1. Да, извиняюсь, имелось в виду, c(t)=a(t)+b(t). 2. В вашей первой реплике по-хорошему должно быть c(t)=2t^2, что я проигнорировал, потому что на число различных корней это не влияет, а полиномы всё равно не взаимно просты, что важнее. 3. a(t)=t^100, b(t)=t-1, c(t)=t^100+t-1. Утверждаю, что у c(t), по меньшей мере, 99 различных корней, не равных 0 и 1.
полином степени n над полем комплексных чисел имеет ровно n корней с учетом кратности. если среди них мало различных, то это значит, что этот полином имеет общий делитель со своей производной (все кратные корни с кратностями на 1 меньше, чем у исходного полинома). не совсем понял, какое именно неравенство надо доказать, но из этих соображений должно получиться.
Полином степени n имеет общий делитель со своей производной, даже если у него n-1 различных корней. Приведённый вами простейший факт мне был, разумеется, известен.
Надо доказать, что число различных корней полинома a(t)b(t)c(t), если a(t), b(t) и c(t)=a(t)+b(t) взаимно просты, больше максимальной из степеней a(t), b(t).
Пожалуйста, расшифруйте ваше последнее предложение, а то оно выглядит довольно странно :-)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2010-06-08 12:32 pm (UTC)2. В вашей первой реплике по-хорошему должно быть c(t)=2t^2, что я проигнорировал, потому что на число различных корней это не влияет, а полиномы всё равно не взаимно просты, что важнее.
3. a(t)=t^100, b(t)=t-1, c(t)=t^100+t-1. Утверждаю, что у c(t), по меньшей мере, 99 различных корней, не равных 0 и 1.
Жду фидбек, чего я ещё успел налажать :-)
no subject
Date: 2010-06-08 03:54 pm (UTC)не совсем понял, какое именно неравенство надо доказать, но из этих соображений должно получиться.
no subject
Date: 2010-06-08 07:16 pm (UTC)Надо доказать, что число различных корней полинома a(t)b(t)c(t), если a(t), b(t) и c(t)=a(t)+b(t) взаимно просты, больше максимальной из степеней a(t), b(t).
Пожалуйста, расшифруйте ваше последнее предложение, а то оно выглядит довольно странно :-)
no subject
Date: 2010-06-09 10:33 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-09 03:57 pm (UTC)