о вещественных числах (математическое)

[avva]

Небольшая статья с интересным названием "Какие числа лучше всего подходят для описания эмпирической реальности?"

Which number system is “best” for describing empirical reality?

Автор задается вопросом, действительно ли необходимо использовать вещественные числа для описания физической реальности. Ведь мы не воспринимаем их непосредственно, и все наши измерения имеют лишь определенную конечную точность, так что, казалось бы, может быть достаточно, скажем, рациональных чисел для того, чтобы описать все, что происходит в природе. Но такой "экономичный" подход сталкивается с двумя сложностями:

- во-первых, со времен Пифагора известно, что простейший прямоугольный треугольник со сторонами длиной в единицу выходит за рамки рациональных чисел - длина его гипотенузы равна √2. Если мы отказываем корню из двух в 'физическом' существовании, значит, мы заранее смиряемся с тем, что треугольник не может существовать в физическом мире. С другой стороны, можно счесть треугольник всего лишь приближением к тому, что существует в мире (собственно, поскольку наше пространство неэвклидово, так оно и есть).

- во-вторых, те физические теории, которые лучше всего описывают реальность до сих пор, основаны на дифференциальном и интегральном исчислении, требующем вещественных чисел (точнее, они требуют возникающих благодаря вещественным числам понятий пределов, производных, интегралов итд.). Наверное, можно построить приближения к этим теориям, опирающиеся только на рациональные числа, но кажется, что они будут куда более громоздкими и несуразными, а возможно и принципиально ущербными.

Автор статьи занимается только первой из этих двух сложностей, предлагая возможные "промежуточные" варианты между рациональными и действительными числами (например, числа, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; или алгебраические числа); ни один из них не кажется мне особенно привлекательным. С другой стороны, хочу порекомендовать гораздо более подробную запись akuklev об этих материях, которая больше говорит о необходимости (по утверждению автора) вещественных чисел для описания реальности:

О бесконечности и о точке

Я немного думал об этих вопросах несколько с другой стороны, нежели автор первой статьи. Его интересует вопрос: какие числа лучше всего отражают то, что мы наблюдаем в реальности? Я к тому же вопросу подходил немного с другой стороны. Представьте себе, что мы встречаем-таки инопланетян, находим их или они находят нас, и начинаем пытаться понимать друг друга. В научной фантастике не раз и не два авторы обсуждали вопрос о том, будет ли у нас "одна и та же математика", и это вопрос философский, вопрос философии математики, собственно. Большинство профессиональных математиков являются - иногда бессознательно, иногда осознанно - "платонистами", т.е. они считают, что математические формулы, гипотезы и теоремы суть не бессмысленные закорючки на бумаге, которые придуманы человеческим мозгом и только к нему имеют отношение, а отражают некую фундаментальную реальность, независимую от нас, "платонический" мир математических идей, который один и тот же для всех: теорема Ферма верна и на Земле, и у инопланетян, и она была бы верна, даже если бы никакого человечества никогда не возникло. Мы "открываем" математические истины, а не "создаем" их - в этом суть платонизма. Так вот, предположив, что платонизм верен, и что как мы, так и инопланетяне "видим" ту же математическую реальность, все равно можно задать вопрос: насколько их математика будет похожа на нашу? Если предположить, что счет отдельных объектов - нечто совершенно фундаментальное для всех, то у них, наверное, будут те же натуральные, целые, и рациональные числа, что у нас - но будут ли вещественные числа? Возможно, они понимают, что это такое математически, но не считают их важными, потому что для развития теорий о том, как устроен физический мир, им хватило рациональных? Возможно, то, что нам кажется излишне громоздким и неэлегантным описанием в терминах рациональных чисел, для них приемлемо, потому что мозги у них устроены по-другому, и понятия громоздкости и элегантности совсем другие?

Comments

[vdinets.livejournal.com]

Древнеегипетская математика очень сильно отличалась от вавилонской, несмотря на сходство мозгов и некоторый культурный контакт. С инопланетянами различия наверняка будут еще больше.

[starshoj.livejournal.com]

Я бы перевёл: "Какая система счисления...”

[allvo.livejournal.com]

вот действительно. Система счисления вряд ли будет десятичной.

[aanabar.livejournal.com]

В рациональных числах рост точности будет вызывать увеличение числа знаков в записи и это, вероятно, никак не обойти. А стремление к компактности и удобству оперирования выглядит довольно фундаментальным свойством.

С точки зрения инопланетной математики, мне даже более интересным представляется вопрос про аристотелеву логику.

