немного геометрии (математическое)

[avva]

Вот, попалось мне сегодня простое и красивое доказательство того малоизвестного (но полезного) факта, что любой треугольник равнобедренный.



Пусть ABC - произвольный треугольник. Проведем в нем биссектрису угла A (она делит угол A пополам), отметим середину стороны BC точкой D, и проведем в ней перпендикуляр к BC.

Биссектриса A и перпендикуляр к BC либо параллельны, либо пересекаются. Если они параллельны, то легко видеть, что треугольник равнобедренный (собственно, тогда биссектриса и перпендикуляр совпадают друг с другом). Если же не паралелльны, то пусть они пересекаются в точке P, и проведем из нее перпендикуляры к двум другим сторонам, как на рисунке.

Осталось уже немного. У треугольников AEP и AFP (помечены "альфа" на рисунке) все углы равны и одна сторона общая, так что они полностью равны. Отсюда PE=PF. Треугольники PDB и PDC (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC. Наконец, треугольниким, помеченные "бета" на рисунке, тоже прямоугольные, и мы только что доказали, что у них равны гипотенузы и один из катетов, так что и второй равен: BE=CF. Добавляя к этому равенству также равные стороны треугольников "альфа", мы видим BE+EA = CF+FA, т.е. AB=AC, и треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.

(источник)

Comments

[huzhepidarasa.livejournal.com]

я в школе это доказательство проходил ;)

[bachilo.livejournal.com]

Забавно, да. Не сразу сообразишь, что перпендикуляр к середине ВС в неравнобедренном треугольнике пересекается с биссектрисой угла А не внутри, а ВНЕ треугольника. Представленный чертеж невозможен.

Только у вас опечатка: Во фразе "Треугольники PDB и PCB (помечены "гамма" на рисунке)" нужно не PCB, а PCD.

[leroy-ru.livejournal.com]

Почему вне треугольника? Они же как раз в середине BC пересекаются...

[leroy-ru.livejournal.com]

Простите, не выспался)

[sleeping-death.livejournal.com]

этот коммент должен быть скрыт ((

[avva.livejournal.com]

Спасибо, исправил.

[bortans.livejournal.com]

Не могу удержаться, чтобы не сказать, что я понял, что точка P будет вне треугольника до того, как посмотрел источник :) Зря вы, кстати, поместили ссылку на него. Надо было предложить догадаться в чем проблема (попросив, конечно, не гуглить) и до времени скрывать комментарии.

[alexeybobkov]

Я помню доказательство, что любые два угла равны. А про треугольники не знал)

[rsokolov.livejournal.com]

Следствие 1: всякий треугольник является равносторонним.
Следствие 2: любые два отрезка прямой равны друг другу.
Следствие 3: любой угол равен 60°.

(Дальше не хватает фантазии.)

[bortans.livejournal.com]

Что вы, это только начало:
Следствие 4: Все площади равны.
Следствие 5: Все объемы равны.
Следствие 6: Математика это жульничество.
... и наконец
Следствие n: Весь мир это иллюзия.

[sleeping-death.livejournal.com]

следствие n+1: скоро отпустит.

[thaere.livejournal.com]

То, что все объекты равны, доказывается по мат.индукции.

[green-fr.livejournal.com]

Основная теорема: одинаковое одинаковому рознь.

[http://users.livejournal.com/_jerry/]

Треугольники PDB и PCB (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC - Неверно

[nornverd.livejournal.com]

Самое оно для хорошего пробуждения в восемь утра.)

[stoshagownozad.livejournal.com]

я, конечно, училась и в школе, и в вузе, и даже хорошо училась, а потом очень многое позабывала, но с какой стати два треугольника альфа у нас равны? Ежику же (то есть мне) видно, что они не равны по стороне, противолежащей углу альфа пополам...

[andronic.livejournal.com]

Это почему?
Очень даже равны:
PE=PF=AP*sin(a/2).

[marat-yuldashev.livejournal.com]

Там должно быть видно, что и биссектриса не очень биссектриса, так что к рисунку имеет смысл относиться скептически.

Дубнов

[falcao.livejournal.com]

Насколько я помню, вот в этой популярной книжке из известной серии приведено это же рассуждение:

http://www.alleng.ru/d/math/math142.htm

[timur0.livejournal.com]

красиво. тут главное нарисовать точку пересечения внутри треугольника, а не на описанной окружности, где ей и место.

[francis-drake.livejournal.com]

Верно ли это?

[timur0.livejournal.com]

да. докажите сами :-)

[yms.livejournal.com]

пока читал, в голове Паниковский заговорил голосом Гердта: «Остап Ибрагимович, ну когда уже мы будем делить на ноль?»

