![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЭдвард Нельсон, профессор Принстонского университета, объявил, что он доказал противоречивость арифметики Пеано (PA) (Update: если страница не открывается, то вот кэш-версия). Он выложил эскиз своего доказательства; полное и строгое доказательство он все еще пишет, и собирается выкладывать его по частям вместе с формальной проверкой с помощью программы, которую он сам написал.
Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).
Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.
P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.
P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.
Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).
Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.
P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.
P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-09-28 09:22 am (UTC)Во что же теперь верить...
no subject
Date: 2012-12-14 05:18 pm (UTC)What if God smoked cannabis?
no subject
Date: 2011-09-28 09:56 am (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 10:14 am (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2011-09-28 09:58 am (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 09:59 am (UTC)simply by inspection"). Кажется, в математике тоже встаёт проблема спама :-)
no subject
Date: 2011-09-28 10:22 am (UTC)Не могли бы вы дать ссылку на это доказательство?
no subject
Date: 2011-09-28 10:32 am (UTC)(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-28 11:32 am (UTC) - Expand(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2011-09-28 10:56 am (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 11:02 am (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:Генцен
From:(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-28 04:02 pm (UTC) - Expandмодель PA
From:Re: модель PA
From:предварительные обсуждения
From:Re: предварительные обсуждения
From:Re: предварительные обсуждения
From:Re: предварительные обсуждения
From:машинная проверка
From:(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-29 02:04 pm (UTC) - Expand(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-29 04:59 pm (UTC) - Expand(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-29 07:49 pm (UTC) - Expandхорошие и плохие свойства
From:Re: Генцен
From:поимка
From:Re: поимка
From:обозримое и необозримое
From:Re: обозримое и необозримое
From:(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-28 05:50 pm (UTC) - Expand(no subject)
From:no subject
Date: 2011-09-28 12:45 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 03:10 pm (UTC)Вообще, сочетание двух таких утверждений считается не очень-то хорошим тоном. Но можно считать, что матанщик, который неожиданно решил заняться логикой, заслуживает снисхождения.
no subject
Date: 2011-09-28 03:53 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 04:40 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 04:41 pm (UTC)Но ни разу не слышал, чтобы кто-то ругался на исчисление предикатов.
А с виду, это самая кривая конструкция в основаниях.
Но я, конечно, не настоящий сварщик.
no subject
Date: 2011-09-28 08:15 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-29 12:28 am (UTC)(no subject)
From:no subject
Date: 2011-09-28 08:31 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-28 09:24 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-29 12:35 am (UTC)no subject
Date: 2011-09-29 12:50 am (UTC)это как понимать? живое существо является системой аксиом?
no subject
Date: 2011-09-29 05:30 pm (UTC)Формализация натуральных чисел, арифметических действий с ними, логических связок и, возможно, еще чего-то, в виде символов, записанных на языке, подчиняющемся определенным правилам.
> живое существо является системой аксиом?
Интерпретировать формалную логику вне математического контекста до того, как вы осилили ее в математическом контексте - не нужно. И после того - тоже не нужно.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2011-09-29 08:21 am (UTC)no subject
Date: 2011-09-29 10:25 am (UTC)(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-29 02:44 pm (UTC) - Expand(no subject)
From:(no subject)
From: (Anonymous) - Date: 2011-09-30 05:36 am (UTC) - Expand(no subject)
From:рождение предиката
From:Re: рождение предиката
From: (Anonymous) - Date: 2011-10-01 08:47 pm (UTC) - Expandиспарение смысла
From:Re: испарение смысла
From: (Anonymous) - Date: 2011-10-02 04:16 pm (UTC) - Expandбрадобрей не пропадет
From:завиральная идея
From:Re: завиральная идея
From:Re: рождение предиката
From:конфликт истолкований
From:Re: конфликт истолкований
From:sets and languages
From:no subject
Date: 2011-09-29 03:18 pm (UTC)А то как-то странно получается: доказывается противоречивость PA, на основании теоремы, которая доказывается на основе PA.
no subject
Date: 2011-09-29 05:17 pm (UTC)no subject
Date: 2011-09-30 05:57 pm (UTC)Наверняка же, это было первое о чем и Вы вспомнили:
Рене, профессор математики бесконечно влюбленная в свое дело, доказывает что арифметика противоречива. Ее мир рушится...
Тед Чан - деление на ноль, 1991
no subject
Date: 2011-10-01 02:39 am (UTC)Революционные времена наступают :-)
no subject
Date: 2011-10-01 05:36 am (UTC)А разве это не касается очень маленькой группы теоретических систем? Ведь системы действительных чисел это не касается. Извините, если это глупый вопрос.
elementary theory of R
Date: 2011-10-01 07:44 am (UTC)Это значит, что имеется алгоритм, который на любой вопрос о действительных числах, представленный в виде логической формулы, даёт ответ, верно это или нет. Вид "типового" вопроса примерно такой: "верно ли, что для любого x и для любого y такое z, что при любом t будут выполняться такие-то уравнения или неравенства?"
Уравнения должны быть представлены многочленами с целочисленными коэффициентами.
Если бы речь шла о системе целых чисел, то алгоритма в этом случае уже бы не было.
В теореме Гёделя о неполноте есть условие, что теория должна быть "достаточно сильной", то есть "содержать" арифметику натуральных чисел. "Внутри" теории действительных чисел такое сделать нельзя -- несмотря на то, что натуральные числа там содержатся. Причина в том, что свойство числа быть натуральным невозможно выразить на том языке, который при этом используется.
(no subject)
From:Re: elementary theory of R
From:no subject
Date: 2011-10-01 05:21 pm (UTC)http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-October/015832.html
no subject
Date: 2011-10-01 05:23 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-16 09:50 pm (UTC)AVEr@bota
Date: 2012-09-24 06:59 am (UTC)Гарантируем:
-конфиденциальность
-безопасность
-достойное вознаграждение с немедленной выплатой
-индивидуальный график работы
-небольшой и доброжелательный коллектив
-предоставляем жилье
Ты хочешь носить брендовую одежду? Посещать дорогие клубы и рестораны? Знакомиться с новыми, интересными людьми? Не отказывать себе в своих желаниях и быть материально независимой? Тогда работа в сфере VIP досуга для тебя! Звони в любое время. Сексуальность-не порок! Ты способна изменить этот мир для себя! Если ты молода, привлекательна, общительна, не упускай свой шанс прожить яркую, красивую, обеспеченную жизнь!
Контакты: +7-953-552-22-50 и E-mail dosugrabota@inbox.ru
Звони в любое время!
http://dosugrabota.ru/