[dmpogo.livejournal.com]

во-вторых, те физические теории, которые лучше всего описывают реальность до сих пор, основаны на дифференциальном и интегральном исчислении, требующем вещественных чисел.


Помнится Я. Б. Зельдович говорил, что понятие непрерывной функции, и соответствующее дифференциальное исчисление - лишь приближение к физической реальности.

[bortans.livejournal.com]

Да, я тоже сразу Зельдовича вспомнил :) Но он при этом, кажется, не говорил, что не нужно изучать пределы и вещественные числа, а скорее высказывался по поводу допустимости меньшего уровня строгости в физике по-сравнению с математикой.

[grihanm.livejournal.com]

Математика - это такие природные костыли. Считать даже муравьи умеют. Надеюсь наука со временем научится обходиться без математики.

[trurle.livejournal.com]

Как там у муравьев с вещественными числами, не говоря уже о дифференциальном исчислении? Я очень волнуюсь за наших шестиногих братьев по математике.

[trurle.livejournal.com]

Мне кажется что такой подход предполагает что у инопланетян окажется иной не только математика, но и физика. А это куда как круче.

[deadkittten.livejournal.com]

Угу. Окажется, что у них нет трёх законов термодинамики и одни мы, как идиоты, без вечного двигателя сидим. :)

[muh2.livejournal.com]

А какие проблемы у дифференциального исчисления с рациональными числами? вот проблемы с возникающими сплошь и рядом пями и прочими еями - обходить будет тяжело, а, главное, непонятно зачем.

[bortans.livejournal.com]

Проблемы начнутся в теории пределов, где уже не будет справедливо то, что любое ограниченное множество чисел имеет точную верхнюю или нижнюю грань. А на этом основано много теорем дифференциального исчисления. Так что придется строить какую-то другую теорию дифференциального исчисления, а, главное, непонятно зачем.

[rwalk.livejournal.com]

Есть целый ряд течений в математике, занимающихся этими вопросами: конструктивизм, интуиционизм, финитизм, не говоря уж о нестандартном анализе.

[asaham.livejournal.com]

"Я немного думал об этих вопросах несколько с другой стороны, нежели автор первой статьи. Его интересует вопрос: какие числа лучше всего отражают то, что мы наблюдаем в реальности? Я к тому же вопросу подходил немного с другой стороны."

Опечатка? Или как это на языке редакторов?

[psilogic.livejournal.com]

Если посмотреть с точки зрения психофизиологии, то среди простейших реакций, связанных с работой зрения, слуха и остальных чувств можно выделить по крайней мере два типа, относящихся к числам:

1. Степень различия между сигналами. Конкретный пример: насколько один карандаш длиннее другого?

2. Степень повторяемости сигналов. Конкретный пример: сколько карандашей?

Для второго типа напрашиваются натуральные числа, а для первого - вещественные или рациональные - не суть важно, лишь бы описывали аналоговый сигнал.

[asox.livejournal.com]

Не-алгебраические иррациональные числа, пмсм, легко возникают для в случае произвольных степеней и логарифмов. Особенно для логарифмов.
А иррациональные числа при желании можно заменить пределами. Правда потом скорее всего выяснится, что обозвать эти пределы числами - просто удобно. (Кто-то кажется так и определял все числа через пределы.)

[bortans.livejournal.com]

Уже давно выяснилось и давно определяли. Иррациональные числа это и есть пределы.

[petr-kovalev.livejournal.com]

Если уж говорить о бесконечности в математике, то и её пытаются победить введением специального числа «бесконечность», благодаря чему многие вычисления упрощаются: http://www.grossone.com/arithmetic.html

А вещественные числа любой точности можно представить как дробь натуральных. То есть, для любой конкретно заданной точности можно уйти в исчисление натуральных чисел, не боясь иррациональности.

[bortans.livejournal.com]

Всю статью "Какие числа лучше всего подходят для описания эмпирической реальности?" можно без потери содержательности описать одним предложением: "Поскольку мы не знаем является ли пространство-время непрерывным (бесконечно делимым), то, возможно, в физике вместо вещественных чисел стоит использовать другие числовые системы".

Является ли пространство-время непрерывным или дискретным мы, возможно, никогда и не узнаем. Модели решеточного пространства-времени существуют давно и продолжают разрабатываться (например, решеточная квантовая теория поля). Однако в них используются обычные вещественные (и комплексные) числа. И попытки построения математики и физики с использованием других числовых систем тоже делались уже давно, например с p-адическими числами.

