пропал́

Попробовал было посмотреть скандальный фильм "The Interview" про убийство Ким Чен Ына, но не смог. Он слишком тупой. Я честно попробовал. Не смог. Он слишком тупой.

Поэтому я просто полистал несколько сцен. Понравилось ударение на букве "л" в надписи на танке. Какие-то консультанты там явно постарались не за страх, а за совесть.

теория галуа для начинающих

Попалась мне тут статья Джона Стиллвелла "Galois Theory For Beginners" и очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.

Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.

Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:

1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u₁...u_n, и строим поле Q₀ = Q(u₁...u_n) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Q_i и получать таким образом Q_i+1 (формально говоря, Q_i+1 это поле разложения многочлена x^m-k, где k в Q_i).

Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" xⁿ + u₁*x^n-1 + u₂*x^n-2... будет раскладываться на линейные множители: (x-v₁)(x-v₂)....(x-v_n). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q₀ до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.

2. Пусть есть расширение E над Q(u₁...u_n), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v₁...v_n. Тогда можно доказать, что Q(v₁...v_n) изоморфно Q(x₁...x_n), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v₁...v_n, корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v₁...v_n) / Q(u₁...u_n) с расширением Q(x₁...x_n) / Q(a₁...a_n), где a_i - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v₁...v_n, следует теперь, что любая перестановка v₁...v_n порождает автоморфизм Q(v₁...v_n), который таким образом перестанавливает корни.

3. Любое расширение Q(u₁...u_n) в радикалах, которое включает в себя v₁...v_n, можно расширить дальше в симметричное относительно v₁...v_n расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u₁...u_n, а значит и через v₁...v_n (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v₁...v_n. В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v₁...v_n расширяется до автоморфизма Q(v₁...v_n), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u₁...u_n) (из-за симметричности формул Виета).

4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений G_i = Gal(E'/Q_i), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Q_i, где Q_i - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u₁...u_n) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая G_i+1 является нормальной подргруппой G_i, и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G₀ = Gal(E'/Q(u₁...u_n)), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один.

5. Мы знаем из пункта 3, что G₀ включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v₁...v_n есть автоморфизм в G₀, расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и G_i включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v₁...v_n, которые циклично прокручивают 3 элемента), то и G_i+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u₁...u_n), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".