![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЭта запись продолжает предыдущую "о литрах, людях и умножении" - начните с нее, если еще не читали.
Сейчас я расскажу вам, что я лично для себя нового понял из всей этой истории. Не знаю, как для вас, а для меня это понимание было совершенно неожиданным, даже ошеломительным. Я думал, что все понимаю в задаче про 18 литров и вычислении размерностей, а оказалось, что самое важное понимаю не до конца.
Я сидел и читал довольно долго отрывки из разных учебников арифметики 19 века вчера, некоторые из которых процитировал в прошлой записи. И все не мог понять, зачем же им нужны эти странные правила, что только множимое может быть конкретным (литры, люди, метры, доллары), а множитель обязательно абстрактным (разы)? Ведь действительно, самый простой способ записать пример с литрами, чтобы все размерности сходились - это
"2л/ч * 9ч = 18л". Тут все учтено и все логично, и ведь сказано в условии, что по два литра на человека. Или возьмите другой тривиальный пример, который приводили: машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько она проехала? Понятно же, что 2ч * 60км/ч = 60км/ч * 2ч = 120км, порядок значения не имеет, часы в любом случае сокращаются и размерности обоих множителей важны для этого. А если по этим книгам 19 века, то непонятно даже, как это записать логично. Почему же они так извращались?
Я вам сейчас задам несколько риторических вопросов, а вы в них вдумайтесь, как следует, не отвергайте как глупые сразу, ладно?
Машина едет со скоростью 60 километров в час. Или, как мы записываем, 60 км/ч. Единица измерения - единица скорости - км/ч.
Скажите, друзья, а что это такое - поделить километр на час? Какой у этого действия смысл? Когда это вы такое видели? Я знаю, что такое поделить километр на 10 равных частей, например. Поделить пирог на три куска. Поделить 18 на 3. Это все я понимаю. А что такое "поделить километр на час"?
Фермер продал 9 покупателям по 2 литра на человека, мы записываем 2 л/чел * 9чел = 18л. Извините, а что это такое "л/чел"? Как это - поделить литр на человека? Как вы себе такое представляете?
Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час. Я знаю, что такое литр на человека, это значит, что один человек получает один литр. Но я не знаю, что такое литр поделить на человека, если пользоваться тем понятием 'деление', которое мы знаем из арифметики. То, в котором можно поделить пирог на троих или 10 на 2.
Но мы говорим вслух "километр в час", а записываем км/ч. Говорим вслух "литр на человека", а записываем л/ч. Я осознал, что я это делаю, не задумываясь ни на секунду о том, что это несколько разные вещи. Я предлагаю вам продумать это, как следует - ведь это прекрасно совершенно, мы постоянно пишем бессмыслицу, не задумываясь об этом! (я преувеличиваю ради риторики, это не бессмыслица, конечно, но можно так на это посмотреть). Все эти км/ч - что это такое вообще?
"км/ч" - это использование, повседневное и незаметное, метода размерностей. "км/ч" - это такой способ записать алгебраически обычное и понятное "километр в час", чтобы потом обычными правилами умножения этих абстрактных единиц все "правильно сократилось". Когда мы записываем 60 км/ч * 2 ч = 120 км, то все удобно сокращается, потому что мы так специально подстроили, записав км/ч в виде дроби. По природе своей в этом понятии скорости нет дроби в арифметическом смысле, нет деления, как мы его знаем из арифметики.
Каковы на самом деле единицы скорости, что такое "60 километров в час"? Это фиксирование определенного масштабирования, определенного способа совместить шкалу "километры" и шкалу "часы". В этом нет ничего от "деления", но у этой операции общие свойства с делением. Если мы берем сколько-то "километров в час" и умножаем их на сколько-то "часов", то в результате будут только "километры". Это раз. Более того, если мы изменим масштаб километров (перейдем в метры, скажем), то скорость изменится в одну сторону, а если изменим масштаб часов, то в другую (километры в метры - скорость увеличится; часы в секунды - уменьшится). Это ровно то, что происходит с делением: если делитель увеличить, частное увеличится, делимое увеличить - частное уменьшится. Выходит, что эту операцию фиксации масштаба, операцию "в,на", удобно записать в виде деления "км/ч", и все единицы размерности будут себя вести ровно так, как нам надо.
