чудовищная нотация смешанных дробей

Я вдруг осознал чудовищное противоречие, заключенное в обычной математической записи смешанных дробей. Это из серии "всю жизнь говорил прозой, но не понимал этого".

Смотрите, если написано скажем 2⅓, то это "два и 1/3", то есть подразумевается сложение.

Но если написано 2 ᵐ⁄ₙ, внезапно это "2 умножить на m/n", подразумевается умножение. Даже если только в одном месте стоит переменная, скажем
2 ᵃ⁄₃, все равно это уже умножение.

Но ведь это же дикость какая-то. Человека, который такую нотацию придумал, надо как-то наказать ужасно. В алгебраическом выражении, если нет знака операции, это "умножить", но внезапно мы подставляем вместо буквы цифру и это становится "сложить"? Как так можно?!

Да дело и не в переменных даже, если задуматься. Я стал размышлять о том, как я не задумываясь понимаю, где граница между этими двумя правилами. Скажем, если в числителе "3+4", то все, к этой дроби подставить число и это уже опять умножить.

Похоже, "сложение" работает только, если написана реальная дробь из реальных цифр, без каких-либо операций или букв. А что если дробь ненормализованная? Т.е. что если написано что-то вроде "2 100/5", это "два сто пятых" или "два умножить на сто пятых"? Кажется, тут я и так и этак могу понять, хотя скорее все же умножить. Какой кошмар!

о давлении и весе

Предположим, у меня есть много кирпичей, каждый массой в 4 килограмма. Я кладу один кирпич на весы, они показывают 4кг. Кладу поверх него второй, показывают 8кг. Кладу третий сверху - 12кг.

Как весы "чувствуют" вес третьего кирпича, если он не касается их, а касается только второго?

Мы не видим это невооруженным взглядом, но то, что второй и третий кирпич "давят" на первый, означает, что толщина первого кирпича чуть-чуть уменьшается, на крохотную величину, но достаточную для того, чтобы внутреннее давление соответственно увеличилось, и нижний слой первого кирпича сильнее давил на весы. Нам это очевидно, если нижний предмет сделан, скажем, из ваты; но когда это кирпич, мне кажется, многие не понимают, что он реально сжимается, пусть на крохотную величину, и что это его сжатие и есть все, что объясняет вес всех трех кирпичей вместе - никакого другого "магического" способа у третьего кирпича воздействовать на весы просто нет.

Не бывает вообще несжимаемых предметов, хоть алмаз, хоть что угодно. Если бы первый кирпич можно было сделать из абсолютно несжимаемого предмета, то на него можно было бы положить миллион тонн, и весы все равно показывали бы 4кг. Предметы, не передающие "дальше" давление, которое они чувствуют, за счет собственного сжатия, просто не существуют.

Похожим образом, давление воды увеличивается с глубиной, и приблизительно 𝜌𝑔ℎ, плотность умножить на ускорение свободного падения умножить на высоту водного столба. Но разве плотность не меняется с глубиной? В интернете мне попадалось много объяснений в духе "вода практически несжимаема, поэтому нет надобности учитывать это; то, что давит на тебя под водой, это не увеличившаяся плотность воды, а вес всего столба воды над тобой".

Но это полностью все искажает в сторону "магического" мышления. Вода практически не сжимается (в сравнении, скажем, с воздухом), но все равно *весь* эффект "веса столба воды над тобой", который ты ощущаешь на глубине 10 метров - это то, насколько она сжалась, насколько увеличилась ее плотность в сравнении с поверхностью. Никакого другого способа для "столба воды над тобой" давить на тебя, кроме как через плотность воды в непосредственном контакте с тобой, просто нет.

То же самое с воздухом. Все знают, что плотность воздуха меньше на большой высоте, но есть ли разница между плотностью воздуха на высоте 1 метр и 1 метр 20 сантиметров над землей, скажем? Хочется сказать, что она настолько мала, что не играет роли. Но если я надую шарик диаметром в 20 сантиметров гелием и отпущу его на высоте в 1 метр, почему он полетит вверх? Гелий легче воздуха, да, но какая сила собственно толкает шарик вверх? Единственное, что есть - это разница в давлении воздуха между 1 метр и 1 метр 20 сантиметров. Сколь ни мала она, но всегда и постоянно есть и без нее шарик бы не поднимался.