении размерностей, а оказалось, что самое важное понимаю не до конца.

Я сидел и читал довольно долго отрывки из разных учебников арифметики 19 века вчера, некоторые из которых процитировал в прошлой записи. И все не мог понять, зачем же им нужны эти странные правила, что только множимое может быть конкретным (литры, люди, метры, доллары), а множитель обязательно абстрактным (разы)? Ведь действительно, самый простой способ записать пример с литрами, чтобы все размерности сходились - это
"2л/ч * 9ч = 18л". Тут все учтено и все логично, и ведь сказано в условии, что по два литра на человека. Или возьмите другой тривиальный пример, который приводили: машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько она проехала? Понятно же, что 2ч * 60км/ч = 60км/ч * 2ч = 120км, порядок значения не имеет, часы в любом случае сокращаются и размерности обоих множителей важны для этого. А если по этим книгам 19 века, то непонятно даже, как это записать логично. Почему же они так извращались?

Я вам сейчас задам несколько риторических вопросов, а вы в них вдумайтесь, как следует, не отвергайте как глупые сразу, ладно?

Машина едет со скоростью 60 километров в час. Или, как мы записываем, 60 км/ч. Единица измерения - единица скорости - км/ч.

Скажите, друзья, а что это такое - поделить километр на час? Какой у этого действия смысл? Когда это вы такое видели? Я знаю, что такое поделить километр на 10 равных частей, например. Поделить пирог на три куска. Поделить 18 на 3. Это все я понимаю. А что такое "поделить километр на час"?

Фермер продал 9 покупателям по 2 литра на человека, мы записываем 2 л/чел * 9чел = 18л. Извините, а что это такое "л/чел"? Как это - поделить литр на человека? Как вы себе такое представляете?

Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час. Я знаю, что такое литр на человека, это значит, что один человек получает один литр. Но я не знаю, что такое литр поделить на человека, если пользоваться тем понятием 'деление', которое мы знаем из арифметики. То, в котором можно поделить пирог на троих или 10 на 2.

Но мы говорим вслух "километр в час", а записываем км/ч. Говорим вслух "литр на человека", а записываем л/ч. Я осознал, что я это делаю, не задумываясь ни на секунду о том, что это несколько разные вещи. Я предлагаю вам продумать это, как следует - ведь это прекрасно совершенно, мы постоянно пишем бессмыслицу, не задумываясь об этом! (я преувеличиваю ради риторики, это не бессмыслица, конечно, но можно так на это посмотреть). Все эти км/ч - что это такое вообще?

"км/ч" - это использование, повседневное и незаметное, метода размерностей. "км/ч" - это такой способ записать алгебраически обычное и понятное "километр в час", чтобы потом обычными правилами умножения этих абстрактных единиц все "правильно сократилось". Когда мы записываем 60 км/ч * 2 ч = 120 км, то все удобно сокращается, потому что мы так специально подстроили, записав км/ч в виде дроби. По природе своей в этом понятии скорости нет дроби в арифметическом смысле, нет деления, как мы его знаем из арифметики.

Каковы на самом деле единицы скорости, что такое "60 километров в час"? Это фиксирование определенного масштабирования, определенного способа совместить шкалу "километры" и шкалу "часы". В этом нет ничего от "деления", но у этой операции общие свойства с делением. Если мы берем сколько-то "километров в час" и умножаем их на сколько-то "часов", то в результате будут только "километры". Это раз. Более того, если мы изменим масштаб километров (перейдем в метры, скажем), то скорость изменится в одну сторону, а если изменим масштаб часов, то в другую (километры в метры - скорость увеличится; часы в секунды - уменьшится). Это ровно то, что происходит с делением: если делитель увеличить, частное увеличится, делимое увеличить - частное уменьшится. Выходит, что эту операцию фиксации масштаба, операцию "в,на", удобно записать в виде деления "км/ч", и все единицы размерности будут себя вести ровно так, как нам надо.

Но кто-то должен был это придумать. Это не очевидно "просто так", что можно взять и записать "километр в час" как км/ч. И я не знаю, когда это придумали, но в 19-м веке, судя по всему, так не делали! Я просмотрел, например, несколько учебников механики 19 века. Когда там описывается скорость, везде пишут "feet per second" итд., нигде ни разу не написано "f/s" или m/s или еще как. Нам кажется странным, что они так не писали, а с их точки зрения, вполне резонной, это же полный бред: как можно метры поделить на секунду, зачем писать такую чепуху???