Но кто-то должен был это придумать. Это не очевидно "просто так", что можно взять и записать "километр в час" как км/ч. И я не знаю, когда это придумали, но в 19-м веке, судя по всему, так не делали! Я просмотрел, например, несколько учебников механики 19 века. Когда там описывается скорость, везде пишут "feet per second" итд., нигде ни разу не написано "f/s" или m/s или еще как. Нам кажется странным, что они так не писали, а с их точки зрения, вполне резонной, это же полный бред: как можно метры поделить на секунду, зачем писать такую чепуху???
(да, они умели, конечно, оперировать многочленами, и понимали, что такое x/y. Но зачем, с их точки зрения, относиться к конкретным метрам и секундам как к неизвестным величинам x и y? Опять-таки, бред какой-то).
В "Британнике" за 1911 год я прочитал статью о единицах измерения, и там сказано, что метод размерностей впервые был сформулирован в 1822 году, в книге Фурье "Аналитическая теория тепла". Вот соответствующий раздел этой книги в английском переводе (раздел "General remarks"). Фурье объясняет там, что в каждом физическом уравнении размерности длины/времени/температуры/итд. с двух сторон должны быть одинаковыми, и этим удобно пользоваться. Но он не пишет, как написали бы мы сейчас, что если слева m/s^2, то и справа должно быть m/s^2. Он не делит метры на секунды! Он пишет, что в такой ситуации у длины есть экспонента +1 с обеих сторон уравнения, а у времени экспонента -2. И объясняет, что это значит, с точки зрения перехода на другие единицы (скажем, если экспонента длины +1, то увеличив длину в 10 раз, мы увеличим значение в 10 раз, а если -1, то уменьшим в 10 раз). Но ему не приходит в голову взять эти единицы размерности и записать их делением (или умножением!). Это определенный дополнительный абстрактный шаг, который кто-то когда-то придумал позже, возможно, в конце 19-го века или даже начале 20-го. Я бы хотел проследить, кто и когда (если у вас есть идеи, поделитесь).
И вот это меня ошеломило, на самом деле - что столь очевидное для меня км/ч или л/чел или что угодно еще на самом деле даже в конце 19-го века не использовалось широко, и всего за последние 100 лет так твердо вошло в наш математический язык, что школьники сейчас пользуются этим, не задумываясь ни на секунду.
Но вот что следует признать из всего этого, и опять-таки мне это было нетривиально понять - что как минимум школьникам в младших классах, которым только объясняют, что такое умножение, объяснять "2 л/чел * 9 чел" было бы совершенно неправильно. Нам эти 2л/чел кажутся совершенно прозрачным способом написать "2 литра на человека", но на самом деле это нетривиальная абстракция (до которой в 19-м веке не додумались!), в определенном смысле "нечестное" использование деления - которого эти школьники вообще еще не знают - для того, чтобы сошлись размерности. Это не значит, что я согласен с защитниками того самого учителя, нет; все равно и 2*9, и 9*2 надо считать правильным ответом. Но до того, как я обо всем этом как следует подумал, я бы наивно предложил объяснить детям про 2л/чел, а теперь понимаю, что это куда сложнее, чем материал "что такое умножение", который они проходят.
Сейчас я расскажу вам, что я лично для себя нового понял из всей этой истории. Не знаю, как для вас, а для меня это понимание было совершенно неожиданным, даже ошеломительным. Я думал, что все понимаю в задаче про 18 литров и вычислении размерностей, а оказалось, что самое важное понимаю не до конца.