Проблема в том, что для того, чтобы переписать всю физику в другой числовой системе - потребуется колоссальное количество усилий (особенно учитывая, что заодно надо будет переписать и весь необходимый математический аппарат). Для их приложения нужны какие-то аргументы в эту пользу, а у автора их нет. Дело в том, что даже если пространство-время дискретно, из этого НЕ следует, что его лучше описывать в рамках другой числовой модели. Дискретность в результатах совершенно не обязательно связана с тем, какую числовую систему мы используем. Например, спектр атома водорода дискретен, но получается он из непрерывного уравнения Шредингера (в том смысле, что в этом уравнении используются функции принимающие значения на всей числовой прямой, а не только в рациональных точках). Или более упрощенный пример: у квадратного уравнения может быть только два корня, но это еще не повод не использовать стандартную теорию вещественных чисел для записи этого уравнения. В общем, не думаю, что эта статья вдохновит новые успешные попытки использования новых числовых систем для описания физики (кроме тех, которые и так делаются, типа p-адических чисел).

[avva.livejournal.com]

Да, я тоже так не думаю. Статья довольно поверхностная. Просто она дала мне повод вспомнить об этой теме и написать запись.

[ybice.livejournal.com]

Далеко ходить и искать инопланетян не надо, так или иначе во всех компьютерных алгоритмах мы не используем вещественных чисел, опять же приближения. (При этом мы конечно подразумеваем их наличие)
Мне кажется если у иноплатенетян есть компьютеры, то как минимум тут мы друг друга поймем.

[chainiksu.livejournal.com]

Херь какая-то.
Весь наблюдаемый мир, простите за тавтологию, наблюдается в виде статистических интервалов. Уже на первом семестре студентов всех точных наук учат, что любая величина есть среднее плюс минус сигма, а дальше для практического (инженерного) применения - закладывайся на три сигмы, для научного открытия - на пять сигм. Другими словами, любые аналоговые величины измеримы только с некоторой погрешностью. Никаких "вещественных", "рациональных" и пр. чисел в природе нет - это всё суть математические абстракции! Так что наука (физика, химия, инженерная метрология и т.д.) при замене вещественных чисел рациональными вообще никак не изменится - она и так вся делается в десятичных дробях плюс минус сигма.
PS. При этом знании некоторые физические "постоянные" оказываются не совсем постоянными, см. например гравитационную постоянную G, при измерении которой разные эксперименты дают несовместные значения интервалов.

[bortans.livejournal.com]

Так речь как раз и идет о том, какими математическими абстракциями описывать наблюдаемый мир. В десятичных дробях плюс минус сигма получаются результаты экспериментов. А есть еще теория, речь идет о ней.

[hitroum.livejournal.com]

Хотите более серьёзного, но доступного изложения, почитайте Энгелера

http://nashaucheba.ru/v38418/?cc=1&view=djvu

[eterevsky.livejournal.com]

Числа, которыми оперируют физики — это строго говоря, распределения вероятности, так как никакие нецелые значения они в точности не знают. Впрочем, это не снимает вопрос о том, на каких числах эти распределения: на рациональных, вещественных или ещё каких.

Теоретически, можно ограничить себя "конструктивными" числами: теми, которые можно задать конечной математической формулой. Таких чисел счётное число (потому что формул счётное число) и все конкретные числа, с которыми мы столкнёмся в жизни, заведомо будут среди них.

[buddha239.livejournal.com]

Да-да, есть еще периоды - вещь интересная, особенно для тех, кто, как я, занимается мотивами.:) Конечно, мы не умеем определять соответствующие интегралы, не пользуясь вещественными/комплексными числами - но, может быть, научимся когда-нибудь?

[max630.livejournal.com]

Мне кажется, какие числа ни используй, основное содержание матанализа существенно не поменяется. Ну, возможно, придётся потратить немного больше времени на доказательства вещей типа теоремы Коши. А потом всё более-менее изоморфно теории с вещественными числами.

В конце концов, матанализ 150 лет развивался без строгого определения предела. Так что какая-то "реальность", похоже, есть.

[migmit.livejournal.com]

> Мне кажется, какие числа ни используй, основное содержание матанализа существенно не поменяется.

Особенно, если это будут p-адические.

[migmit.livejournal.com]

> какие числа лучше всего отражают то, что мы наблюдаем в реальности?

По-моему, ответ достаточно очевиден. Вещественные. Ну, и комплексные как их расширение. Поскольку ни для каких других чисел способ "отражать реальность" пока не придуман.

> Мы "открываем" математические истины, а не "создаем" их - в этом суть платонизма.

