о разновидностях математического знания, а также о сизигиях

[avva]

Любопытная статья математика Филипа Дэвиса:

What Do I Know? A Study of Mathematical Self-Awareness

Подробный разбор, какие разновидности знания о математическом утверждении P могут быть у математика. С примерами. Не все разновидности там одинаково интересны, и некоторые имеют отношение лишь к прикладной математике. Список выходит эклектичный и недо-систематизированный, но все равно интересный, и дает пищу для размышлений.

Переведу только названия основных "states of knowledge" - подробное описание того, что они значат, и примеры см. в статье.

Итак, у нас есть некоторая математическая проблема P. Примеры того, что мы можем о нем знать (необязательно взаимоисключающие):

1. P - проблема, у которой есть математический смысл.
2. Я не знаю, как решить P, но если подумаю, то возможно решу.
3. Я не знаю решение P, но может быть, оно уже известно.
4. Я не знаю, есть у P вообще решение или нет.
5. Я могу доказать, что у P есть ответ.
6. Я могу доказать, что у P нет ответа.
7. Я могу доказать, что у P нет ответа, но если мы расширим контекст проблемы, у P появится ответ в расширенном контексте (частая и полезная ситуация в математике).
8. Я могу доказать, что у P есть ответ, но я не знаю, какой он.
9. У P есть ответ. Вот он (в некотором представлении). Я могу его проверить. Я могу доказать, что он единственен в некотором смысле.
10. Проблема P обсуждается. A заявляет, что у него есть ответ и предлагает его. B оспаривает это утверждение.
11. Я не знаю ответ на P. У меня есть алгоритм, который ищет ответ. Если алгоритм остановился, значит, он нашел правильный ответ.
12. Я не знаю ответ на P. Но P содержит в своем определении параметр, скажем P(n), и я знаю ответ в частных случаях P(1)...P(N). Если бы я знал ответ на все P(n), я знал бы ответ на P.

И так далее (есть еще более десятка разновидностей, но они все связаны с алгоритмами и не так значительно отличаются друг от друга, как уже перечисленные).

Еще процитирую оттуда то, что понравилось, когда автор обсуждает нетривиальность состояния "это уже известно", и как в общем случае мы можем или не можем это проверить:

With regard to buried concepts and altered contexts, consider this example. In one of the first issues of the American Journal of Mathematics (1879), Arthur Cayley, world-renowned British mathematician, works out the number of asyzygetic covariants of degorder (Θ, μ) for the binary seventhic. I do not know what these words mean. I have a vague feeling of what kind of mathematics this is likely to be, and I would suspect that whatever it means, it would be said differently today. How can an information system be devised that will make Cayley's result comprehensible to me quickly and cheaply?

Comments

[gimli-m.livejournal.com]

Когда я ещё не очень знал, что с собой делать, мне очень нравились теории математического образования. Я чуть было не получил PhD in mathematical education вместо нормальной кандидатской (зачёркнуто). Но вовремя передумал, посмотрев на моральные мучения соседки по офису, которая писала диплом на тему "Знают ли аспиранты, преподающие статистику, статистику в достаточной степени для преподавания статистики" (краткое содержание: нет).

У меня тогда была масса новаторских идей. В частности, я предлагал подвергать класс студентов автоматическому анализу на предмет связности графа их коллективной компетентности. Граф состоял из математических терминов, а его рёбра - степени связанности понятий в голове студента. Вот эти рёбра были очень похожи на перечисленные выше states of mathematical knowledge. Только они были попроще, и сформулированы как дуальные, т.е. отношения между задачами P и Q.

[avva.livejournal.com]

"Знают ли аспиранты, преподающие статистику, статистику в достаточной степени для преподавания статистики" (краткое содержание: нет).

Это прекрасно :)

[avva.livejournal.com]

В сборнике лучших эссе по математике за 2012 год, что я сейчас читаю, есть одна-две заметки по математическому образованию. Мне понравились, например, в статье о переменных (т.е. как приучать учеников правильно понимать, что такое x и y и как к ним относиться) любопытные примеры типичных ошибок. Например, "x четное число, если есть такое k, что x=2k", но ученики часто опускают кванторы или забывают о том, что они связывают переменные, и поэтому получается так: хотим доказать, что сумма четного и нечетного - нечетное. Пусть у нас есть четное число, оно равно 2k, и нечетное, оно равно 2k+1, их сумма будет 4k+1...

[buddha239.livejournal.com]

Это было среднестатистическое "нет"?:)

[burrru.livejournal.com]

Для работы над диссертацией читал книжку Кэли. Разобраться в той науке очень просто: как только понимаешь их задачи и методы, так сразу все становится ясно.

[bortans.livejournal.com]

Мне сложно воспринимать разновидности знания, если они формулируются в виде не просто не взаимоисключающих вариантов, а и иногда дополняющих друг друга, например "Я могу доказать, что у P есть ответ" и "Я могу доказать, что у P есть ответ, но я не знаю, какой он". Как углубление или уточнение знания - это можно понять. Как разновидности, которые нумеруются в однородном списке - нельзя, по-крайней мере мне. А если есть еще более десятка других разновидностей, то вообще караул.

