о литрах, людях и умножении
Apr. 18th, 2013 10:58 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaОб этой истории уже написаны десятки записей и тысячи комментариев, и я не собирался к ним ничего добавлять, но пришло в голову несколько соображений, которые вроде бы в других местах не видел (хотя все тысячи комментариев не читал), и решил поделиться.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечаетbiglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?
Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологиюbiglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:
1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":Оказалось, что огромное количество людей пользуется неким альтернативным умножением по следующей методике:
"В качестве размерности произведения берем размерность первого множителя, т.е., все размерности, упомянутые после первого множителя, из рассмотрения выбрасываем."
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечает
biglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологию
biglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
NOTE: In changing the order of factors the one taken for the multiplier should always be regarded as an abstract number (see 74g) the other should take the denomination of the original multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc.Здесь "abstract number" как раз означает безразмерное число, а "denomination" - размерность (литры, человеки итд.). То есть, если следовать этим правилам и применить их к задаче про 18 литров, как раз надо записать 9 * 2 литра = 18 литров, но никак на 2 литра * 9 = 18 литров - это неправильно, потому что первый множитель это всегда число "раз", абстрактное, безразмерное число.
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-04-18 08:08 am (UTC)Если так, то правильно писать: 9*x = y = 9*2л = 18л :)
no subject
Date: 2013-04-18 08:08 am (UTC)Как раз со сложением труднее было бы: складывая несколько раз (литр/чел), получаем те же самые (л/чел) в ответе, и придётся объяснять, что в результате сложения мы на самом деле мысленно передаём долю одного чела другому...
no subject
Date: 2013-04-18 08:09 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:10 am (UTC)С другой стороны, становится понятно, почему позднее в курсе Физики у многих возникают проблемы с размерными вычислениями.
no subject
Date: 2013-04-18 08:11 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:11 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:13 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:22 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:26 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:28 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:29 am (UTC)интересно, почему у физиков никогда не возникает никаких проблем с умножением? наверное потому, что они умножают величины с указанием размерности ...
no subject
Date: 2013-04-18 08:29 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:29 am (UTC)"In mathematics education, a controversy was sparked in the early 1990s by the issue of whether the operation of multiplication should be taught as being a form of repeated addition. Participants in the debate brought up multiple perspectives, including axioms of arithmetic, pedagogy, learning and instructional design, history of mathematics, philosophy of mathematics, neuroscience, and computer-based mathematics."
прямо про нынешнюю жежешечку написано :))
как правильно?
Date: 2013-04-18 08:35 am (UTC)2[л/чел]*9[чел] = 9[чел]*2[л/чел] = 18[л]
no subject
Date: 2013-04-18 08:35 am (UTC)Вот это мне кажется логичным, да.
Не возражаю против того, чтобы на первом этапе обучения школьника, показывать логическую разницу в 2*9 и 9*2. Но только она имеет место лишь тогда, когда к конкретным множителям приписывается "человеки" или "литры", потому как по-любому 2л*9 = 9*2л. А говорить о некоей принятой последовательности записи множителей -- это выглядит каким-то особым ханженством.
no subject
Date: 2013-04-18 08:37 am (UTC)И при сложении, конечно, не просто складываются л/чел, а каждое слагаемое умножается на 1 чел, так что в итоге складываются литры.
no subject
Date: 2013-04-18 08:37 am (UTC)Все развитие человечества — это появления новых методик и способов, либо опровергающих старые, либо оказывающиеся более эффективными.
До какого-то момента двигатель внутреннего сгорания был неизвестен. В какой-то период — известен, но неэффективен. И только после того, как он вытеснил лошадей, можно сказать — таки да.
Поэтому безоговорочное следование «проверенному веками» не обязательно является разумным и правильным поступком.
Следующий аспект, касающийся наследования прошлых методик, связан с их... пусть будет ритуализацией. Сильней всего это заметно в религии и культуре, когда простое мероприятие обрастало иконами, песнопениями, особыми одеждами и т.д. В науке ритуализации меньше, но она присутствует. Для действий, неизменных на протяжении длительного периода времени, добавляются некие аспекты, отличающий простого %имя профессии% от истинного. С учетом ритуализации мой ответ на ваш пост выглядит так:
«Да, я полностью с вами согласен. Простой, и, зачастую, невежественный математик, не зная сути умножения, может позволить себе переставить множители местами. Действительно, зачем сохранять порядок, если результат не изменится?
Но истинные математики, знающие историю и суть умножения, знакомые с трудами таких светил, как ХХХ и УУУ, не позволят себе умножать анархию, меняя местами множители. О, относясь к процессу умножения с трепетом и уважением, они расставят множители в порядке, заповеданом предками, и лишь потом произведут умножение».
Да, кстати, странное наблюдение. Предположим, что в «9*2», которое, согласно вашим словам, надо записывать, как 2*9, двойка неизвестна и обозначена иксом. Неужели теперь недоступна сокращенная запись 9х, и надо писать только х*9? Или допустимо х9?
no subject
Date: 2013-04-18 08:39 am (UTC)со сложением труднее
Date: 2013-04-18 08:41 am (UTC)я все время немножко опаздываю ))))
no subject
Date: 2013-04-18 08:42 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:43 am (UTC)А тут зашли девятеро, и каждый взял по два литра, - тот же контекст, и опять никаких человеков нет. То-есть, речь идет о двух литрах, еще двух литрах, итак далее, всего девять раз (по-прежнему, никаких человеков). Как ни крути, мы имеем 9*2л=2л*9=18л.
Правильный вопрос вот какой: первая запись означает "девять раз (налил) по два литра", вторая - "по два литра (налил) девять раз". Любой нормальный ребенок прекрасно понимает, что это одно и то же высказывание. Отнюдь не любой учитель ( а в особенности - методист) понимает, что к коммутативности умножения это высказывание никакого отношения не имеет.
no subject
Date: 2013-04-18 08:45 am (UTC)Если усложнить условие и объяснить собеседнику, что такие задачи можно подавать с разной логикой: со стороны “человека” (девять человек взяли по две бутылки) и со стороны “бутылок” (бутылки порциями по две были разобраны девятью покупателями), собеседник начинает сопротивляться и выдумывать совсем уже занимательные построения. Потому что “вещи” и “разы”, оказывается, легко меняются местами, а переместительный закон покоится на неком мощном фундаменте. И это еще не доходя до анализа размерности, там вообще логический швах начинается.
То есть “не укради” без сомнения и легко уживается с готовностью унести с работы все что угодно, при этом сам несун искренне не понимает, почему его называют вором. И очень сильно сопротивляется, когда все-таки приходится признать явное надувательство во всех его "логических" построениях. Безусловно, и привлечение авторитетов присутствует, как же без него - то ли методички, то ли экспроприация экспрорпиаторов.
no subject
Date: 2013-04-18 08:49 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-18 08:52 am (UTC)множимое — ого; ср. Матем. Первое из двух перемножаемых чисел или величин. Большой толковый словарь русского языка. 1 е изд е: СПб.: Норинт. С. А. Кузнецов. 1998
no subject
Date: 2013-04-18 08:52 am (UTC)— Что вы хотите этим сказать, мистер Поттер? — нахмурился Флитвик.
— Извините, я, наверное, не совсем точно выразился. Я имел в виду воспитательную ложь, которую используют, чтобы обучать учеников. Например, в математике сначала изучают целые числа, и лишь потом постепенно переходят к рациональным, вещественным, комплексным. Вот я себя и спрашиваю, так ли это здесь, и если да, то в каких дисциплинах, потому что не люблю запоминать то, что неправильно, даже если так проще объяснить.» (из фанфика) :)