Я сидел и читал довольно долго отрывки из разных учебников арифметики 19 века вчера, некоторые из которых процитировал в прошлой записи. И все не мог понять, зачем же им нужны эти странные правила, что только множимое может быть конкретным (литры, люди, метры, доллары), а множитель обязательно абстрактным (разы)? Ведь действительно, самый простой способ записать пример с литрами, чтобы все размерности сходились - это
"2л/ч * 9ч = 18л". Тут все учтено и все логично, и ведь сказано в условии, что по два литра на человека. Или возьмите другой тривиальный пример, который приводили: машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько она проехала? Понятно же, что 2ч * 60км/ч = 60км/ч * 2ч = 120км, порядок значения не имеет, часы в любом случае сокращаются и размерности обоих множителей важны для этого. А если по этим книгам 19 века, то непонятно даже, как это записать логично. Почему же они так извращались?
Я вам сейчас задам несколько риторических вопросов, а вы в них вдумайтесь, как следует, не отвергайте как глупые сразу, ладно?
Машина едет со скоростью 60 километров в час. Или, как мы записываем, 60 км/ч. Единица измерения - единица скорости - км/ч.
Скажите, друзья, а что это такое - поделить километр на час? Какой у этого действия смысл? Когда это вы такое видели? Я знаю, что такое поделить километр на 10 равных частей, например. Поделить пирог на три куска. Поделить 18 на 3. Это все я понимаю. А что такое "поделить километр на час"?
Фермер продал 9 покупателям по 2 литра на человека, мы записываем 2 л/чел * 9чел = 18л. Извините, а что это такое "л/чел"? Как это - поделить литр на человека? Как вы себе такое представляете?
Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час. Я знаю, что такое литр на человека, это значит, что один человек получает один литр. Но я не знаю, что такое литр поделить на человека, если пользоваться тем понятием 'деление', которое мы знаем из арифметики. То, в котором можно поделить пирог на троих или 10 на 2.
Но мы говорим вслух "километр в час", а записываем км/ч. Говорим вслух "литр на человека", а записываем л/ч. Я осознал, что я это делаю, не задумываясь ни на секунду о том, что это несколько разные вещи. Я предлагаю вам продумать это, как следует - ведь это прекрасно совершенно, мы постоянно пишем бессмыслицу, не задумываясь об этом! (я преувеличиваю ради риторики, это не бессмыслица, конечно, но можно так на это посмотреть). Все эти км/ч - что это такое вообще?
"км/ч" - это использование, повседневное и незаметное, метода размерностей. "км/ч" - это такой способ записать алгебраически обычное и понятное "километр в час", чтобы потом обычными правилами умножения этих абстрактных единиц все "правильно сократилось". Когда мы записываем 60 км/ч * 2 ч = 120 км, то все удобно сокращается, потому что мы так специально подстроили, записав км/ч в виде дроби. По природе своей в этом понятии скорости нет дроби в арифметическом смысле, нет деления, как мы его знаем из арифметики.
Каковы на самом деле единицы скорости, что такое "60 километров в час"? Это фиксирование определенного масштабирования, определенного способа совместить шкалу "километры" и шкалу "часы". В этом нет ничего от "деления", но у этой операции общие свойства с делением. Если мы берем сколько-то "километров в час" и умножаем их на сколько-то "часов", то в результате будут только "километры". Это раз. Более того, если мы изменим масштаб километров (перейдем в метры, скажем), то скорость изменится в одну сторону, а если изменим масштаб часов, то в другую (километры в метры - скорость увеличится; часы в секунды - уменьшится). Это ровно то, что происходит с делением: если делитель увеличить, частное увеличится, делимое увеличить - частное уменьшится. Выходит, что эту операцию фиксации масштаба, операцию "в,на", удобно записать в виде деления "км/ч", и все единицы размерности будут себя вести ровно так, как нам надо.
Но кто-то должен был это придумать. Это не очевидно "просто так", что можно взять и записать "километр в час" как км/ч. И я не знаю, когда это придумали, но в 19-м веке, судя по всему, так не делали! Я просмотрел, например, несколько учебников механики 19 века. Когда там описывается скорость, везде пишут "feet per second" итд., нигде ни разу не написано "f/s" или m/s или еще как. Нам кажется странным, что они так не писали, а с их точки зрения, вполне резонной, это же полный бред: как можно метры поделить на секунду, зачем писать такую чепуху???
