геркулес и гидра (математика)
Feb. 21st, 2002 01:29 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaВот любопытная математическая задачка.
Если кто уже знает решение, не отвечайте.
Об очень интересной связи этой задачки с мат. логикой будет отдельная запись, после того, как в комментах появится правильное решение (или я сам его напишу). Если в комментах появится правильное решение, я сообщу об этом в апдейте здесь.
Итак, у нас есть гидра и Геркулес, который хочет её победить.
Гидра - любое конечное дерево, растущее из одного корня. Количество "сыновей" каждой вершины не ограничено (но конечно), равно как и высота дерева.
(заранее прошу прощения на случай, если моя терминология не совпадает с принятой в России — я нахально перевожу термины с английского)
Пример гидры с корнем в вершине А:
Головами гидры назовём листья дерева - вершины, не имеющие сыновей. В данном примере головы - B,D,F,G,H.
Битва между Геркулесом и гидрой проводится дискретными ходами. На каждом ходу Геркулес отрубает одну из голов гидры (т.е. разрешается рубить только листья дерева).
Если у отрубленной головы нет "дедушки", т.е. эта голова - корень или вершина, выходящая из корня, то ничего не происходит и мы переходим к следующему ходу. Если же у вершины есть "дедушка", то после её отрубления у гидры вырастают, из "дедушки", N точных копий дерева начиная с "отца" отрубленной головы, где N - номер хода.
Пример. Предположим, что своим первым ходом Геркулес отрубает голову G у гидры, изображённой выше. Тогда после первого хода гидра будет выглядеть так:
Если бы это был не первый ход, а 15-й, то после него от вершины C отходили бы 15 новых под-деревьев E1-F1-H1, E2-F2-H2, ..., E15-F15-H15.
С другой стороны, если у изображённой выше гидры Геркулес отрубает голову B, то у гидры не вырастают новые головы в результате этого хода.
Понятно, таким образом, что после отрубления одной головы у гидры может вырасти сразу очень много новых голов, причём чем дальше продолжается борьба, тем больше номера ходов и тем больше копий под-деревьев создаются в результате следующего хода (если он не рубит корень или вершину, выходящую из него).
Теперь собственно задачи:
1. Доказать: Для любой данной гидры у Геркулеса есть стратегия вырубки голов, позволяющая в результате полностью уничтожить эту гидру (за конечное число шагов).
Это простое задание. Можно заняться им, если не получается второе или в качестве подготовки к нему. Главное же задание вот какое:
2. Доказать: Для любой данной гидры любая стратегия Геркулеса по вырубке голов приводит к полному уничтожению гидры (за конечное число шагов).
Если кто уже знает решение, не отвечайте.
Об очень интересной связи этой задачки с мат. логикой будет отдельная запись, после того, как в комментах появится правильное решение (или я сам его напишу). Если в комментах появится правильное решение, я сообщу об этом в апдейте здесь.
Итак, у нас есть гидра и Геркулес, который хочет её победить.
Гидра - любое конечное дерево, растущее из одного корня. Количество "сыновей" каждой вершины не ограничено (но конечно), равно как и высота дерева.
(заранее прошу прощения на случай, если моя терминология не совпадает с принятой в России — я нахально перевожу термины с английского)
Пример гидры с корнем в вершине А:
A
/ \
B C
/ \
D E
/|\
F G H
Головами гидры назовём листья дерева - вершины, не имеющие сыновей. В данном примере головы - B,D,F,G,H.
Битва между Геркулесом и гидрой проводится дискретными ходами. На каждом ходу Геркулес отрубает одну из голов гидры (т.е. разрешается рубить только листья дерева).
Если у отрубленной головы нет "дедушки", т.е. эта голова - корень или вершина, выходящая из корня, то ничего не происходит и мы переходим к следующему ходу. Если же у вершины есть "дедушка", то после её отрубления у гидры вырастают, из "дедушки", N точных копий дерева начиная с "отца" отрубленной головы, где N - номер хода.
Пример. Предположим, что своим первым ходом Геркулес отрубает голову G у гидры, изображённой выше. Тогда после первого хода гидра будет выглядеть так:
A
/ \
B C
/|\
/ | \
D E E1
/ | | \
F H F1 H1
Если бы это был не первый ход, а 15-й, то после него от вершины C отходили бы 15 новых под-деревьев E1-F1-H1, E2-F2-H2, ..., E15-F15-H15.
С другой стороны, если у изображённой выше гидры Геркулес отрубает голову B, то у гидры не вырастают новые головы в результате этого хода.
Понятно, таким образом, что после отрубления одной головы у гидры может вырасти сразу очень много новых голов, причём чем дальше продолжается борьба, тем больше номера ходов и тем больше копий под-деревьев создаются в результате следующего хода (если он не рубит корень или вершину, выходящую из него).
Теперь собственно задачи:
1. Доказать: Для любой данной гидры у Геркулеса есть стратегия вырубки голов, позволяющая в результате полностью уничтожить эту гидру (за конечное число шагов).
Это простое задание. Можно заняться им, если не получается второе или в качестве подготовки к нему. Главное же задание вот какое:
2. Доказать: Для любой данной гидры любая стратегия Геркулеса по вырубке голов приводит к полному уничтожению гидры (за конечное число шагов).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
 ðåçóëüòàòå ëþáîãî õîäà Ãåðêóëåñà (îòñå÷åíèÿ ãîëîâû) íå óâåëè÷èâàåòñÿ íè êîëè÷åñòâî "óðîâíåé âëîæåíèÿ" Ãèäðû, íè "ðàçâåòâëåííîñòü" âåòâåé íà ïðåäûäóùåì óðîâíå. Ðàçâåòâëåííîñòü æå êîïèé, âîçíèêàþùèõ íà ïðåä-ïðåäûäóùåì óðîâíå íåèçìåííî óìåíüøàåòñÿ (êàæäàÿ êîïèÿ èìååò íà îäíó ãîëîâó ìåíüøå, ÷åì óñå÷åííûé "îðèãèíàë").
Ýòî íåèçìåííî ïðèâåäåò ê ïîñòåïåííîìó óíè÷òîæåíèþ Ãèäðû.
Èëè ýòî íåäîñòàòî÷íîå îáúÿñíåíèå?
no subject
Date: 2002-02-21 06:45 am (UTC)Óìåíüøàþùàÿñÿ ðàçâåòâë¸ííîñòü êîïèé ìîæåò áûòü êîìïåíñèðîâàíà èõ èñêëþ÷èòåëüíî áûñòðûì ðîñòîì. Íå ãîâîðÿ óæ î òîì, ÷òî ïðè ðîñòå ãîëîâ êîïèðóþòñÿ öåëûå îãðîìíûå äåðåâüÿ (íèæíèõ óðîâíåé), ó êîòîðûõ ðàçâåòâë¸ííîñòü ïðè ýòîì íå èñ÷åçàåò.
Ò.å. ýòî îïÿòü-òàêè âñåãî ëèøü ïåðåñêàç èíòóèòèâíîãî îøóùåíèÿ "ñóæåíèÿ" äåðåâüåâ, áåç ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà (ñì. òàêæå íèæå ìîé êîììåíò ïî ýòîìó ïîâîäó).