числа фибоначчи (математическое)
Jan. 19th, 2012 06:36 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ не помню, где я впервые увидел формулу для n-го числа Фибоначчи
Думаю, это было в одной из книг Мартина Гарднера. Помню, что она потрясла мое воображение, и я не мог понять, "откуда они знают", что в таких высоких степенях иррациональных чисел вся иррациональность в итоге сбрасывается, и получается натуральное число. Я поверил в это, но доказательство этого казалось совершенно недостижимым, какой-то магией. Я не понимал, что нужно знать, чтобы уметь такое найти.
И как-то получилось, что я этого доказательства так и не видел ни разу, и остался - не задумываясь об этом всерьез - при своем впечатлении, что это "очень сложно".
Поэтому меня совершенно ошеломило увиденное случайно вчера элементарное доказательство этой формулы методами линейной алгебры. Я понимаю, что тем, кто не учил линейную алгебру в университете, это никак не поможет, но поверьте мне тогда на слово - это очень простая математика, самый первый шаг после школьной, самое простое, что можно назвать "высшей математикой". Подробное доказательство (по-английски) есть здесь. Золотое сечение (число φ = (√5+1)/2) возникает в нем при подсчете собственных значений элементарной матрицы 2x2 из единичек и нулей.
Раз уж зашла речь о числах Фибоначчи, поделюсь еще чем-то, что узнал о них пару лет назад - не помню, писал ли тут. Многие знают, что последовательность Фибоначчи, а также число φ, золотое сечение, встречаются в природе в множестве разных процессов, а заодно и в античном искусстве и архитектуре. Так вот, почти все утверждения такого рода неверны - это очень распостраненный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат (необязательно осознанной, конечно). Подробная и очень интересная статья об этом, опять-таки по-английски: Fibonacci Flim-Flam. Еще одна статья на ту же тему, менее подробная и в основном о золотом сечении: The Myth That Will Not Go Away.
Думаю, это было в одной из книг Мартина Гарднера. Помню, что она потрясла мое воображение, и я не мог понять, "откуда они знают", что в таких высоких степенях иррациональных чисел вся иррациональность в итоге сбрасывается, и получается натуральное число. Я поверил в это, но доказательство этого казалось совершенно недостижимым, какой-то магией. Я не понимал, что нужно знать, чтобы уметь такое найти.
И как-то получилось, что я этого доказательства так и не видел ни разу, и остался - не задумываясь об этом всерьез - при своем впечатлении, что это "очень сложно".
Поэтому меня совершенно ошеломило увиденное случайно вчера элементарное доказательство этой формулы методами линейной алгебры. Я понимаю, что тем, кто не учил линейную алгебру в университете, это никак не поможет, но поверьте мне тогда на слово - это очень простая математика, самый первый шаг после школьной, самое простое, что можно назвать "высшей математикой". Подробное доказательство (по-английски) есть здесь. Золотое сечение (число φ = (√5+1)/2) возникает в нем при подсчете собственных значений элементарной матрицы 2x2 из единичек и нулей.
Раз уж зашла речь о числах Фибоначчи, поделюсь еще чем-то, что узнал о них пару лет назад - не помню, писал ли тут. Многие знают, что последовательность Фибоначчи, а также число φ, золотое сечение, встречаются в природе в множестве разных процессов, а заодно и в античном искусстве и архитектуре. Так вот, почти все утверждения такого рода неверны - это очень распостраненный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат (необязательно осознанной, конечно). Подробная и очень интересная статья об этом, опять-таки по-английски: Fibonacci Flim-Flam. Еще одна статья на ту же тему, менее подробная и в основном о золотом сечении: The Myth That Will Not Go Away.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Бонус.
Date: 2012-01-19 09:35 pm (UTC)Тогда F(n)=
Попробуйте-ка догадаться, при чём тут Pi/31...
Re: Бонус.
Date: 2012-01-19 09:51 pm (UTC)Я ж написал -- p−1 = 30 делится на 3. Заменить нечетные числители на дополнительные до 31 четные, α, β, γ на −α, −β, −γ, и вернуться к предыдущей задаче.
Пять слагаемых косинусов в каждой скобке -- это (31-1)/(2*3) = 5. В примере с 13 в знаменателе это было (13-1)/(2*3) = 2.
Для F(n) = cosn(2π/7) + cosn(4π/7) + cosn(6π/7) тоже есть похожая рекуррентная формула. Для 19 в знаменателе будет три слагаемых внутри каждой из трех скобок, и т.д.