числа фибоначчи (математическое)
Jan. 19th, 2012 06:36 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ не помню, где я впервые увидел формулу для n-го числа Фибоначчи
Думаю, это было в одной из книг Мартина Гарднера. Помню, что она потрясла мое воображение, и я не мог понять, "откуда они знают", что в таких высоких степенях иррациональных чисел вся иррациональность в итоге сбрасывается, и получается натуральное число. Я поверил в это, но доказательство этого казалось совершенно недостижимым, какой-то магией. Я не понимал, что нужно знать, чтобы уметь такое найти.
И как-то получилось, что я этого доказательства так и не видел ни разу, и остался - не задумываясь об этом всерьез - при своем впечатлении, что это "очень сложно".
Поэтому меня совершенно ошеломило увиденное случайно вчера элементарное доказательство этой формулы методами линейной алгебры. Я понимаю, что тем, кто не учил линейную алгебру в университете, это никак не поможет, но поверьте мне тогда на слово - это очень простая математика, самый первый шаг после школьной, самое простое, что можно назвать "высшей математикой". Подробное доказательство (по-английски) есть здесь. Золотое сечение (число φ = (√5+1)/2) возникает в нем при подсчете собственных значений элементарной матрицы 2x2 из единичек и нулей.
Раз уж зашла речь о числах Фибоначчи, поделюсь еще чем-то, что узнал о них пару лет назад - не помню, писал ли тут. Многие знают, что последовательность Фибоначчи, а также число φ, золотое сечение, встречаются в природе в множестве разных процессов, а заодно и в античном искусстве и архитектуре. Так вот, почти все утверждения такого рода неверны - это очень распостраненный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат (необязательно осознанной, конечно). Подробная и очень интересная статья об этом, опять-таки по-английски: Fibonacci Flim-Flam. Еще одна статья на ту же тему, менее подробная и в основном о золотом сечении: The Myth That Will Not Go Away.
Думаю, это было в одной из книг Мартина Гарднера. Помню, что она потрясла мое воображение, и я не мог понять, "откуда они знают", что в таких высоких степенях иррациональных чисел вся иррациональность в итоге сбрасывается, и получается натуральное число. Я поверил в это, но доказательство этого казалось совершенно недостижимым, какой-то магией. Я не понимал, что нужно знать, чтобы уметь такое найти.
И как-то получилось, что я этого доказательства так и не видел ни разу, и остался - не задумываясь об этом всерьез - при своем впечатлении, что это "очень сложно".
Поэтому меня совершенно ошеломило увиденное случайно вчера элементарное доказательство этой формулы методами линейной алгебры. Я понимаю, что тем, кто не учил линейную алгебру в университете, это никак не поможет, но поверьте мне тогда на слово - это очень простая математика, самый первый шаг после школьной, самое простое, что можно назвать "высшей математикой". Подробное доказательство (по-английски) есть здесь. Золотое сечение (число φ = (√5+1)/2) возникает в нем при подсчете собственных значений элементарной матрицы 2x2 из единичек и нулей.
Раз уж зашла речь о числах Фибоначчи, поделюсь еще чем-то, что узнал о них пару лет назад - не помню, писал ли тут. Многие знают, что последовательность Фибоначчи, а также число φ, золотое сечение, встречаются в природе в множестве разных процессов, а заодно и в античном искусстве и архитектуре. Так вот, почти все утверждения такого рода неверны - это очень распостраненный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат (необязательно осознанной, конечно). Подробная и очень интересная статья об этом, опять-таки по-английски: Fibonacci Flim-Flam. Еще одна статья на ту же тему, менее подробная и в основном о золотом сечении: The Myth That Will Not Go Away.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-01-19 11:02 pm (UTC)Ну в общем-то, это близкие вещи, хотя не вполне "изоморфные". Формула линейной рекурренты получается из возведения матрицы в степень, формула для решения ОДУ - из экспоненты матрицы (линейное уравнение порядка n на функцию f эквивалентно матричному уравнению v'=Av на вектор v=(f,f',...,f^{(n-1)}), ну а такое как раз решается через экспоненту).
no subject
Date: 2012-01-20 07:14 am (UTC)