о литрах, людях и умножении

[avva]

Об этой истории уже написаны десятки записей и тысячи комментариев, и я не собирался к ним ничего добавлять, но пришло в голову несколько соображений, которые вроде бы в других местах не видел (хотя все тысячи комментариев не читал), и решил поделиться.

История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.

В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.

Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.

Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.

Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:

если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек

Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":

Оказалось, что огромное количество людей пользуется неким альтернативным умножением по следующей методике:

"В качестве размерности произведения берем размерность первого множителя, т.е., все размерности, упомянутые после первого множителя, из рассмотрения выбрасываем."

Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечает biglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?

Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.

До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологию biglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:

1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".

На странице 79 мы читаем:

NOTE: In changing the order of factors the one taken for the multiplier should always be regarded as an abstract number (see 74g) the other should take the denomination of the original multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc.

Здесь "abstract number" как раз означает безразмерное число, а "denomination" - размерность (литры, человеки итд.). То есть, если следовать этим правилам и применить их к задаче про 18 литров, как раз надо записать 9 * 2 литра = 18 литров, но никак на 2 литра * 9 = 18 литров - это неправильно, потому что первый множитель это всегда число "раз", абстрактное, безразмерное число.

2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.

Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.

Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?

Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").

Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.

Comments

[xaxam.livejournal.com]

Я чего-то не понял, про размерности. Очевдно же, что первый множитель имеет размерность (литр/человек), по определению: "продал два литра каждому (одному) человеку", а второй - (человек), так что произведение как раз в литрах будет.

Как раз со сложением труднее было бы: складывая несколько раз (литр/чел), получаем те же самые (л/чел) в ответе, и придётся объяснять, что в результате сложения мы на самом деле мысленно передаём долю одного чела другому...

[bortans.livejournal.com]

Конечно, размерность не будет зависеть от порядка множителей. Как я понимаю, avva с этим не спорил, просто приводил аргументы тех, кто этого не понимает.

И при сложении, конечно, не просто складываются л/чел, а каждое слагаемое умножается на 1 чел, так что в итоге складываются литры.

[thevlad.myopenid.com (from livejournal.com)]

это же бред полный, откуда вообще в расчете физической размерности могут взяться человеки? 2 - точно литры, 9 - безразмерная величина.

[bortans.livejournal.com]

Речь идет не о стандартных размерностях в физических законах, а о размерностях, которые позволяют понять смысл используемых величин. В этом смысле люди в задачах вполне делятся и умножаются.

Вы слышали, например, про месячный burn rate на человека (допустим 3 000 доллар/чел*месяц) или количество времени необходимого для выполнения задачи в человека-часах (допустим 10 000 чел*часов)? Как здесь обойтись без людей в числителях и знаменателях? Заодно и доллары здесь появились, тоже же "нефизическая" величина. Их тоже упоминать нельзя? А как их тогда переводить, например, в рубли?

А если бы это были не 2 литра на человека, а 2 яблока на человека? Вы бы тоже сказали, "откуда вообще в расчете физической размерности могут взяться яблоки"? Но ведь тогда и ответ нельзя было бы записать в яблоках, их же тогда нигде бы не было. Конечно, если бы мы складывали яблоки с грушами, то размерностями надо было бы считать не "яблоки" и "груши", а например, "фрукты" или "штуки". В этом смысле эти размерности, конечно, не строго физические, поскольку их наименование зависит от конкретной задачи.

Короче говоря, отказывать себе в использовании подобных нестандартных физических величин как "размерностей" в числителях или знаменателях - нерационально. Иногда это может быть полезно, и бредом это называть странно. Если вам не нравится смешение этого понятия "размерности" со стандартным понятием размерности используемым в физике - можете называть это "условной размерностью", сути это не поменяет.

