о литрах, людях и умножении
Apr. 18th, 2013 10:58 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaОб этой истории уже написаны десятки записей и тысячи комментариев, и я не собирался к ним ничего добавлять, но пришло в голову несколько соображений, которые вроде бы в других местах не видел (хотя все тысячи комментариев не читал), и решил поделиться.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечаетbiglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?
Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологиюbiglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:
1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":Оказалось, что огромное количество людей пользуется неким альтернативным умножением по следующей методике:
"В качестве размерности произведения берем размерность первого множителя, т.е., все размерности, упомянутые после первого множителя, из рассмотрения выбрасываем."
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечает
biglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологию
biglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
NOTE: In changing the order of factors the one taken for the multiplier should always be regarded as an abstract number (see 74g) the other should take the denomination of the original multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc.Здесь "abstract number" как раз означает безразмерное число, а "denomination" - размерность (литры, человеки итд.). То есть, если следовать этим правилам и применить их к задаче про 18 литров, как раз надо записать 9 * 2 литра = 18 литров, но никак на 2 литра * 9 = 18 литров - это неправильно, потому что первый множитель это всегда число "раз", абстрактное, безразмерное число.
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-04-18 11:49 am (UTC)причем тут км/ч мне совершенно не понятно, скорость = расстояние раздели на время, то есть мы произвели понятные действия и получили понятный результат. вот литры/человека вы вообще как бы эту величину назвали по человечески, что это такое? средне российская норма потребления в день что ли? ) с бидонами тот же самый вопрос.
>И размерность л/чел это было не мое изобретение, а ответ >на логику методичек, в которых размерность зависела от >порядка множителей. У них было 2x9 = 18 литров, а 9x2 = >это 18 человек. Про это и шла речь, что ЕСЛИ мы решаем >использовать людей как размерности, то использовать их >надо корректно.
вы правда не понимаете, в какой момент у нас есть литры, а в какой момент они могут стать литрами на человека? чтобы получилось последнее надо сначала поделить литры на человека, теперь попробуйте логически объяснить в какой момент мы это сделали?
тоесть если по аналогии задача, у нас есть 10 человек, и 20 литров молока, каждому человеку раздали молока поровну. этих человеки обединилсь в группы по 3, 4 и 3, каждая группа слила молоко в свой бидон, сколько всего молока у первой и второй группы.
первый шаг) 20 литров/10 человек = 2 литра/человек. литров у первой группы = 2 литра/человек * 3 человека = 6 литров, 2 литра/человек*4 человек = 8 литров.
второй шаг) у первой группы 6 литров, у второй группы 8 литров, сколько всего литров = 6 литров + 8 литров = 14 литров.
в задачи про магазин - мы уже находимся на втором шаге, никаких литров на человек быть не может, это просто бред, просто потому что до этого мы - ничего не делили, чтобы получить такую размерность.
no subject
Date: 2013-04-18 01:14 pm (UTC)Логика у литров/человека та же, что у км/ч. Скорость данной машины зависит от ее конструкции и скорости подачи бензина в двигатель. Количество молока, которое может купить данный покупатель, зависит от количества денег в его бумажнике и его желания потратить конкретную сумму. Никаких препятствий к тому, чтобы эти величины были разными у разных машин или разных покупателей – нет.
Можно аналогию сделать еще более прозрачной. Давайте в отношении машин рассматривать не скорость, а размеры бака для бензина. У разных машин разная емкость бака, но мы же говорим про литры/бак. Вместимость бака – это характеристика машин, у разных машин она разная. Точно так же, как литры/человека – характеристика покупателей, которая тоже может быть разной у разных покупателей.
И уже в который раз предлагаю. Не нравятся вам литры/человека – давайте говорить про литры/бидон (в которые они набирают молоко, и у всех могут быть разные бидоны) или литры/желудок (если они выпивают молоко сразу в магазине). Никакой разницы в этих словах нет.
no subject
Date: 2013-04-18 02:14 pm (UTC)ну давайте про бидоны, что от этого изменится? у вас есть 3 литра/бидон и два бидона, только это имеет смысл лишь в одном случаи если все бидоны - одинаковые, если два бидона разные, то никакой "размерности" просто не будет.
no subject
Date: 2013-04-18 02:25 pm (UTC)Вот вы посчитали, что они одинаковые и у вас 3 литра/бидон это получается "правильно". А кто-то посчитал с большей точностью и у него они уже разные. "Бидон" из знаменателя вдруг куда-то пропадет?
И дело же не только в разной емкости бидонов. Сами бидоны могли быть и одинаковые, просто налили в них разное количество молока. В какой момент наливания "литры" (у разных количеств молока) вдруг превращаются в "литры/бидон"?
И как вы будете считать общий литраж в каждом случае? Можно же ведь в каждом случае это делать сложением. Допустим было 2 и 4 в одном случае, и 3 и 3 в другом. Получается в одном случае у вас будут складываться "литры", а во втором "литры/бидон"?
no subject
Date: 2013-04-18 02:36 pm (UTC)помоему вы просто фундаментально не понимаете, некоторые вещи связанные с размерностью, но мне уже надоедает спорить, вы там просто ответьте что думаете по поводу задачки с эстафетой... и все я отстану
no subject
Date: 2016-02-03 02:51 pm (UTC)no subject
Date: 2013-05-05 11:34 pm (UTC)