avva | почему нельзя делить на ноль?

Я написал объяснение о том, почему нельзя делить на ноль. Я стремился сделать его понятным и для тех, кто не занимался ни в каком виде математикой, кроме как в школе. Реакция таких людей (если им хочется узнать, почему нельзя делить на ноль) поэтому особенно интересна, и если что-то непонятно или плохо объяснено, скажите мне. Другие комментарии тоже приветствуются, конечно.

----------------------------
Почему нельзя делить на ноль?

Для того, чтобы дать убедительный ответ на этот вопрос, попробую сначала объяснить, почему вопрос вообще возникает. Почему вообще люди спрашивают "почему нельзя делить на ноль?". Наверное, потому, что на все остальное можно делить. И вообще все остальные простые арифметические действия можно делать с чем угодно: складывай все с чем хочешь, вычитай, умножай, дели... а вот делить можно что угодно на что угодно, с одним только исключением: нельзя делить на ноль. Откуда такое берется?

Но ведь так было не всегда. Вспоминая историю (или школьную программу младших классов), мы видим, что когда-то можно было делить 4 на 2, а 4 на 3 было делить бессмысленно, потому что люди еще не изобрели дробей. Или, скажем, можно было прибавлять 3+5, или вычитать 7-4, а вот 4-7 было бессмысленной операцией, пока не придумали, что есть такая штука - отрицательные числа.

Если мы посмотрим в такое достаточно глубокое прошлое (или достаточно раннее детство), когда еще неизвестны отрицательные и дробные числа, а есть только 0,1,2,3... то в такой ситуации не кажется очень странным, что нельзя делить на ноль. Мало ли чего еще нельзя делать! Нельзя вычитать 5 из 2. Нельзя делить 4 на 3, или 1 на 5. Вообще можно делить что-то на икс, только если его можно "руками" разделить на икс равных частей. Скажем, 1 нельзя разделить на 5 равных частей, или 4 на 3 равные части, или что угодно на 0 равных частей. Вот и нет такого деления. Не кажется очень странным.

(если еще дальше в прошлое зайти, то можно и дойти до времени, когда еще не придумали ноль, и тогда вопрос деления на 0 вообще не встает!)

Однако со временем люди стали замечать, что намного удобнее решать всякие практические задачи, связанные с подсчетом чисел или измерением расстояний, если притвориться, что все-таки можно вычитать 3-5, и результат это не обычное число типа 1,2,3..., а какая-то новая странная штука, которую мы назовем "отрицательное число". И делить тоже можно, и получаются дроби. Так изобрели отрицательные числа и дроби, и со временем они попали в школьные программы и теперь их учит каждый школьник.

Но как это случилось, что люди поняли, что скажем 3-5 равно -2? Почему нельзя было сказать, скажем: ладно, я хочу, чтобы можно было вычитать не только 3 из 5, но также 5 из 3, но во всех таких случаях результат равен новому числу "минус бесконечность". Один минус десять, три минус четыре - все это можно делать, но результат всегда один и тот же, минус бесконечность. Чем так было бы плохо сделать? Или еще даже проще: пусть когда я вычитаю из меньшего числа большее, результат всегда будет 0. Даже не нужно "минус бесконечность" придумывать. Я не умел вычитать 3-5, а вот научился, результат равен 0, и не надо придумывать никакие "отрицательные числа". Великое открытие или...?

Интуитивно понятно, что такое "открытие" ничего не стоит, но почему? Потому что мы хотели научиться вычитать 3-5 не просто так забавы ради, а для того, чтобы решить какие-то практические проблемы. Например, в Индии полторы тысячи лет назад придумали отрицательные числа, чтобы легко считать долги. У меня есть три рубля наличными, но еще я должен вам пять рублей (отдать могу позже). Сколько у меня на самом деле в балансе? Те, что у меня есть, берем с плюсом, те, что я должен, с минусом, получается 3-5... почему это равно -2, а не 0, например? Потому что если я заработаю еще пять рублей, в точности на то, чтобы вернуть долг, я хочу, чтобы в итоге после всего этого у меня остались мои первоналачьные три. 3-5+5 должно быть 3. А если я скажу, что мой баланс после 3-5 равен нулю, то добавив еще пять рублей, получим 5. Это не то, что на самом деле произойдет в реальности, поэтому такая арифметика никому не нужна. В реальности, если я начну с 3 рублей и 5 долга, потом заработаю еще 5 и верну долг, у меня останется 3. Значит, нам нужна такая арифметика, чтобы посчитать 3-5, а потом еще добавить 5, даст 3.