При этом я вовсе не агитирую за использование физических или даже условных размерности в математике. Напротив. В математике - есть просто числа, множества, элементы можеств, структуры на множествах и т.д. (есть размерности пространств, но это совсем другое). Решать математические задачи надо не "проверкой размерностей", а построением соответствующих математических моделей. Но если уж методисты ссылаются на "размерности" типа "чашек" и "кусков сахара" (как здесь) и на то, что размерность произведения зависит от порядка множителей, то надо отвечать, что размерности в таких задачах они понимают и вычисляют неправильно.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Почему бы не использовать размерности в математике? Кто мешает ввести их в математическую модель?

[bortans.livejournal.com]

Ну я и написал, что иногда это может быть полезным. Но, думаю, только в элементарной математике. В более-менее сложных математических задачаx и моделях использовать во всех формулах размерности будет лишним оверхедом.

Хотя, опять же, и здесь могут быть исключения. Бывает же, что решения каких-то абстрактных математических задач можно понять или угадать исходя из физических соображений и анализа физических размерностей соответствующей "игрушечной" физической модели.

[thevlad.myopenid.com (from livejournal.com)]

ок, как вы тогда эти литры складывать будете если 2 это литры на человека? или другая задача один человек - купил 3 литра, другой 5, сколько они купили всего, тоже литры на человека получаться? ну тоесть я конечно понимаю, что например эти размерности могут иметь смысл, например взяли фонд оплаты труда поделили на количество человек, получилось в среднем 2000$ на человека, и т.д. но почему в исходной задачи вдруг получились литры на человек - мне совершенно не понятно, почему не 2 литра купленные 9 раз? то есть в этом хотя бы какая-то логика прослеживается, а л/чел я подозреваю вообще родилось из соображений - чисто синтаксически подогнать размерность.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

В кошельке тоже безразмерная величина хранится? Зарплату в герцах получаем?

[xaxam.livejournal.com]

Теоретически можно себе представить именно задачу, в которой складываются л/ч: первый фермер выдал 2 л/ч, второй пришёл и налил каждому тоже по 2 л/ч, и т.д.

Но в данном случае, конечно, вы правы, и мы имеем линейную комбинацию, из которой легко вынести за скобки обе размерные величины
(2 л/ч * 1 ч + ... + 2 л/ч * 1 ч)=2 л/ч * 9 безразм. * 1ч = 18 л. ;-))))

со сложением труднее

[i-am-a-jew-01.livejournal.com]

2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел]+2[л/чел]*1[чел] = 2[л]+2[л]+2[л]+2[л]+2[л]+2[л]+2[л]+2[л]+2[л]=18[л]

я все время немножко опаздываю ))))

Re: со сложением труднее

[thevlad.myopenid.com (from livejournal.com)]

это шутка такая, или серьезно?

Re: со сложением труднее

[i-am-a-jew-01.livejournal.com]

это ответ на то, как избежать сложения [л/чел]... непонятно?

Re: со сложением труднее

[thevlad.myopenid.com (from livejournal.com)]

вы это сами придумали или в интернете прочитали? даже ребенку очевидно что складываются ЛИТРЫ. а размерность л/чел это просто чья-то неудачная выдумка.

[alevaj.livejournal.com]

Ну, это перебор. Представь себе, зашли к фермеру двое, одному он продал три литра, а другому пять. Всего 8 литров, и никаких человеков.
А тут зашли девятеро, и каждый взял по два литра, - тот же контекст, и опять никаких человеков нет. То-есть, речь идет о двух литрах, еще двух литрах, итак далее, всего девять раз (по-прежнему, никаких человеков). Как ни крути, мы имеем 9*2л=2л*9=18л.