(да, они умели, конечно, оперировать многочленами, и понимали, что такое x/y. Но зачем, с их точки зрения, относиться к конкретным метрам и секундам как к неизвестным величинам x и y? Опять-таки, бред какой-то).
В "Британнике" за 1911 год я прочитал статью о единицах измерения, и там сказано, что метод размерностей впервые был сформулирован в 1822 году, в книге Фурье "Аналитическая теория тепла". Вот соответствующий раздел этой книги в английском переводе (раздел "General remarks"). Фурье объясняет там, что в каждом физическом уравнении размерности длины/времени/температуры/итд. с двух сторон должны быть одинаковыми, и этим удобно пользоваться. Но он не пишет, как написали бы мы сейчас, что если слева m/s^2, то и справа должно быть m/s^2. Он не делит метры на секунды! Он пишет, что в такой ситуации у длины есть экспонента +1 с обеих сторон уравнения, а у времени экспонента -2. И объясняет, что это значит, с точки зрения перехода на другие единицы (скажем, если экспонента длины +1, то увеличив длину в 10 раз, мы увеличим значение в 10 раз, а если -1, то уменьшим в 10 раз). Но ему не приходит в голову взять эти единицы размерности и записать их делением (или умножением!). Это определенный дополнительный абстрактный шаг, который кто-то когда-то придумал позже, возможно, в конце 19-го века или даже начале 20-го. Я бы хотел проследить, кто и когда (если у вас есть идеи, поделитесь).
И вот это меня ошеломило, на самом деле - что столь очевидное для меня км/ч или л/чел или что угодно еще на самом деле даже в конце 19-го века не использовалось широко, и всего за последние 100 лет так твердо вошло в наш математический язык, что школьники сейчас пользуются этим, не задумываясь ни на секунду.
Но вот что следует признать из всего этого, и опять-таки мне это было нетривиально понять - что как минимум школьникам в младших классах, которым только объясняют, что такое умножение, объяснять "2 л/чел * 9 чел" было бы совершенно неправильно. Нам эти 2л/чел кажутся совершенно прозрачным способом написать "2 литра на человека", но на самом деле это нетривиальная абстракция (до которой в 19-м веке не додумались!), в определенном смысле "нечестное" использование деления - которого эти школьники вообще еще не знают - для того, чтобы сошлись размерности. Это не значит, что я согласен с защитниками того самого учителя, нет; все равно и 2*9, и 9*2 надо считать правильным ответом. Но до того, как я обо всем этом как следует подумал, я бы наивно предложил объяснить детям про 2л/чел, а теперь понимаю, что это куда сложнее, чем материал "что такое умножение", который они проходят.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-04-18 12:03 pm (UTC)Конечно не следует. Но связь аналогична.
Если хотите подтверждения, посмотрите на предмет как мыслят и складывают жители диких племён Африки и Америки. Ссылок конкретных сейчас увы не найду.
>Какие проблемы сложить 2 яблока и 2 груши? Позажимает пальцы и насчитает 4.
..насчитает 4 чего?
no subject
Date: 2013-04-18 12:14 pm (UTC)Мы же хотим, чтобы новые поколения были умнее предыдущих, а для этого обучение надо делать лучше, быстрее и эффективнее. Не за счет экстенсивного увеличения количества материала, а за счет более эффективных и простых объяснений, которые позволяют двигаться быстрее. В этом смысле ссылки на учебники 19-го века и даже начала 20-го могут говорить только об истории преподавания, а не о том, что подобное обучение оправдано и должно продолжаться.
4 того, что можно съесть. Например 4 фрукта. Или 4 солдатика, если он складывает ковбойцев и индейцев. Или 4 предмета и т.д.