В общем, очень это напоминает мне классификацию животных в древней китайской энциклопедии: "Животные делятся на а) принадлежащих Императору, б) набальзамированных, в) прирученных, г) сосунков, д) сирен, е) сказочных, ж) отдельных собак, з) включенных в эту классификацию, и) бегающих как сумасшедшие, к) бесчисленных, л) нарисованных тончайшей кистью из верблюжьей щерсти, м) прочих, н) разбивших цветочную вазу, о) похожих издали на мух."

[avva.livejournal.com]

Я это воспринимаю как полезное напоминание о том, "как бывает" (a study in self-awareness, как и обещает название статьи). Скажем, до прочтения этой статьи если бы меня спросил кто-то, что я могу знать о произвольном утверждении P, я бы, пожалуй, сказал, что могу знать, что P верно, знать, что неверно, подозревать, что P верно/неверно, но не мочь доказать, и знать/подозревать, что P независимо от аксиом теории множеств :) Но мне бы не пришло в голову выделить в качестве отдельных возможностей такие ответы, как 3, 7 или 10 в списке выше, хотя увидев их, я осознаю, что это очень частые, обыденные ситуации в математической жизни.

Очень много лет назад я играл в КВН в школе. Одним из заданий, которое во время игры должна была выполнить наша команда и соперники, было произнести фразу "я потеряла две копейки" как можно большим числом способов. Девочка из нашей команды вышла и произнесла ее наверное 30 разными способами (логическое ударение в разных местах, разные эмоции, паузы, воскл/вопр, итд.); девочка из второй команды вышла и сказала только четыре варианта с логическим ударением ("Я потеряла две копейки", "я ПОТЕРЯЛА две копейки" итд.). Мне это запомнилось как пример того, как много можно упустить, просто потому, что возможности не приходят в голову (а не потому, что ты их отвергаешь или не умеешь использовать). Если бы второй команде пришло в голову, что "произнести разными способами" включает в себя и разные эмоции итд., а не только логическое ударение, они бы сделали это не хуже нас; но они 'застряли' на этом одном варианте.

[bortans.livejournal.com]

Как напоминание о том, "как бывает" - это полезно, согласен. Подробное рассмотрение разных вариантов - тоже полезно. Но учитывая мою склонность к систематизации (уравновешиваемую, конечно, пониманием того, что не все можно классифицировать, что классификации бывают не точными и т.д.) мне бы хотелось результатом подобной статьи видеть не смешение всех вариантов, подвариантов, почти синонимов, расширений вариантов, разных подходов и т.д. в одну кучу (как в китайской энциклопедии, которую тоже можно оценивать как “рассмотрение с разных сторон”), а некое упорядочение всего этого в многоуровневый список, в котором, например, на первом уровне будут основные вопросы которые можно задать, на втором - варианты ответов, будут показаны связи между ними и т.д. А если так невозможно, то обоснование, почему это невозможно (хотя, думаю, это возможно, надо просто правильно подойти к подобной классификации).

Возможно я ошибаюсь (я не читал статью, только пролистал ее страницы), но у меня ощущение, что автор остановился на полпути. Показал наличие проблемы, обсудил разные варианты подходов, но не попытался как-то их упорядочить и указать взаимные связи между ними. Я не прав?

А (разумное) упорядочение мне нравится потому, что:
1) Помогает глубже понять суть явления, включая:
1а) в каких случаях оно себя проявляет,
1b в чем оно себя проявляет, включая:
1ba) какими вариантами оно может себя проявлять,
1bb) как эти варианты связаны друг с другом.
2) Позволяет соотнести это явление с другими подобными явлениями, включая:
2a) явления одного уровня с данным,
2b) явления господствующие над данным (из которых данное явление вытекает),
2c) явления подчиненные данному (которые вытекают из данного явления)
3) Позволяет лучше запомнить это явление на будущее и уметь его применять, включая:
3a) в мозгу остается не каша из несвязных образов, которая нестабильна и быстро улетучивается, а некий содержательный и связный граф,
3b) устанавливаются устойчивые связи с другими явления
3ba) например, такие устойчивые связи могут образовываться между отдельными признаками данного явления и отдельными признаками других явлений.

Специально привел это в виде некоей классификации :) Конечно, схематичной и не полной, просто первые и быстрые мысли прямо сейчас по этому поводу.

Кстати, ваш пример про КВН это как раз иллюстрация грамотной и полезной упорядоченности. Сначала вы перечислили возможные разницы в способах произнесения фразы (логическое ударение в разных местах, разные эмоции, паузы, воскл/вопр, и т.д.). Изначально, допустим, можно применять только один из этих способов. Например, только делать логическое ударение в разных местах, но без пауз и с одной эмоцией. Затем, эти способы можно было бы комбинировать, например разные эмоции при разных логический ударениях, и т.д. И как раз составление подобной классификации и помогает понять, как много может быть разных способов произнесения одной фразы.