Это, может, звучит сложно, но суть на самом деле совсем простая, и вот какая: в школе нас учили, что такое отрицательные числа и дроби, просто "по правилам": 3-5 будет -2 потому что такое правило. Но на самом деле это кто-то когда-то придумал такую штуку, отрицательные числа, и это изобретение полезно только в том случае, если эти новые отрицательные числа "ведут себя хорошо", выполняют важные законы, которые мы знаем из обычных чисел. Например, есть закон "если сначала отнять 5, а потом добавить 5, то выйдет столько же, сколько было вначале". Если этот закон не будет выполняться, то арифметика такая никому не нужна. Если начать с 10, то мы знаем, что он выполняется, а если начать с 3, то мы не знаем, что такое 3-5; но наше определение этого действия с помощью новых "отрицательных чисел" все равно должно выполнять этот закон. Поэтому выходит, что 3-5 должно быть -2 и ничто другое.
То же самое с делением: мы говорим, что "5 поделить на 3" дает такую новую штуку, называется дробь. Но эта новая штука должна выполнять следующий закон: "если сначала поделить на 3, а потом умножить на 3, то получится столько же, сколько было вначале". Если она его не будет выполнять, то такая арифметика никому не нужна. Поэтому выходит, что мы не можем скажем просто решить, что любое деление, если нельзя точно поделить без остатка, то результат всегда будет 0, или 1, или бесконечность; нет, у нас есть один-единственный способ определить такие новые штуки, которые мы называем "дроби", и определить, как эти дроби умножать и делить на целые числа и между собой, чтобы соблюдались эти важные законы. Тогда выходит полезная арифметика.

Таких законов есть еще несколько: например, "от перемены слагаемых сумма не меняется", или такой закон, что "можно раскрывать скобки": A*(B+C) это то же самое, что A*B+A*C. Все эти законы очевидно верны, когда мы имеем дело с самыми простейшими числами 1,2,3... и с самыми понятными операциями: сложить, вычесть только меньшее из большего, умножить, поделить только без остатка. Оказалось, что можно придумать отрицательные числа и дроби, и "расширить" эти операции на эти новые числа так, чтобы все эти законы продолжали выполняться. И именно выполнение этих законов определяет, как именно мы будем складывать, вычитать и так далее, эти новые выдуманные нами штуки. Например, сложное правило сложения дробей, или почему "минус на минус дает плюс" - все это так, а не по-другому, для того, чтобы важные законы, соответствующие нашей интуиции о том, что такое сложение-вычитание-умножение-деление и для чего они нужны - чтобы эти важные законы продолжали выполняться и с отрицательными числами, и дробями.

И оказывается - это очень удобно выходит - что мы действительно можем это сделать, мы можем "расширить" все арифметические действия на "новые" отрицательные числа и дроби так, что все важные законы продолжают выполняться. Постепенно, одна за другой, все "дырки" в наших возможностях закрываются. Мы не умели вычитать 3-5, теперь умеем. Мы не умели делить 1 на 3, теперь умеем. Мы умели умножать только положительные числа, теперь умеем умножать -3 на -5, и знаем, что результат будет 15. Мы умели складывать только 1,2,3... теперь умеем сложить 1/3 и 1/4. И все это мы научились делать, сохраняя строгое соблюдение этих важных законов арифметики.

Почти все наши "неумения" мы отмели, и дошли наконец до такого прекрасного состояния, когда что хочешь на что хочешь можно умножать и прибавлять и вычитать. Но увы и ах - одна "дырка" все же осталась, один недочет все же есть - мы не можем "расширить" деление так, чтобы можно было делить на ноль. Почему? Потому что нет способа это сделать так, чтобы не нарушить важные для нас законы.

Почему нет способа сказать, сколько будет, например, "10 поделить на 0", чтобы не нарушить законы арифметики?

У ответа есть две части. Во-первых, из законов арифметики следует, что "что угодно умножить на 0 равно 0". Если вы мне не верите на слово, я могу доказать. Скажем, есть какое-то число X, чему равно X*0? Поскольку 0=1-1, это то же самое, что X*(1-1), и есть закон, что я могу раскрыть скобки, поэтому выходит X*1 - X*1, и есть закон, что "умножить на 1 выходит то же самое", поэтому выходит X-X, и это равно 0.

