![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
о несчетности действительных чисел
May. 14th, 2023 01:28 pmВот любопытный вариант доказательства несчетности действительных чисел, т.е. того факта, что все действительные числа невозможно пронумеровать бесконечной последовательностью a_1, a_2, a_3,...
Пусть S - любое счетное подмножество действительных чисел, т.е. такой набор чисел, который можно так пронумеровать. Назначим первому члену S цену 1/2, второму 1/4, третьему 1/8, и так далее, n-ное число получает цену 1/2^n. Тогда очевидно (и легко строго доказать), что сумма цен любого конечного набора членов S меньше единицы.
Скажем, что число x "хорошая сделка", если можно найти конечный набор членов S, так что все они меньше x, но сумма их цен больше или равна x. "Конечный набор" включает в себя возможность "пустой набор", сумма которого берется за 0. Из-за этого мы видим, что x=0 всегда "хорошая сделка" (сумма пустого набора 0 >= x), но с другой стороны любая "хорошая сделка" x выполняет x < 1, потому что сумма конечного набора из S >= x и меньше 1.
Пусть c - супремум (точная верхняя граница) множества X всех "хороших сделок". Такая точная граница существует из свойств (или аксиом) действительных чисел, и это значит, что любая "хорошая сделка" меньше или равна c, но с другой стороны есть "хорошие сделки", сколь угодно близкие к c, ближе сколь угодно малого положительного расстояния.
Тогда мы утверждаем, что c не находится в S, т.е. у него нет цены. Докажем это от обратного. Пусть s цена c, тогда из того, что c супремум "хороших сделок" следует, что есть такая сделка x, расстояние от которой до c меньше, чем эта цена s (возможно, x даже равно c и расстояние равно 0, но необязательно). Тогда x+s > c. Поскольку x "хорошая сделка", есть набор членов S, меньших x, сумма цен которого >=x. Добавив к этому набору c, по предположению находящемуся в S, получим сумму цен >=x+s. Это доказывает, что x+s тоже "хорошая сделка". Но поскольку x+s > c, это противоречит тому, что c верхняя граница всех таких сделок.
Итак, мы нашли для любого счетного набора действительных чисел S действительное число c, которое не находится в нем. Отсюда следует, что все действительные числа R не могут быть счетным множеством, ведь иначе число c, полученное для них, должно было одновременно быть в R, потому что оно действительное, и не быть, по доказательству выше.
(в самом обычном доказательстве несчетности действительных чисел тоже по сути строят число c для любого счетного множества S, так, что c не принадлежит ему; но c строят с помощью процесса "диагонализации")
Я адаптировал это доказательство из заметки "An Unusual Proof that The Reals Are Uncountable" (https://arxiv.org/pdf/0901.0446.pdf); на мой взгляд, я одновременно немного упростил его и яснее выделил, что именно происходит. Заметка эта в свою очередь адаптировала доказательство из учебника Бурбаки.
Пусть S - любое счетное подмножество действительных чисел, т.е. такой набор чисел, который можно так пронумеровать. Назначим первому члену S цену 1/2, второму 1/4, третьему 1/8, и так далее, n-ное число получает цену 1/2^n. Тогда очевидно (и легко строго доказать), что сумма цен любого конечного набора членов S меньше единицы.
Скажем, что число x "хорошая сделка", если можно найти конечный набор членов S, так что все они меньше x, но сумма их цен больше или равна x. "Конечный набор" включает в себя возможность "пустой набор", сумма которого берется за 0. Из-за этого мы видим, что x=0 всегда "хорошая сделка" (сумма пустого набора 0 >= x), но с другой стороны любая "хорошая сделка" x выполняет x < 1, потому что сумма конечного набора из S >= x и меньше 1.
Пусть c - супремум (точная верхняя граница) множества X всех "хороших сделок". Такая точная граница существует из свойств (или аксиом) действительных чисел, и это значит, что любая "хорошая сделка" меньше или равна c, но с другой стороны есть "хорошие сделки", сколь угодно близкие к c, ближе сколь угодно малого положительного расстояния.
Тогда мы утверждаем, что c не находится в S, т.е. у него нет цены. Докажем это от обратного. Пусть s цена c, тогда из того, что c супремум "хороших сделок" следует, что есть такая сделка x, расстояние от которой до c меньше, чем эта цена s (возможно, x даже равно c и расстояние равно 0, но необязательно). Тогда x+s > c. Поскольку x "хорошая сделка", есть набор членов S, меньших x, сумма цен которого >=x. Добавив к этому набору c, по предположению находящемуся в S, получим сумму цен >=x+s. Это доказывает, что x+s тоже "хорошая сделка". Но поскольку x+s > c, это противоречит тому, что c верхняя граница всех таких сделок.
Итак, мы нашли для любого счетного набора действительных чисел S действительное число c, которое не находится в нем. Отсюда следует, что все действительные числа R не могут быть счетным множеством, ведь иначе число c, полученное для них, должно было одновременно быть в R, потому что оно действительное, и не быть, по доказательству выше.
(в самом обычном доказательстве несчетности действительных чисел тоже по сути строят число c для любого счетного множества S, так, что c не принадлежит ему; но c строят с помощью процесса "диагонализации")
Я адаптировал это доказательство из заметки "An Unusual Proof that The Reals Are Uncountable" (https://arxiv.org/pdf/0901.0446.pdf); на мой взгляд, я одновременно немного упростил его и яснее выделил, что именно происходит. Заметка эта в свою очередь адаптировала доказательство из учебника Бурбаки.
