немного геометрии (математическое)
Jan. 18th, 2013 01:23 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaВот, попалось мне сегодня простое и красивое доказательство того малоизвестного (но полезного) факта, что любой треугольник равнобедренный.
Пусть ABC - произвольный треугольник. Проведем в нем биссектрису угла A (она делит угол A пополам), отметим середину стороны BC точкой D, и проведем в ней перпендикуляр к BC.
Биссектриса A и перпендикуляр к BC либо параллельны, либо пересекаются. Если они параллельны, то легко видеть, что треугольник равнобедренный (собственно, тогда биссектриса и перпендикуляр совпадают друг с другом). Если же не паралелльны, то пусть они пересекаются в точке P, и проведем из нее перпендикуляры к двум другим сторонам, как на рисунке.
Осталось уже немного. У треугольников AEP и AFP (помечены "альфа" на рисунке) все углы равны и одна сторона общая, так что они полностью равны. Отсюда PE=PF. Треугольники PDB и PDC (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC. Наконец, треугольниким, помеченные "бета" на рисунке, тоже прямоугольные, и мы только что доказали, что у них равны гипотенузы и один из катетов, так что и второй равен: BE=CF. Добавляя к этому равенству также равные стороны треугольников "альфа", мы видим BE+EA = CF+FA, т.е. AB=AC, и треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.
(источник)
Пусть ABC - произвольный треугольник. Проведем в нем биссектрису угла A (она делит угол A пополам), отметим середину стороны BC точкой D, и проведем в ней перпендикуляр к BC.
Биссектриса A и перпендикуляр к BC либо параллельны, либо пересекаются. Если они параллельны, то легко видеть, что треугольник равнобедренный (собственно, тогда биссектриса и перпендикуляр совпадают друг с другом). Если же не паралелльны, то пусть они пересекаются в точке P, и проведем из нее перпендикуляры к двум другим сторонам, как на рисунке.
Осталось уже немного. У треугольников AEP и AFP (помечены "альфа" на рисунке) все углы равны и одна сторона общая, так что они полностью равны. Отсюда PE=PF. Треугольники PDB и PDC (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC. Наконец, треугольниким, помеченные "бета" на рисунке, тоже прямоугольные, и мы только что доказали, что у них равны гипотенузы и один из катетов, так что и второй равен: BE=CF. Добавляя к этому равенству также равные стороны треугольников "альфа", мы видим BE+EA = CF+FA, т.е. AB=AC, и треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.
(источник)
