теория галуа для начинающих
Dec. 25th, 2014 06:23 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПопалась мне тут статья Джона Стиллвелла "Galois Theory For Beginners" и очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.
Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.
Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:
1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u1...un, и строим поле Q0 = Q(u1...un) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Qi и получать таким образом Qi+1 (формально говоря, Qi+1 это поле разложения многочлена xm-k, где k в Qi).
Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" xn + u1*xn-1 + u2*xn-2... будет раскладываться на линейные множители: (x-v1)(x-v2)....(x-vn). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.
2. Пусть есть расширение E над Q(u1...un), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v1...vn. Тогда можно доказать, что Q(v1...vn) изоморфно Q(x1...xn), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v1...vn, корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v1...vn) / Q(u1...un) с расширением Q(x1...xn) / Q(a1...an), где ai - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v1...vn, следует теперь, что любая перестановка v1...vn порождает автоморфизм Q(v1...vn), который таким образом перестанавливает корни.
3. Любое расширение Q(u1...un) в радикалах, которое включает в себя v1...vn, можно расширить дальше в симметричное относительно v1...vn расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u1...un, а значит и через v1...vn (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v1...vn. В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v1...vn расширяется до автоморфизма Q(v1...vn), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u1...un) (из-за симметричности формул Виета).
4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений Gi = Gal(E'/Qi), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Qi, где Qi - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u1...un) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая Gi+1 является нормальной подргруппой Gi, и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G0 = Gal(E'/Q(u1...un)), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один.
5. Мы знаем из пункта 3, что G0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v1...vn есть автоморфизм в G0, расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и Gi включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v1...vn, которые циклично прокручивают 3 элемента), то и Gi+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u1...un), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".
Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.
Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:
1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u1...un, и строим поле Q0 = Q(u1...un) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Qi и получать таким образом Qi+1 (формально говоря, Qi+1 это поле разложения многочлена xm-k, где k в Qi).
Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" xn + u1*xn-1 + u2*xn-2... будет раскладываться на линейные множители: (x-v1)(x-v2)....(x-vn). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.
2. Пусть есть расширение E над Q(u1...un), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v1...vn. Тогда можно доказать, что Q(v1...vn) изоморфно Q(x1...xn), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v1...vn, корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v1...vn) / Q(u1...un) с расширением Q(x1...xn) / Q(a1...an), где ai - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v1...vn, следует теперь, что любая перестановка v1...vn порождает автоморфизм Q(v1...vn), который таким образом перестанавливает корни.
3. Любое расширение Q(u1...un) в радикалах, которое включает в себя v1...vn, можно расширить дальше в симметричное относительно v1...vn расширение E'. Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u1...un, а значит и через v1...vn (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v1...vn. В итоге E' обладает следующим свойством: любая перестановка v1...vn расширяется до автоморфизма Q(v1...vn), который расширяется до автоморфизма E', который при этом фиксирует все элементы Q(u1...un) (из-за симметричности формул Виета).
4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений Gi = Gal(E'/Qi), т.е. автоморфизмы E', которые фиксируют все элементы Qi, где Qi - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u1...un) до E'. Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая Gi+1 является нормальной подргруппой Gi, и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G0 = Gal(E'/Q(u1...un)), и сходит до 1 = Gal(E'/E'), потому что автоморфизм E', фиксирующий E' целиком, есть только один.
5. Мы знаем из пункта 3, что G0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v1...vn есть автоморфизм в G0, расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и Gi включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v1...vn, которые циклично прокручивают 3 элемента), то и Gi+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u1...un), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-12-25 04:35 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-26 12:16 pm (UTC)Ну и то, что группа из трёх элементов (получающаяся присоединением корней третьей степени) в такое не вкладывается - это уже детская задачка.
no subject
Date: 2014-12-26 01:27 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 05:54 pm (UTC)С точки зрения любознательного старшеклассника рассказ надо начинать издалека. Что такое корень квадратный? а кубический? Как извлечь корень кубический из комплексного числа? (геометрически это - задача о трисекции угла, циркулем и линейкой неразрешимая). Значит, корень из а - это решение простейшего уравнения вида "икс в энной равно а". Если мы не знаем, как решать такое уравнение, - значит, мы вообще ничего не знаем об уравнении степени эн.
Хорошо, скажет старшеклассник, давайте договоримся, что такие простейшие уравнения мы решать "умеем", - есть у нас чудо-значок радикала, который даёт решение. Сможем ли мы после этого решать другие уравнения?
Ответ для эн=2,3,4, - да. Есть список трюков, при помощи которых самое общее уравнение степени эн может быть сведено к решению нескольких вспомогательных уравнений простейшей формы. Для эн=4 даже простейшая форма не нужна: корень четвёртой степени - это корень квадратный из корня квадратного. А вот без кубического корня, увы, не обойтись...
