![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЭдвард Нельсон, профессор Принстонского университета, объявил, что он доказал противоречивость арифметики Пеано (PA) (Update: если страница не открывается, то вот кэш-версия). Он выложил эскиз своего доказательства; полное и строгое доказательство он все еще пишет, и собирается выкладывать его по частям вместе с формальной проверкой с помощью программы, которую он сам написал.
Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).
Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.
P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.
P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.
Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).
Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.
P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.
P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.
