о противоречивости арифметики пеано (математическое)

[avva]

Эдвард Нельсон, профессор Принстонского университета, объявил, что он доказал противоречивость арифметики Пеано (PA) (Update: если страница не открывается, то вот кэш-версия). Он выложил эскиз своего доказательства; полное и строгое доказательство он все еще пишет, и собирается выкладывать его по частям вместе с формальной проверкой с помощью программы, которую он сам написал.

Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).

Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.

P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.

P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.

Comments

[blacklion.livejournal.com]

Кажется, сайт университета не выдержал :)

[avva.livejournal.com]

Ничего себе :) добавил ссылку на кэш-версию.

[blacklion.livejournal.com]

Ну, у меня -- connection timeout. Может, конечно, местные флуктуации виртуального пространства :)

А вы уже разобрались в последствиях этого доказательства? Все доказательства по индукции становятся невалидными в результате (если Эдвард Нельсон нигде не напутал, конечно) или только какие-то более тонкие эффекты вылезают?

[avva.livejournal.com]

Почти все док-ва по индукции требуют слабую версию индукции. Скажем, если сказать, что мы допускаем индукцию только по формулам, в которых есть не больше 10 кванторов, то все обычные док-ва в обычных математических статьях под нее подпадут, а док-во Нельсона к такой слабой индукции неприменимо (если я правильно понимаю). Хотя, конечно, с эстетической и философской точек зрения это решение не ахти :)

Думаю, что если результат Нельсона верен, хоть и не верится в это, то будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств (т.к. она тоже получается противоречива) на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно это тогда автоматически самый важный результат в логике и основаниях математики за последние сто лет.