Оказывается, при эн равном 5 счастье заканчивается: уравнений пятой степени больше, чем всё то, что можно произвести трюками с подстановками. Доказать это непросто, но и не безумно сложно: надо рассмотреть уравнение пятой степени и один из его коэффициентов объявить параметром. Когда параметр меняется, корни меняются, а если параметр описывает замкнутый путь на комплексной плоскости, корни в процессе обхода будут переставлены между собой. Процесс перестановки несложно проконтролировать и описать. С другой стороны, для любой формулы, записанной радикалами, значения функции тоже будут переставляться между собой, когда аргументы под радикалами гуляют. Оказывается, перестановки значений функций, заданных радикалами, можно явно описать: связано это с тем, как корни уравнения "икс в энной равно а" перестанавливаются, когда значениие а описывает круг с центром в нуле на комплексной плоскости. Эта группа циклическая, а значит, коммутативная. Значит (упражнение на владение терминологией) группа перестановок любого радикального выражения "разрешима". А у уравнения 5-й степени, вообще говоря, группа перестановок корней неразрешима. Это всё отлично написано в книжке Алексеева "Теорема Абеля в задачах и упражнениях" (записи лекций Арнольда). TBC
no subject
Date: 2014-12-25 06:03 pm (UTC)Дальше вопрос потерял смысл: ясно, что для любого эн есть небольшой набор "простейших" уравнений, таких, что если мы умеем решать их, - сможем решить и вообще любое уравнение степени эн. Из общих соображений "ясно", что придётся со временем вводить специальные значки, зависящие от нескольких переменных, и число таких "простейших" уравнений будет расти.
Можно ли ограничиться значками от не более, чем 17 переменных? Кажется, ответ на этот вопрос неизвестен (соответствующая проблема Гильберта была "похоронена" заживо). Имеет ли смысл выписывать "простейшие" уравнения явно? очевидно, что нет.
Теория Галуа "для математиков" имеет вполне конкретный смысл, в общем почти не связанный уже с разрешимостью уравнений в радикалах, - но только потому, что так распорядилась теория групп ;-) Разрешимость групп оказалась куда как более фундаментальным понятием, чем это казалось Галуа.
Но это тема для отдельной сказки: Шехерезада предпочла бы, чтобы её рассказала более компетентная докладчица.
no subject
Date: 2014-12-25 06:13 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 06:19 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 06:34 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 06:46 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 07:24 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-27 04:11 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-27 06:13 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 07:06 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 07:10 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 07:30 pm (UTC)Разрешимость групп = наличие цепочки с коммутативными факторами.
А коммутативная (конечная) группа = сумма примарных циклических.
А циклическая группа = группа перестановок корней энной степени.
Исторически процесс шёл снизу вверх. Сегодня, с высоты наших познания, мы видим, что он был неожиданно (? Лагранж бы не согласился) удачен и красив, даже спускаясь сверху вниз.
То, что за пределами конечных групп понятие разрешимости оказалось очень полезным - чудо (заранее никто не мог обещать). То, что это чудо сработало ещё раз в дифференциальной теории Галуа - знамение свыше ;-)
no subject
Date: 2014-12-27 12:03 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-27 01:58 pm (UTC)В обратную сторону, "от общей теории" до "конкретной задачи": неожиданный (хм...) факт состоит в том, что любая конечная коммутативная группа раскладывается в произведение циклических, а это (на том же философском уровне аккуратности) означает, что любое расширение с коммутативной группой порождено добавлением нескольких радикалов. Значит, разрешимая группа соответствует разрешимому (в радикалах) уравнению.
В других вариантах теории Галуа (скажем, дифференциальная т.Г.) допустимым является расширение (дифференциального) поля посредством взятия первообразной (решение уравнения игрек штрих равно эф) и экспоненты от первообразной (игрек штрих равно эф игрек), - заметим, что само по себе потенцирование не разрешено ;-) При таком выборе оказывается, что разрешимость в смысле группы Галуа эквивалентна разрешимости уравнения по Лиувиллю. Задача решена сверху вниз, - с небольшим подвохом: наверное, напрягшись, можно было бы придумать иное определение разрешимости дифференциального уравнения, и тогда подход Галуа надо было бы переделывать до основанья...
no subject
Date: 2014-12-27 04:11 pm (UTC)Я думаю, что народ имеет право знать, - соответственно, линк можно раздавать направо и налево...
no subject
Date: 2014-12-25 06:42 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 06:48 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 08:08 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 07:06 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-25 08:02 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-26 01:49 am (UTC)no subject
Date: 2014-12-27 01:59 pm (UTC)аббель
Date: 2014-12-25 10:09 pm (UTC)dorrie heinrich 100 great problems of elementary mathematics
уверен Вам понравиться
алексеева изложение имеет все черты закидона : Москва великая культура, многое помимаем а киевского де Граве не читаем ... Хотя выучил по той книжке и замечательному Постникову зелененькому "теория Галыа"
С уважением,
Ваш жидобандеровец Игорь
no subject
Date: 2014-12-27 04:18 pm (UTC)no subject
Date: 2014-12-29 05:52 pm (UTC)Лучшее, что я видел:
http://arxiv.org/abs/0804.4357
Доказывается неразрешимость конкретных уравнений, а не общего.
Изумительная статья.
no subject
Date: 2014-12-29 05:53 pm (UTC)