Вообще, не надо считать детей глупее, чем они есть на самом деле. Многие дети уже до школы умеют прекрасно считать и решать простые уравнения. Это НЕ потому, что они родились особенно умными, а потому, что родители их правильно учили и не считали за идиотов, которым противопоказаны любые абстракции
no subject
Date: 2013-04-18 12:26 pm (UTC)Давайте пятиклассников сразу учить квантовой механике? А что, работа всей современной электроники основывается на её принципах. Раньше выучат - больше новых устройств смогут придумать.
>4 того, что можно съесть. Например 4 фрукта. Или 4 солдатика, если он складывает ковбойцев и индейцев. Или 4 предмета и т.д.
Ну вот видите, 4 чего-то они и получат. А абстрактное число 4 они не получат.
А если будет задача сложить 4 яблока и 4 солдатика, что они получат? 8 предметов или 4 пары (каждому солдатику по гранате). А если 4 слона или 4 озера? А если все слоны пойдут к одному озеру? А 2 взрослых и 2 ребёнка - это будет 4 человека или 1 семья?
>Многие дети уже до школы умеют прекрасно считать и решать простые уравнения.
Ну так молодцы такие дети. Опять-таки, я подозреваю, что оценка ставилась не за "решение уравнения", а за "усвоение определения", что есть разные вещи.
no subject
Date: 2013-04-18 12:46 pm (UTC)Думаю, что через 100-200 лет так и будет. Более того, я уверен, что некоторые школьники учат квантовую механику на простом уровне уже и сейчас в 5-м классе. А 200 лет назад то, что сейчас учат в школе казалось слишком сложным. А 2000 лет назад иррациональность корня из двух была тайной доступной только мудрецам, не говоря уже о решениях квадратных уравнений. Ну и что?
Сейчас, возможно, еще нет эффективных методик обучения квантовой механике в 5-м классе (поскольку при этом надо менять и все остальное обучение). И слишком большая инерция преподавания, боятся что-то менять и предпочитают учить по учебникам 100-летней давности. И учить таким вещам нужно не всех школьников, а тех, кому интересна математика и физика.
В любом случае, сейчас речь идет не о квантовой механике, не надо плиз передергивать.
Обсуждать дальше яблоки, солдатиков и слонов не хочется, извините. Ничего нового я к своим словам про это не добавлю. Возможно я не могу это нормально объяснить.
"Усвоение определение" это как раз и есть очень плохой метод преподавания. Надо не "учить математические определения" как правила русского языка или формальные алгоритмы, а понимать их логику и правильно применять. Никаких признаков того, что школьница не поняла умножение - нет. Это письменная работа и она все сделала правильно, все остальное это домыслы. Усваивать правильный порядок множителей - не только не нужно, но и вредно.
no subject
Date: 2013-04-18 01:44 pm (UTC)Так мы про сейчас говорим или про через 100-200 лет?
>В любом случае, сейчас речь идет не о квантовой механике, не надо плиз передергивать.
Речь идёт о последовательности и согласованности обучения. "Квантовая механика в пятом классе" была утрированным примером, что "лучше быстрее эффективнее" может натыкаться на естественные когнитивные ограничения человека. И если уж их преодолевать, то это надо делать согласованно, "надо менять и все остальное обучение" как Вы говорите. Ровно то же самое можно сказать и про способность к абстрактному мышлению. Вопрос не в конкретном возрасте, когда оно развивается, вопрос в том, в каком порядке оно появляется в жизни ребёнка, и какие знания в смежных областях этому сопутствуют.
>Возможно я не могу это нормально объяснить.
Вот видите, вы не можете это объяснить человеку, который знает, что такое умножение, и что такое абстрактные числа, и про физический смысл площади, итдитп. А если человек с такой убеждённостью, как у Вас, будет действительно учить детей? Что он скажет ребёнку в случае его непонимания? "Ничего нового я к своим словам про это не добавлю"? Мне кажется, это один из тех факторов, который запросто может отбить у ребёнка желание учиться.
>Надо не "учить математические определения" как правила русского языка или формальные алгоритмы, а понимать их логику и правильно применять.
"Усвоение определение" это как раз и есть "понимать их логику и правильно применять". И именно это и требуется показать, правильно расположив множители.
>Никаких признаков того, что школьница не поняла умножение - нет.
