о литрах, людях и умножении
Apr. 18th, 2013 10:58 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaОб этой истории уже написаны десятки записей и тысячи комментариев, и я не собирался к ним ничего добавлять, но пришло в голову несколько соображений, которые вроде бы в других местах не видел (хотя все тысячи комментариев не читал), и решил поделиться.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечаетbiglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?
Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологиюbiglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:
1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.
В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.
Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.
Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.
Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:
если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек
Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ
biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":Оказалось, что огромное количество людей пользуется неким альтернативным умножением по следующей методике:
"В качестве размерности произведения берем размерность первого множителя, т.е., все размерности, упомянутые после первого множителя, из рассмотрения выбрасываем."
Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечает
biglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.
До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологию
biglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".
На странице 79 мы читаем:
NOTE: In changing the order of factors the one taken for the multiplier should always be regarded as an abstract number (see 74g) the other should take the denomination of the original multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc.Здесь "abstract number" как раз означает безразмерное число, а "denomination" - размерность (литры, человеки итд.). То есть, если следовать этим правилам и применить их к задаче про 18 литров, как раз надо записать 9 * 2 литра = 18 литров, но никак на 2 литра * 9 = 18 литров - это неправильно, потому что первый множитель это всегда число "раз", абстрактное, безразмерное число.
2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.
Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.
Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?
Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").
Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 09:59 am (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 10:16 am (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 11:07 am (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 12:02 pm (UTC)если складываем - одна размерность, если умножаем - другая. то есть вы как бы в уме взяли 2 литра жидкости у человека, поделили их на одного человека получили размерность 2 литра/человека, а затем чтобы это все складывалось, каждый раз домножаете на одного человека. ну тоесть вам это не кажется как бы немного странным? )
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 01:31 pm (UTC)Где это я говорил, что размерности будут разные? Я отвечал на то, что нет необходимости делать усреднение, чтобы получить литры/человека.
Если один покупатель купил 2 литра, а второй 4, то у первого будет 2 литра/человека, у второго 4 литра/человека, среднее - 3 литра на человека. Суммарное количество литров можно получить как 3*2 (при умножении используем среднее) или как 2+4 (здесь среднее использовать не обязательно).
> то есть вы как бы в уме взяли 2 литра жидкости у человека, поделили их на одного человека получили размерность 2 литра/человека, а затем чтобы это все складывалось, каждый раз домножаете на одного человека. ну тоесть вам это не кажется как бы немного странным? )
Нет, не кажется и я уже много раз пытался это объяснить. Попытаюсь еще раз... Машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько всего она проедет? Очевидно 60*2 = 120 км. А что такое 60*2? Это 60+60. Но мы же не можем складывать км/ч, поэтому при сложении нам надо каждое слагаемое умножить на 1 ч.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 02:25 pm (UTC)>Попытаюсь еще раз... Машина едет 2 часа со скоростью >60 км/ч. Сколько всего она проедет?
и? у вас есть часы в задаче, поэтому получается все верно.
> Очевидно 60*2 = 120 км. А что такое 60*2? Это 60+60.
это когда задача выглядит примерно так. две машины едут на встречу друг другу какова скорость сближения. тогда это 60 км/ч + 60 км/ч. если вы сформулируете задачу нормальным образом, то получится что там в любом случаи вылезут часы на которые надо домножить. Ладно я вам другой вопрос задам, машина проехала два куска дороги 60 км, и второй 60 км, сколько она всего проехала? у вас тут тоже км/ч вылазиют, как в задаче с магазином? или может км/машину, 60 (км/машину)*машину + 60 (км/машину)*машину = 120 км. примерно такого уровня у вас логика...
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 02:33 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 02:44 pm (UTC)Постарайтесь понять, что если в КАКИХ-ТО задачах будет размерность в знаменателе, то это не значит, что во ВСЕХ задачах должна быть размерность в знаменателе. Вместо обсуждения по существу вы приписываете мне какие-то нелепости и спорите с ними, а не с тем, что я утверждаю.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:00 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:09 pm (UTC)По вашей логике во всех задачах с одинаковыми численными данными должна быть одинаковая структура размерностей? Конечно же нет!
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:32 pm (UTC)Это все конечно забавно, но лишь до определенного момента - пока люди с синтасическим мышлением не начинают проектировать ракеты, АЭС, спутники, системы управления промышленными объектами, системами жизнедеятельности... а потом опа - случается Фукусима, а оказывается все просто - при расчете надежности товарищ воткнул циферки в формулу, у него там что-то сократилось/посчиталось получилась надежность шесть девяток.... а потом "внезапно" прилетел цунами,- фидбек от реальности.
спасибо за беседу, удачи вам.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:41 pm (UTC)Синтаксическое мышление как раз и означает отсутствие понимание, и вместо него заучивание алгоритмов и зубрежку правил. Непонимание того, какие размерности фигурируют в задачах и что с ними можно делать. Непонимание того, что в разных задачах будут разные размерности величин, даже если числовые параметры случайно одинаковые. Против этого я и возражал, так что что вы хотите сказать в последнем сообщении я не понял.
Удачи и вам.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 02:43 pm (UTC)Мой пример c пройденным расстоянием вы проигнорировали. Разве 60x2 это не 60+60? А в таком случае как мы получим 120 км? Очевидно, что надо будет умножать каждое слагаемое на 1 час. Вы вместо этого переходите на совсем другой пример (да, при сложении скоростей будет 120 км/ч, но это же совсем другая задача!). Бессмысленно что-то обсуждать, если собеседник тебя не слушает.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:04 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:18 pm (UTC)Более того, когда скорость будет разная (50 км/ч первый час, 60 - второй, 55 - третий, 65 - четвертый и т.д.), то только так и можно будет считать: сложением, а не умножением "всей скорости" на "все время".
А если скорость меняется непрерывно, как на самом деле и происходит, то будет интегрирование "локальной" по времени скорости, что по-сути и есть сложение, просто бесконечного числа слагаемых. Так что от сложения и соответствующих сокрашений размерностей при сложении вы во многих случаях никуда не денетесь. Умножение целых "глобальных" величин в случае молока и покупателей - это просто примитивный случай более общего круга задач.
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:34 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 03:42 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 11:17 am (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 11:52 am (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 12:25 pm (UTC)Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 12:38 pm (UTC)http://avva.livejournal.com/2608125.html?thread=95078141#t95078141
Re: со сложением труднее
Date: 2013-04-18 01:50 pm (UTC)