При чём тут платонизм? Мы просто нашли интересно выглядящие тавтологии, вот и всё.

> Возможно, они понимают, что это такое математически, но не считают их важными, потому что для развития теорий о том, как устроен физический мир, им хватило рациональных?

Возможно. Вот тогда мы получим возможность узнать, какие числа подходят лучше.

[alaev.livejournal.com]

Мне кажется очевидным, что у нормальных инопланетян будут в точности те же самые вещественные числа.

Представим, что у нас есть некоторая физическая величина. Мы измеряем её с помощью некоторого прибора, и получаем какой-то интервал (x1, y1) с рациональными концами. Если мы возьмём более точный прибор, то получим уже меньший интервал (x2, y2), и т.д. По определению, вещественное число - это "воображаемый" предел ограниченной возрастающей последовательности x1, x2, x3, ... То есть вещественные числа, как мы их понимаем, это в точности то же самое, что пределы последовательности измерений, точность которых всё время возрастает.

Понятно, что это одно из самых фундаментальных понятий в математике и естествознании вообще.

[bortans.livejournal.com]

Это если они "нормальные" :) и если их образ жизни более-менее похож на наш.

А если они уже давно живут в виртуальной рельности, то они давно забыли, что такое вещественные числа и зачем они нужны, у них останутся только строки кода и рациональные числа.

А на какой-то планете могут быть такие условия и формы жизни, что им вообще никогда ничего не нужно было измерять (не нужно было делать орудий труда, а тогда и измерения особенно не нужны), и им достаточно только целых чисел, хотя в остальном они могли развиться до высокого уровня, включая самосознание, речь, поэзию и т.д.

А на какой-то планете все настолько гении, что свободно оперируют в уме любыми числовыми системами (от вещественных к p-адическим, кватернионам и т.д.), примерно как для нас относительно легко переходить от десятичной системы к двоичной. И гамильтониан стандартной модели там будет одним из тестовых упражнений при поступлении в школу. Для них и вопроса такого не будет "какая числовая система лучше", все будут равнозначны.

В "Звездных дневниках Ийона Тихого" тоже помнится было несколько оригинальных форм жизни :)

[skylump.livejournal.com]

СЯУ, что наше пространство неэвклидово. Песец!

[avva.livejournal.com]

Ну ничего, в общем жить можно.

[mea-sententia.livejournal.com]

лучше всего наблюдаемая реальность описывается в комплексных числах.
многие люди не понимают таблицу умножения: умеют ей пользоваться, но рассматривают ее как некий артифакт, не выводимый из опыта.
зачем ориентироваться на людей не способных к абстрактному мышлению?

[mnvyy.livejournal.com]

В качестве первого приближения к инопланетянам можно взять Дж.Конвея. Для него первичным понятием является игра, а числа (разного рода) отвечают специальным играм. Произвольным вещественным числам отвечают очень замысловатые игры. Легко представить, что они сами по себе в "игровой" цивилизации никого не интересуют.
А законы природы... что законы природы. Принцип наименьшего действия и известный рассказ Лема намекают, что их можно формулировать в игровом виде. Обязателен ли там обычный анализ - кто знает.
Да, и у Чана есть рассказ на эту тему, забыл название.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

> законы природы. .... и известный рассказ Лема намекают, что их можно формулировать в игровом виде

Любопытно, а какой вы имели ввиду? У него много известных рассказов :)

[ibsorath.livejournal.com]

Я вот что не очень понимаю по поводу платонизма и антиплатонизма.

Почему бы не сформулировать так: мы "создаём" миры абстракций путём утверждения "правил игры" - а потом "открываем" в этих мирах нечто?

Ну вот классическая аналогия с шахматами, например. Шахматисты "создали" такие ситуации, как "пат" или "бесконечный мат" или что там ещё (я не шахматист, увы, так что прошу прощения за неточности)? Или они "открыли" их возможность?

Я бы сказал, что правила шахматной игры были придуманы, изобретены. А уже "внутри" этого изобретенного, придуманного мира люди много чего наоткрывали.

Так и в математике, к.м.к.

ПЛАТОНИЗМ

[poluyan.livejournal.com]

Конечно, он соответствует реальности - все ведущие философы были с этим согласны. А редукционизм - сведение математики к ощущениям - исчерпывающе раскритиковал Гуссерль. Что касается статьи, которую Вы тут разбирали - то это обычная некомпетентная дурь. Нужны ли вещественные числа для орписания реальности? - ну-ну... Садись, двойка.