Следили за пальцами? Еще раз: X*0 это то же, что X*(1-1). А это то же, что X*1 - X*1, просто раскрыли скобки. А это тоже, что X - X. А это 0. Если я хочу подчиняться законам арифметики, я обязан определить, что X*0 = 0, какой бы ни был X.

Во-вторых, есть закон арифметики, что "можно вернуться": если что-то поделить на X, а потом умножить на X, то получится то, с чего начали. Без этого закона неясно, зачем нужна такая штука, "делить", и для чего она полезна. Мы хотим сохранить этот закон. Но если я поделю 10 на 0, а потом результат умножу на 0, у меня выйдет 0, как мы только что доказали. Я никак не смогу "вернуться" к 10, с которой я начал. Поэтому у меня просто нет возможности определить "10 поделить на 0" так, чтобы соблюдать законы арифметики.

Вот поэтому нельзя делить на ноль - потому что нет возможности "расширить" деление, так чтобы можно было делить на ноль и соблюдать при этом законы арифметики. Эти законы оказываются слишком требовательными. До какого-то порога нам удавалось с ними поладить, "расширяя" снова и снова арифметические действия, придумывая отрицательные числа, дроби... Но есть некий предел, где несколько этих законов вместе встали на границе и сказали: все. Дальше не пройдешь. Поделить на ноль, не нарушая нас, у тебя не получится.

Возникает вопрос: а может, можно придумать какие-то еще новые числа? Ну вот как мы придумали отрицательные числа, чтобы можно было вычитать большее из меньшего, или дроби, чтобы делить там, где нацело не получается. Может, можно придумать такие новые штуки, чтобы они как раз были результатами деления на ноль? К сожалению, это не получится. Ведь вы понимаете теперь, что когда придумывают новые "штуки", самое главное - это чтобы законы арифметики работали с ними так же хорошо, как с уже привычными, иначе эти новые штуки бесполезны. Но если при этом новом расширении законы арифметики будут работать, как и раньше, то и для них тоже будет верно, что умножить на ноль всегда дает ноль. То, как мы доказали, что X*0 = 0, останется верным, даже если X будет какой-то новой штукой, если она соблюдает законы арифметики. И поэтому даже с помощью этих новых штук нельзя будет "вернуться" после деления на ноль, и значит, поделить на ноль, соблюдая законы, невозможно.

Иногда говорят: ну ладно, почему просто не сказать, что если делишь на 0, то получается 0, и все? Просто чтобы "дырку" заткнуть. Ну подумаешь, не будет верно, что можно "вернуться" обратно к исходному числу, умножив на 0. Зато все будет гладко. Но это "ну подумаешь" наивно, потому что те, кто так говорят, не отдают себе отчета обычно в том, насколько их знания о числах до сих пор уже мотивированы этим "можно вернуться" и ничем другим. То, что есть отрицательные числа и дроби, и как их надо складывать и умножать, "минус на минус дает плюс" и так далее - все это подчиняется "можно вернуться" и другим подобным законам. Если бы не возможность "расширить" действия, выполняя их, то никто бы ничего не расширял, потому что это никому бы не было нужно, и мы бы оставались в ситуации, когда нельзя делить 1 на 3, вычитать 5 из 3, и так далее. Выполнение законов арифметики лежало в основе всех наших расширений, и без этих законов просто бессмысленно заниматься "расширением". Если мы не можем придумать, как поделить на ноль, соблюдая их, значит, делить на ноль бессмысленно.

Тот же самый ответ можно дать тем, кто предлагает: пусть деление на ноль всегда дает "бесконечность". У этого есть некий интуитивный смысл: если мы делим на все меньшие и меньшие дроби, близкие к 0, то результат растет и растет и растет - тогда пусть поделить на ноль даст результат "больше всех чисел", бесконечность! Но, к сожалению, это тоже не помогает решить проблему соблюдения законов арифметики. Даже если мы определим в точности, что такое эта "бесконечность" - и положим, нам это удалось - все равно ясно, что если 10 поделить на 0 равно бесконечность, то потом бесконечность умножить на 0 не даст обратно 10 (потому что откуда она "знает", что нужно именно 10, а не 5?), так что все равно невозможно "вернуться", и такое деление не выполняет законы арифметики. Можно говорить о том, что если делить на все меньшие и меньшие дроби, результат "приближается" к бесконечности - у этого слова есть точное определение в теории пределов, которая лежит в основе математического анализа, великого изобретения Ньютона и Лейбница. Но поделить в точности на ноль все равно, увы, нельзя.