[migmit.livejournal.com]

Кажется, что-то похожее у Кэрролла было.

[nemirovd.livejournal.com]

Это все прекрасно, только точка пересечения P лежит ВНЕ треугольника АБС. А все остальное верно %-)

[xgrbml.livejournal.com]

И что? Ну точно так же опустите из нее перпендикуляры на AB и AC, дальше аналогичное рассуждение работает.

[scherkas.livejournal.com]

Прямоугольные с одним равным катетом PD. Почему CD=BD?

[avva.livejournal.com]

Потому что D была отмечена как середина BC, в начале построения.

[scherkas.livejournal.com]

Ой, пропустил. Получается, Р обязательно лежит вне треугольника. Почитал сейчас по ссылке, так и это еще не все. Интересное наблюдение. И геометрия Евклида - неправильная аксиоматическая система. Как страшно жить!

[lord-baskervil.livejournal.com]

> треугольники PDB и PDC (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC
Эм, это с какого перепугу? У них один катет общий и все. BD != DC,

[rav-erev.livejournal.com]

+1. PD по условиям задачи - перпендикуляр, а не медиана, и делит сторону BC отнюдь не пополам.

[lord-baskervil.livejournal.com]

А, там по условию она середина.

[nadja-s.livejournal.com]

Есть хорошая задачка: построить треугольник по точкам пересечения его высоты, медианы и биссектрисы (из одной вершины) с описанной окружностью.

[i-am-a-jew-01.livejournal.com]

на глаз видно, что то, что нарисованно - не биссектриса угла А ...

[173175973.livejournal.com]

http://my-tribune.blogspot.com/2009/09/blog-post_26.html
http://my-tribune.blogspot.com/2009/09/blog-post_28.html

[taxifish.livejournal.com]

о! спасибо! недавно пытался вспомнить это доказательство ;-)

[substractor.livejournal.com]

Хороший метод - расположить обман в самом начале,
когда читатель еще расслаблен.)
Как в старой миниатюре у Хазанова - ".. Приехал обычный инженер из Англии в московскую гостиницу.."

[lithovore.livejournal.com]

Можно ещё добавить продолжение для тех, кто догадался, что P будет лежать вне треугольника: E и F (которые будут основаниями перпендикуляров, опущенных из P на прямые AB и AC соответственно) лежат вне отрезков AB и AC, поэтому AB=AE-BE=AF-CF=AC :)

[http://users.livejournal.com/_sabiko/]

Специально открыла потом источник, чтобы убедиться, что оборота, подобного "Осталось уже немного" там нет. Вы на нём палитесь :) После него сразу понимаешь, что лажа уже была, вот буквально только что - ну и соответственно, находится она мгновенно.

[ybice.livejournal.com]

Очень похоже на "Все лошади одного цвета."
Т.е и тут не рассмотрев все возникающие частные варианты расположения точки пересечения, получаем с виду правильное доказательство.

[onanymous.myopenid.com (from livejournal.com)]

Классика, да.



Вот тут дофига (http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy) такого.

- Вы любите "Начала" Евклида?

[nm-work.livejournal.com]

Не мой пройти мимо, отличное произведение :) как раз о треугольниках :)

http://lib.ru/INDEXLESS/wwg/russian/02a.html

[grek greka (from livejournal.com)]

Кому попалось, а кому в школе рассказывали =)
Учился в физмат классе, каждую неделю 4 урока физики, 7- математики, 3 года подряд. Перед окончанием школы от геометрии и тригонометрии хотелось блевать. Училка раньше закончила школьную программу и давала нам хрень математическую, которую студенты-технари на 1 курсе штудируют...=)

[ztarlitz.livejournal.com]

меня в школе научили не верить чертежам.
Кто-нибудь уже говорил что точка P на самом деле за пределами треугольника?

[ygam.livejournal.com]

Если интегрировать по частям ∫dx/(x ln x), то получится 1 + ∫dx/(x ln x). Следовательно, 0=1.

[vladiv.livejournal.com]

Точка Р - вне треугольника. Как уже неоднократно отмечено.
Потому что если продлить биссектрису из А до пересечения с BС, то точка пересечения Х будет ближе к меньшей стороне (биссектриса делит сторону BС - BХ:ХС пропорционально АB:АС), следовательно Х на чертеже левее D. Соответственно всё остальное неинтересно.

[livelight]

> прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны

Хехе :)

[max-i-m.livejournal.com]

Это рассуждение, а также много всего другого интересного про школьную геометрию есть в книжке Шеня http://www.math.ru/lib/files/pdf/shen/shen-rigor.pdf Мне кажется, что Вам понравится.