Наоборот, нет никаких признаков, что школьница поняла умножение.
no subject
Date: 2013-04-18 02:07 pm (UTC)И давайте все-таки отделять котлет от мух. Обсуждение в ЖЖ - это не урок в школе. Если я вам отвечаю, что не хочу продолжать объяснения - это аж никак не говорит о том, что я так же отвечу детям. Это, извините, снова передергивание с вашей стороны.
А продолжать приводить какие-то доводы я не вижу смысла потому, что мы ходим по кругу. Не думаю, что будет продуктивно продолжать так ходить дальше. Очевидно, просто останемся при своих мнениях.
no subject
Date: 2013-04-18 02:20 pm (UTC)Какое абстрактное число выберет ребёнок в ситуациях, которые я перечислили тут (http://avva.livejournal.com/2608151.html?thread=95107863&format=light#t95107863): А если будет задача сложить 4 яблока и 4 солдатика, что они получат? 8 предметов или 4 пары (каждому солдатику по гранате). А если 4 слона или 4 озера? А если все слоны пойдут к одному озеру? А 2 взрослых и 2 ребёнка - это будет 4 человека или 1 семья?
Если в понятии абстрактного числа нет ничего сложного, то выбор должен быть очевиден, я так полагаю?
no subject
Date: 2013-04-18 02:31 pm (UTC)2 взрослых и 2 ребёнка - могут быть и 4 человека или 1 семья. Тоже в зависимости от того, как поставлен вопрос.
Складывать слонов и озера нормальные родители и учителя не попросят.
no subject
Date: 2013-04-18 02:40 pm (UTC)Ну т.е. Вы согласны, что (http://avva.livejournal.com/2608151.html?thread=95091223&format=light#t95091223) для младших школьников совершенно неочевидно, что исходная задача про человеков и литров аналогична задаче о количестве элементов в прямоугольнике? Что это будет понятно только после объяснений и привыканий к абстрактным числам?
no subject
Date: 2013-04-18 03:04 pm (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 03:16 pm (UTC)Осталась самая малость: имея представление об абстрактных числах при сложении, показать, что это те же самые абстрактные числа при умножении, а также что n х m эквивалентно как подсчёту количества элементов в прямоугольнике со сторонами n и m, так и общему количеству молока у m людей, если у каждого по n литров.
Именно это и происходит с помощью таких определений и таких задач, которые мы обсуждаем.
no subject
Date: 2013-04-18 03:25 pm (UTC)И какие проблемы с количеством элементов в прямоугольнике n x m? Очевидно, что это количество будет равно сложению строк или столбцов.
Извините, но обсуждение доходит до такого уровня, что я не вижу особого смысла его продолжать. Я уже не знаю до какого еще уровня элементарности надо опускаться. Думаю, дети бы поняли намного быстрее :)
no subject
Date: 2013-04-18 08:28 pm (UTC)проблема в Ваших руссужениях ровно одна - ребёнок (сферический, в собственном соку) до определённого возраста НЕ ПОНИМАЕТ абстракций. то есть, да - объяснили "на яблоках", а на конфетах задача может уже не решиться. понимание абстракций на базовом уровне формируется классу к третьему, а до того хоть об стенку расшибитесь, поймут Вас далеко не все дети.
no subject
Date: 2013-04-19 01:29 am (UTC)Да, возможно поймут не все дети. Но как показывают эти обсуждения, и не все взрослые это понимают или не хотят понимать. Значит надо снижать уровень до тех, кто не хочет ничего понимать? А может надо просто объяснять лучше (судя по методичкам и воспоминаниям многих в этих темах - с последним в школах большие проблемы)? А если ученик что-то выучил сам, то разве надо исправлять его и говорить "мы это еще не проходили"?
И в любом случае, обучение проиллюстрированное сканами из тетрадей и методичек аж никак не помогает что-то понимать, и не развивает интерес к математике, а делает ровно наоборот.
P.S. "Умно, но очень бестолково" - это оксюморон. Вы уж выберете что-то одно.