геркулес и гидра (математика)

[avva]

Вот любопытная математическая задачка.
Если кто уже знает решение, не отвечайте.
Об очень интересной связи этой задачки с мат. логикой будет отдельная запись, после того, как в комментах появится правильное решение (или я сам его напишу). Если в комментах появится правильное решение, я сообщу об этом в апдейте здесь.

Итак, у нас есть гидра и Геркулес, который хочет её победить.
Гидра - любое конечное дерево, растущее из одного корня. Количество "сыновей" каждой вершины не ограничено (но конечно), равно как и высота дерева.
(заранее прошу прощения на случай, если моя терминология не совпадает с принятой в России — я нахально перевожу термины с английского)
Пример гидры с корнем в вершине А:

        A
       / \
      B   C
         / \
         D  E
           /|\
          F G H

Головами гидры назовём листья дерева - вершины, не имеющие сыновей. В данном примере головы - B,D,F,G,H.

Битва между Геркулесом и гидрой проводится дискретными ходами. На каждом ходу Геркулес отрубает одну из голов гидры (т.е. разрешается рубить только листья дерева).

Если у отрубленной головы нет "дедушки", т.е. эта голова - корень или вершина, выходящая из корня, то ничего не происходит и мы переходим к следующему ходу. Если же у вершины есть "дедушка", то после её отрубления у гидры вырастают, из "дедушки", N точных копий дерева начиная с "отца" отрубленной головы, где N - номер хода.

Пример. Предположим, что своим первым ходом Геркулес отрубает голову G у гидры, изображённой выше. Тогда после первого хода гидра будет выглядеть так:

       A
      / \
     B   C
        /|\
       / | \
      D  E  E1
       / |  | \
      F  H F1 H1 

Если бы это был не первый ход, а 15-й, то после него от вершины C отходили бы 15 новых под-деревьев E1-F1-H1, E2-F2-H2, ..., E15-F15-H15.
С другой стороны, если у изображённой выше гидры Геркулес отрубает голову B, то у гидры не вырастают новые головы в результате этого хода.

Понятно, таким образом, что после отрубления одной головы у гидры может вырасти сразу очень много новых голов, причём чем дальше продолжается борьба, тем больше номера ходов и тем больше копий под-деревьев создаются в результате следующего хода (если он не рубит корень или вершину, выходящую из него).

Теперь собственно задачи:

1. Доказать: Для любой данной гидры у Геркулеса есть стратегия вырубки голов, позволяющая в результате полностью уничтожить эту гидру (за конечное число шагов).

Это простое задание. Можно заняться им, если не получается второе или в качестве подготовки к нему. Главное же задание вот какое:

2. Доказать: Для любой данной гидры любая стратегия Геркулеса по вырубке голов приводит к полному уничтожению гидры (за конечное число шагов).

Comments

Re:

[avva.livejournal.com]

Âñ¸ ïðàâèëüíî íàñ÷¸ò ïåðâîé çàäà÷è.
Âòîðàÿ çàäà÷à òàêèìè ñïîñîáàìè íå ðåøàåòñÿ, óâû.

Ïîäóìàéòå, åñëè õîòèòå, íî ó÷òèòå, ÷òî å¸ ðåøåíèå ÿ óæå çàïèñàë â ñâî¸ì äíåâíèêå (íà äåíü ïîçæå ýòîé çàïèñè). Ñåãîäíÿ åù¸ ïëàíèðóþ îáúÿñíèòü äëÿ òåõ, êòî ýòîãî íå çíàåò, íóæíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ äëÿ îáúÿñíåíèÿ ðåøåíèÿ.

Î òîì, îòêóäà âçÿëàñü çàäà÷à, òîæå âñêîðå ñòàíåò ÿñíî, åñëè áóäåòå ñëåäèòü çà ìîèì äíåâíèêîì ;) ÿ ïëàíèðóþ îáúÿñíèòü å¸ çíà÷åíèå è ïðîèñõîæäåíèå ñåãîäíÿ èëè çàâòðà.

[(Anonymous)]

>Âòîðàÿ çàäà÷à òàêèìè ñïîñîáàìè íå ðåøàåòñÿ, óâû.
Âðîäå ðåøèë è âòîðóþ, ïðè ýòîì ðåøåíèå ÷àñòè÷íî ïåðâîé èñïîëüçóåòñÿ.
Ðåøåíèå ïðèâîäèòü íå áóäó - óæ áîëüíî êîðÿâî âûãëÿäèò, êîãäà ïûòàþñü åãî ôîðìàëüíî îïèñàòü:) - íå ìàòåìàòèê ÿ, ê ñòðîãîñòè íå ïðèó÷åí.
Êñòàòè, ïðèøåë â ãîëîâó åùå îäèí èíòåðåñíûé âàðèàíò ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è, íî äî êîíöà äîäóìàòü åãî íå ìîãó.
Âàðèàíò òàêîé - ïðèñâîèòü âñåì âåðøèíàì íîìåðà (óíèêàëüíûå,íî íå ïî ïîðÿäêó, è âñå ïîëîæèòåëüíûå), ó êîðíÿ - ñàìûé áîëüøîé íîìåð, ïðè ïîðîæäåíèè íîâûõ âåðøèí èõ íîìåðà äîëæíû áûòü ìåíüøå íîìåðà óäàëÿåìîé. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ î÷åâèäíî (øàãîâ áóäåò íå áîëüøå, ÷åì íîìåð êîðíåâîé âåðøèíû). À òàê êàê âîîáùå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò - íîìåðà ïðèñâîèòü ìîæíî. Îñòàëîñü ìàëîñòü - ïðèäóìàòü ôóíêöèþ, îáðàçóþùóþ òðåáóåìóþ íóìåðàöèþ.