Правильный вопрос вот какой: первая запись означает "девять раз (налил) по два литра", вторая - "по два литра (налил) девять раз". Любой нормальный ребенок прекрасно понимает, что это одно и то же высказывание. Отнюдь не любой учитель ( а в особенности - методист) понимает, что к коммутативности умножения это высказывание никакого отношения не имеет.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

> одному он продал три литра, а другому пять

3[л/одному] * 1[один человек] +
5[л/другому] * 1[другой человек] +
2[л/каждому] * 9[каждых]

= 3л + 5л + 2л/ч*9ч

= 3л*1 + 5л*1 + 2л*9

= 26л

[xaxam.livejournal.com]

Не совсем. "Каждому по два литра" - это не "два литра": в первом случае это норма отпуска в одни руки, а в другом, - сколько действительно удалось унести. Советский человек разницу помнит ;-)

Складывая три и пять и ещё два и ещё один, ты деанонимизируешь покупателей, и тем самым вместо суммы единичек рассматриваешь множество, полученное объединением одноэлементных подмножеств. Изоморфизм есть, но он не канонический ;-)

[peysakhovich.livejournal.com]

Зависит от того, как человек поставит перед собой задачу. Можно сказать что он продал по два литра на рыло девяти рылам, а можно просто сказать, что он продал по два литра молока девять раз.

[thawing-wind.livejournal.com]

И если разы и литры записать не в предписанном порядке, то в ответе выйдут разы?:)

[avva.livejournal.com]

Да, это очевидно (и я, конечно, согласен с тем, что это правильно!), но в то же время это не _настолько_ очевидно, как кажется. Об этом вся следующая запись.

[asox.livejournal.com]

Я бы назвал это "катастрофой размерности" - когда мы начинаем вводить размерности там, где они нафик не нужны и по своему смыслу не существуют.

[ptitza.livejournal.com]

Я, возможно сейчас глупость спрошу, но я совсем не технарь,, так что заранее прошу прощения. Я пока не видела этого аргумента, либо не заметила его. Если у нас есть задачка: литра молока хватит, чтобы напоить 9 человек. Сколько человек я могу пригласить в гости, если у меня есть 2 л молока?, то она, очевидно, записыватся: 2л x 9ч или 9ч х 2л, точно так же, как и там, где в результате должны быть литры, хотя здесь в ответе должны быть человеки. Получается неопределенность: по одному виду произведения, не зная условия задачи, нельзя сказать, что получится в результате. Я помню, что меня в школе учили обращать на это внимание. Это никак не повлияло на перемену мест, естественно, но запомнилось, что в отсутствие условия задачи порядок может подсказать единицы результата, и будет правильнее в одном случае записать так, а в другом иначе. Мне кажется, что в каких-то рассчетах - не знаю, химические почему-то лезут в голову - порядок может использоваться как такая дополнительная подпорка, чтобы знать, что мы получаем в результате.

[ptitza.livejournal.com]

Наверное, тут нужно добавить, что к размерности и безразмерности это, видимо, не имеет отношения. Просто системная организация, использование еще одной характеристики (порядка написания) для прояснения условий и из экономиии, чтобы не держать все условие задачи в голове. Иначе на вопрос чему равно 2л x 9 чел, единственно правильный ответ - не знаю.

[fedor-s.livejournal.com]

В вашей задаче, как ни странно, тоже работают размерности. Сколько человек приходятся на один литр? 9
То есть, у вас 9 ч/л
Имеем 2 л молока. Сколько человек можно пригласить?
9 ч/л * 2 л = 18 ч

[ptitza.livejournal.com]

Я об этом и говорю. Не зная условия, нельзя сказать, что получаем в результате, а порядок -- если придерживаться единой системы, о которой договориться -- может в этом помочь.

Иными словами, либо нужен анализ размерностей, исходя из условий задачи, либо можно взять порядок в помощь, в котором "закодировать" эту дополнительную информацию. Я всегда за порядок, т.к. порядок несёт дополнительную информацию, не только здесь, конечно, а вообще. Это "инструмент".

[fedor-s.livejournal.com]

Да, можно это рассматривать как договоренность. Но проблем целых две.
1) Эту договоренность вскоре предстоит нарушить. А между тем, то, что заучено первым остается сидеть в голове. Человек может вырасти интеллектуальным уродом! И получить моральную травму - он ведь доверял первой учительнице, а оно вон как, оказывается.
2) Дети довольно разные, и то, что объясняется в расчете на среднетуповатого, может сильно противоречить уже сложившемуся пониманию в голове нормального ребенка. А его загоняют под ту же планку.