В целом, мне кажется, в этом и есть по-большому счету суть науки. Пытаться из внешне несвязанных явлений и понятий мира сформировать логически связную картину исходя из неких фундаментальных явлений и общих законов поведения этих явлений. Минимизировать количество произвольных и случайных постоянных. Показать, как вытекая из одного корня - они все связаны между собой и влиют друг на друга. И, в результате, достичь большего уровня понимания мира, которое (понимание), по-сути, есть некое чувство уверенности, комфорта, и умения предугадывать как мир себя поведет и управлять им.

[inkogniton.livejournal.com]

Про 7 не поверю, что Вы бы не выделили -- к примеру, у какого-то дифференциального уравнения нет глобального решения, но вполне может быть локальное решение, это достаточно частая ситуация:) Или, к примеру, чего-то нет в конечномерном пространстве (какой-нибудь характеристики), но при переходе в бесконечномерное пространство появляется. Конечномерные пространства, в этом смысле, вообще клад -- в них очень часто вообще невозможно (или очень сложно) сформулировать задачу или определить какой-нибудь объект. А при переходе к бесконечномерным пространствам это всё начинает иметь смысл. В матфизике это на каждом шагу:) Ещё можно, конечно, вспомнить про всякие задачи, которые сводятся к P/NP. Тогда смотришь на задачу и понимаешь, что решения нет, но если возможно сделать редукцию на одну из известных задач, то оказывается, вдруг, что есть -- этот пример, конечно, хуже. Впрочем, в этой области Вы знаете вещи значительно лучше меня (если я правильно понимаю:)))

На тему 3 -- это, на самом деле, то, что называется интуиция и образование. То есть смотришь на задачу и пытаешься определить 1) насколько она сложная и интересная; 2) кто бы мог ей заниматься; 3) могли ли её решить. И тогда определяешься: что, скорее всего, к примеру, это известно и надо посмотреть в литературе А, Б, В, Г.

Я бы ещё выделила, но он, скорее всего, это уже всё сделал, а читать статью сейчас нет сил и времени:))

[avva.livejournal.com]

Под номер 7 подпадают и еще более фундаментальные примеры из истории математики - "уравнение X+1=0 не имеет решения, но давайте теперь расширим контекст и изобретем отрицательные числа", "уравнение x^2+1=0 не имеет решения, но..."

[inkogniton.livejournal.com]

Несомненно:)) На самом деле, хотела начать с них, но подумала, что это уже касается аксиом и существования тех чисел, которые мы уже знаем и решила пойти в чуть более сложные задачи:))

[inkogniton.livejournal.com]

Ой, а можно вопрос -- давно хотела спросить, Вы в каких годах в Иерусалимском универе были? Просто интересно -- я там треть жизни провела, чего-то мне кажется, что года должны быть похожи:))

[avva.livejournal.com]

98-2002 примерно.

[inkogniton.livejournal.com]

Как интересно:) Я с 99 по 2010:) Первая по математике и компьютерам, а остальное по математике:) То есть, я, наверное, Вас знаю:)) Забавно:))

[avva.livejournal.com]

Разве что я ваши домашки проверял - я же учился только на второй степени (ну, в 98-м несколько курсов с первой "хашламот"). К тому времени, как вы вторую степень начали, я, наверное, закончил уже все курсы своей. Но пересекались в коридорах наверняка не раз.

[inkogniton.livejournal.com]

Да, я так и подумала:)) Я всё время стояла рядом с Россом и курила -- надо мной шутили, что меня легко узнать -- маленькая, но громкая:)) На самом деле, действительно интересно было. Просто это Боря Левант мне рассказал о Вас, в смысле сказал, что вот есть такой мой старый друг, он ведёт хороший журнал, а я тогда журнал буквально вчера завела (чёрт, это значит, что я Ваш журнал уже четыре с половиной года читаю) :)) А потом посмотрела -- у Вас Иерусалим в анамнезе -- стало ужасно интересно:)) Ну да -- я где-то в 2002-2003 закончила первую:))

[avva.livejournal.com]

Я в основном либо сидел в компьютерной лаборатории на 2-м этаже факультета, либо в библиотеках. Особенно не хватает Национальной библиотеки, что я там только не листал...

[inkogniton.livejournal.com]

Хе-хе, на втором этаже я работала тогда (году в 2001, кажется) -- делала вид, что я сисадмин:))) И ещё к Кеше бегала за консультациями:)) О, Национальную библиотеку я тоже очень люблю:)) Я ещё в математической торчала много -- неудивительно:) Вот поэтому я люблю академию -- все библиотеки всегда с тобой -- во всех университетах хорошие библиотеки:)) Вот только к стыду своему, за два года здесь (в Принстоне) я, кроме научных, до остальных пока не дошла. Но планирую:)

[ilya-dogolazky.livejournal.com]

Мне кажется эта классификация несколько упирает на "я знаю", совершенно упуская глагол "верю". Вместо писания многих букф на эту тему помещаю сцылку на лекцию http://univertv.ru/video/matematika/matematicheskie_metody_i_modeli/matematicheskoe_dokazatelstvo_vchera_segodnya_zavtra/vystuplenie_na_vavilova/

[migmit.livejournal.com]

О, научный папа, давно не видел. Говорит, как всегда, интересно, но, как случается, фигню.