(да, они умели, конечно, оперировать многочленами, и понимали, что такое x/y. Но зачем, с их точки зрения, относиться к конкретным метрам и секундам как к неизвестным величинам x и y? Опять-таки, бред какой-то).

В "Британнике" за 1911 год я прочитал статью о единицах измерения, и там сказано, что метод размерностей впервые был сформулирован в 1822 году, в книге Фурье "Аналитическая теория тепла". Вот соответствующий раздел этой книги в английском переводе (раздел "General remarks"). Фурье объясняет там, что в каждом физическом уравнении размерности длины/времени/температуры/итд. с двух сторон должны быть одинаковыми, и этим удобно пользоваться. Но он не пишет, как написали бы мы сейчас, что если слева m/s^2, то и справа должно быть m/s^2. Он не делит метры на секунды! Он пишет, что в такой ситуации у длины есть экспонента +1 с обеих сторон уравнения, а у времени экспонента -2. И объясняет, что это значит, с точки зрения перехода на другие единицы (скажем, если экспонента длины +1, то увеличив длину в 10 раз, мы увеличим значение в 10 раз, а если -1, то уменьшим в 10 раз). Но ему не приходит в голову взять эти единицы размерности и записать их делением (или умножением!). Это определенный дополнительный абстрактный шаг, который кто-то когда-то придумал позже, возможно, в конце 19-го века или даже начале 20-го. Я бы хотел проследить, кто и когда (если у вас есть идеи, поделитесь).

И вот это меня ошеломило, на самом деле - что столь очевидное для меня км/ч или л/чел или что угодно еще на самом деле даже в конце 19-го века не использовалось широко, и всего за последние 100 лет так твердо вошло в наш математический язык, что школьники сейчас пользуются этим, не задумываясь ни на секунду.

Но вот что следует признать из всего этого, и опять-таки мне это было нетривиально понять - что как минимум школьникам в младших классах, которым только объясняют, что такое умножение, объяснять "2 л/чел * 9 чел" было бы совершенно неправильно. Нам эти 2л/чел кажутся совершенно прозрачным способом написать "2 литра на человека", но на самом деле это нетривиальная абстракция (до которой в 19-м веке не додумались!), в определенном смысле "нечестное" использование деления - которого эти школьники вообще еще не знают - для того, чтобы сошлись размерности. Это не значит, что я согласен с защитниками того самого учителя, нет; все равно и 2*9, и 9*2 надо считать правильным ответом. Но до того, как я обо всем этом как следует подумал, я бы наивно предложил объяснить детям про 2л/чел, а теперь понимаю, что это куда сложнее, чем материал "что такое умножение", который они проходят.

Comments

[janatem.livejournal.com]

Когда я писал свой пост про эти несчастные литры и человеков, тоже задумывался о том, где лежит обоснование этой, грубо говоря, теории размерностей. Почему можно приписать величинам размерности и почему они должны формально совпадать в обеих частях равенства. Я не смог внятно ответить себе на этот вопрос. Невнятный ответ звучит так: философски-неформальное обоснование идет из физики, а математического обоснования как такового нет — есть ad hoc формализм, который получился непротиворечивыми (что можно в некотором смысле «доказать», если смотреть на преобразования формул как на манипуляции с символами) и полезным на практике.

PS. А имперская система раздражает меня не только единицами одной размерности, коряво выражающиеся друг через друга, но и обозначениями типа mph (которое вызывает твердую ассоциацию). Еще доставляет такая единица как FLOPS, про которую не могут решить, то ли это FLoating OPerations per Second, то ли просто FLoating OPerationS. Как будто люди боятся поставить знак деления или умножения между единицами размерностей. Скорее всего, это дань консерватизму, а современные обозначения появились, действительно, недавно — в XX веке.

[onemorepash.livejournal.com]

Насчет совпадения размерностей в обеих частях — вроде бы как есть какая-то теорема по этому поводу: http://ufn.ru/ufn53/ufn53_1/Russian/r531n.pdf

В сущности, анализ размерности — это довольно хорошо разработанная дисциплина. Мне когда-то в институте про это немножко рассказывали, но я почти все забыл. В частности даже приводили пример какой-то достаточно известной физической формулы, которую то ли вообще невозможно получить никаким способом, кроме как анализом размерности, то ли можно, но как-то очень через одно место.

Ключевым философским понятием, про которое математика ничего не знает, мне кажется, можно считать понятие независимой размерности. Определение ее действительно чисто умозрительное: величины с независимыми размерностями нельзя представить в виде комбинации других величин с независимыми размерностями. Или, что то же самое, из величин с независимыми размерностями нельзя построить безразмерного комплекса.

Собственно, похоже (мне кажется), что вся фундаментальность вопроса в это и упирается. Так же как независимые события являются ключевым фактором, отличающими теорию вероятности от функана и другой математики про пространства с мерой.

Впрочем в математике ведь, мера — всегда сопоставление чисел (удовлетворяющих каким-то требованиям, но без всякого закона, т. е. математичка не отвечает на вопрос КАК выбираются числа) элементам множества. Соответственно, откуда берется эта независимость, математика действительно ничего не знает.

Даже в школьном учебнике геометрии длина и площадь определены именно как мера, т. е., сопоставленные объектам, которые должны удовлетворять требованиям типа аддитивности, неотрицательности и т. п., но про ответ на вопрос Анатолия там ничего не говорится (и правильно, потому что это не про математику).

Я не буду тут фантазировать на тему, в которой не силен, но-моему, если вооружиться понятием независимых размерностей, то все остальное, включая необходимость совпадения размерностей в левой и правой частях равенства, выводится чисто формально-математическими методами примерно теми же способами, какими исследуется возможность перехода от базиса к базису, линейная независимость и т. п.

[janatem.livejournal.com]

Вообще-то анализ размерностей — довольно опасная штука. Он не дает способа узнать значение истинно безразмерного коэффициента (например, синус угла, экспонента от безразмерной величины) и позволяет впасть в иллюзию, что задача решена. Хотя, конечно, он полезен как инструмент фальсификации — чтобы находить некоторый класс ошибок.

Что касается математического обоснования правил работы с размерностями, то наверняка можно выделить совсем малую часть, которую придется постулировать, а всё остальное хозяйство с достаточной степенью строгости выведется из него. Вопрос — может ли эта «малая часть» оказаться совсем пустой, то есть, выводима ли теория размерности без дополнительных предположений?

[onemorepash.livejournal.com]

Про второй абзац. Ну вот по-моему нет, не выводима. Иначе зачем бы математике давать такие определения длине, площади и вероятности, какие нынче есть?

Другое дело — стоит ли учитывать этот фактор (что «малая часть» фундамента не пуста) при ответе на вопрос о значимости порядка множителей. Тут я бы сказал, что это скорее вредно.

[onemorepash.livejournal.com]

Что же касается первичного вопроса о порядке множителей (кстати, меня в 89-90 году тоже за это в школе драли, и я тоже не понимал, что это за бред ­— в смысле, тема совсем даже не новая), то тут все сводится к вопросу о первичности математики (см. дуэль Арнольд-Серр вокруг Бурбакизма: http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM)

Если мы детей учим тому, что математика [сначала] является следствием и языком описания объективной физической реальности, то соображения относительно правильного порядка приобретают смысл, как следствие разговора о смысле умножения. Хотя тут, действительно логичнее писать 2 раза по 9 яблок, а не наоборот (ведь 2x+3y, а не x2+y3).

Если же математика — это отдельный язык, который существует сам по себе, и который можно использовать для описания явлений физического мира, но сам по себе он этому миру ничего не должен — то природа умножения к литрам и людям никакого отношения не имеет, и не стоит парить детям мозг этой фигней.

С одной стороны я считаю позицию Арнольда (математика — продолжение физики) более убедительной, с другой — мне кажется, что для ничто так не мешает изучению математики, как бесконечные попытки связать изучаемое с объективной реальностью.

[janatem.livejournal.com]

Мне кажется, мы тут заходим в какие-то совсем другие дебри из области философии математики. Поверхностный слой критики бурбакизма от Арнольда заключается в непривычных обозначениях. (Да, 0<0 выглядит непривычно, но моя гипотеза в том, что Бурбаки хотели сделать единообразным обозначения для знака неравенства < и знака включения подмножества ⊂ . А что считать наименьшим натуральным числом — всего лишь условность.) Более глубокий вопрос о месте математики относительно физики можно долго обсуждать, но это будет офтопик.

Что касается обсуждаемой здесь темы, то я вынужден смягчить категоричность своих высказываний.

1. Хотя «правильный» порядок сомножителей может вызывать споры, всегда можно зафиксировать таковой в определении умножения через сложения. Есть соображения и за тот, и за другой порядок, но это всего лишь война остро- и тупоконечников.

2. Я склонен согласиться с основным тезисом данного поста Анатолия о том, что понятие размерности не является совсем уж базовым, и было бы неправильно опираться на него, если речь идет об обучении школьников умножению.

Тем не менее, остается очень сильное обоснование того, что оба варианта 2*9 и 9*2 правильны. (Тривиальное обоснование заключается в том, что мы всегда можем явно или неявно применить теорему о коммутативности умножения. Но его тоже отбросим.) А именно, задачу можно переформулировать двояко: (а) 9 раз произошла покупка по 2 литра, ответ записывается в виде 2+...+2 (9 раз); (б) было обслужено 9 покупателей (каждому по литру) и так 2 раза, ответ 9+9. Полагаю, что всякая задача на умножение такого рода допускает аналогичную двоякую интерпретацию. Правда, для некоторых задач одна интерпретация кажется «естественней» чем другая, и я придумал пример с картами, где, как мне кажется, наблюдается полная симметрия.

[onemorepash.livejournal.com]

Ну, в сущности, я с вами во всем согласен. Ну разве что кроме «Поверхностный слой критики бурбакизма от Арнольда заключается в непривычных обозначениях.» Ну да не суть.

Просто вопрос все же чуть в другом: правильно ли в преподавании умножения делать такой упор на его связи со сложением или лучше наоборот, как можно скорее переходить к «абстрактной операции с такими-то свойствами». При втором подходе вопрос порядка множителей отпадает сам собой, его просто нет, и не нужно прибегать к ментальным выкрутасам по выявлению более и менее естественной формулировки задачи.

Я скорее за второй подход. Потому что:

1. В школьном образовании уже параллельно с этой ментальной чистотой изучается сколько угодно понятий, которые предлагаются как данность. Школьная физика вся сплошь из них состоит. И в математике потом ту же производную определяют как предел, а что такое предел — ну, типа, интуитивно понятно. Ну и как бы странно блюсти после этого такую строгую девственность ради, собственно, девственности самой по себе.

2. Как я у же писал, лично на мой вкус, «привязанность к земле» мешает изучению математики, мешает абстрактному мышлению.

3. Де-факто все равно всю эту нарочитую связь со сложением школьники не слишком воспринимают, а просто делают, как им сказали. Хотя про коммутативность им к этому времени они уже все знают. Поэтому вместо девственности, как обычно, получается фарисейство, в чем тоже мало хорошего.

[asox.livejournal.com]

С размерностями, чисто формально - 10 метров - это "число десять" умножить на некий эталон длины - "метр", ну или повторить оный метр десять раз.
Поскольку все размерные величины, подставляемые в формулы имеют свои размерности - то "на выходе" тоже должна быть соответствующия размерность.
В XIX веке и раньше, с его зоопарком величин - это было далеко не очевидно, ибо везде вводились размерные коэффициенты.
Сейчас размерных коэффициентов без нужды стараются избегать.
Как-то так.

[janatem.livejournal.com]

> Сейчас размерных коэффициентов без нужды стараются избегать.
Этот тезис мне неясен. По-моему, оразмеривают и обезрамеривают по мере надобности в зависимости от задачи.

[asox.livejournal.com]

В теорфизике, насколько я слышал - лишних размерных коэффициентов стараются избегать.
Т.е. можно написать F=ma, выразив ускорение, массу и силу через совершенно произвольные единицы (ну, скажем, если сила выражается через килограмм-силу F[кГ], - то m[кг]a[m/c²] нужно домножить на (1/g)[m/c²], что затеняет физический смысл формулы. А бывают куда более лихие вещи - скажем, я видел формулы аэродинамики записанные в этой ситстеме. Там плотность, по-моему, выражалась в кг*с²/м⁴ - т.е. "обычную" плотность делили на ускорение свободного падения.

[migmit.livejournal.com]

А в чём проблема с математическим обоснованием-то?

Давайте пока займёмся непрерывными вещами - скажем, перемещением и временем.

Как координаты, так и моменты времени представляют собой одномерное афинное пространство над полем вещественных чисел R. Изменения координат и времени, соответственно, дают одномерное векторное пространство. Оно, как известно, может быть отождествлено с самим R после выбора одного-единственного ненулевого вектора из него - образующего. Этот вектор и означает размерность.

Мы можем проделывать с одномерными векторными пространствами разные фокусы, получая при этом новые одномерные пространства. Например, мы можем взять их тензорное произведение. При этом, если мы выбрали образующие в самих пространствах (скажем, e и f), то образующий в тензорном произведении традиционно выбирается как тензорное произведение e и f. Мы пишем умножение размерностей, но имеем в виду при этом именно тензорное произведение соответствующих векторов.

Другой фокус - взять сопряжённое пространство. При этом, если в исходном пространстве выбран образующий e, то в сопряжённом пространстве есть сопряжённый ему образующий e*. Как известно, тензорное произведение одномерного пространства и сопряжённого к нему можно канонически отождествить с основным полем (т.е., R), причём при этом отождествлении тензорное произведение e и e* перейдёт в единицу. Значит, имеет смысл размерность, соответствующую e*, взять обратной к той, которая соответствует e, чтобы при умножении всё сошлось.

Почему размерности слева и справа должны сойтись? Потому что иначе слева и справа окажутся вектора из разных пространств, которые бессмысленно сравнивать. Если же размерности совпадают, то пространства слева и справа, если и не равны, то канонически отождествимы, что то же самое.

[janatem.livejournal.com]

Непонятно, почему сопряженное пространство можно сопоставить обратной размерности. Свертка ковектора с вектором (a, b) линейно зависит от ковектора, а чтобы коверктор отождествить с обратной размерностью, надо чтобы было (ka, b) = 1/k(a, b).

Также кажется странным возведение размерности в степень: квадратный метр — он и в Африке квадратный метр, а здесь получается произведение двух «разных» метров, которые между собой не отождествляются.

[migmit.livejournal.com]

> Непонятно, почему сопряженное пространство можно сопоставить обратной размерности.

Я написал, почему. Потому что произведение пространства (одномерного!) и сопряжённого к нему КАНОНИЧЕСКИ (т.е., независимо ни от чего) отождествляется с основным полем (т.е., с безразмерными величинами).

> а здесь получается произведение двух «разных» метров, которые между собой не отождествляются.

Почему не отождествляются?

[janatem.livejournal.com]

> КАНОНИЧЕСКИ
Имелось в виду ad hoc?

Ну ладно, пусть размерности соответствует векторное поле, тогда размерной величине соответствует элемент этого поля, так что ли? Но это странно, поскольку реально величине соответствует ровно одной число — ее значение, и оно скалярное. В общем случае довольно затруднительно поставить в соответствие вектору скаляр. Если, например, брать компонентное представление вектора в каноническом базисе, и говорить, что ему соответствует число, равное произведению компонент, то получится, что у величины куча прообразов в векторном пространстве.

В частности, про квадратные метры: должно как-то подразумеваться, что имеет место отождествление A1 * A2 = A2 * A1, где A1, A2 — одномерные пространства, соответствующие метру, а * — декартово произведение. В общем, как-то слишком искусственно выглядит.

[migmit.livejournal.com]

> Имелось в виду ad hoc?

В каком смысле ad hoc?

> пусть размерности соответствует векторное поле,

Векторное пространство.

> тогда размерной величине соответствует элемент этого поля, так что ли?

Этого пространства. Да.

> Но это странно, поскольку реально величине соответствует ровно одной число — ее значение, и оно скалярное.

Это в точности соответствие между вектором и его координатой. Зависит от выбора базиса (в данном случае состоящего из одного вектора).

> Если, например, брать компонентное представление вектора в каноническом базисе, и говорить, что ему соответствует число, равное произведению компонент, то получится, что у величины куча прообразов в векторном пространстве.

Постарайтесь не пропускать слово "одномерное" при чтении. ОДНОМЕРНОЕ векторное пространство. У каждого вектора в любом базисе ровно ОДНА координата.

> а * — декартово произведение.

НЕ декартово. Тензорное. Декартово произведение одномерных пространств двумерно, так что не годится. Тензорное произведение одномерных пространств одномерно.

[janatem.livejournal.com]

> векторное поле
Да, я глупо оговорился, везде имел в виду векторное пространство.

Хм, действительно, размерности пространств-произведений равны, как требуется, единице. Перевариваю соответствие между тензором и размерной величиной... Выходит, что атомарная физическая величина соответствует индексу тензора (точнее, местоположению индекса).