![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaВсюду в последнее время попадаются ссылки на научно-популярное видео, где объясняют зрителю, что сумма всех натуральных чисел 1+2+3+4+5+... вовсе не уходит в бесконечность, а равна на самом деле -1/12.
Даже настоящие ученые написали об этом удивительном факте - например, астроном Фил Плейт.
Пошла уже даже обратная волна (правда, поменьше первоначальной) - обеспокоенные математики стремятся разъяснить, что бесконечная сумма положительных целых чисел не может равняться отрицательной дроби, но как-то это не очень звучит убедительно.
Что на самом деле происходит? Предположим, у нас есть формула, которая выражает сумму сходящегося бесконечного ряда. Ну скажем, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... - хорошо известно, что этот ряд все время приближается к двойке, никогда не достигая ее (сумма становится один и три четвертых... один и семь восьмых... один и пятнадцать шестнадцатых....), и поэтому математики называют двойку суммой этого всего бесконечного ряда. Есть формула, которую легко вывести, что сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на X - в этом примере X = 1/2 - сумма всего ряда равна 1/(1-X). Если подставить вместо X 1/2, получится двойка, все сходится.
Но теперь, когда у нас есть формула 1/(1-X), мы можем применить ее, и когда X равно 3, например, т.е. каждый следующий член в три раза больше предыдущего: 1 + 3 + 9 + 27 +... Получим, что "сумма" равна -1/2. Значит ли это, что действительно, суммируя 1 + 3 + 9 + 27 + ... мы будем приближаться к минус половине? Нет, конечно. Формула для суммы геометрической прогрессии верна только когда эта сумма сходится; для X=3 мы ее применили неправомерно, как бы метафорически. По аналогии с сходящимся рядом, можно записать как бы метафорическую "сумму" расходящегося ряда 1+3+9+27+... Есть ли в этом какой-то смысл? Какой-то есть, но не прямой. В математике все настолько взаимосвязано, что даже неправомерное применение формулы скорее всего как-то связано с членами ряда, хоть суммой его результат можно назвать лишь метафорически. Если мы подробнее разберем, как получилась формула 1/(1-X), и более тщательно рассмотрим промежуточные вычисления перед ее получением, то может выйти, скажем, что мы получим что-то вроде 1/(1-X) плюс "еще что-то", так, что это "еще что-то" уходит в ноль для рядов, которые сходятся, а в рядах, которые расходятся, подавляет собой все остальное.
То есть, может быть, верно сказать что-то вроде: в сумме 1 + 3 + 9 + 27 + ... в определенном смысле "таится" минус половина, но ее вклад затмевается собственно огромными и быстро растущими членами ряда; а в сумме 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... "таится" двойка, которую не удается затмить уменьшающимся и уходящим в ноль членам ряда. Но это, конечно, не дает нам оснований утверждать, что сумма 1 + 3 + 9 + 27 + ... "на самом деле" равна -1/2.
С суммой натуральных чисел 1+2+3+... все происходит примерно так же, просто формулы там сложнее, чем 1/(1-X). Там тоже "таится" в определенном смысле -1/12, и это очень интересно, и возможно даже объясняет кое-что в физике теории струн, хоть до конца непонятно, как это в точности там работает; но называть это суммой в прямом смысле, а не в метафорическом - нонсенс.
(при этом в том видео, на которые все дают ссылки, все "объясняют" даже не в таком метафорическом духе, что я описал выше, а как бы получают это -1/12 путем манипуляции расходящихся рядов вроде 1-1+1-1+1-1+1-1... Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат, математики это учат на первом курсе университета. То есть, если в принципе -1/12 имеет некое отношение к ряду 1+2+3+..., в научно-популярным видео к нему приходят фальшивым путем, не имеющим ничего общего с реальной связью)
Более подробные объяснения есть в этом блоге, а совсем строгий математический вывод есть у Терри Тао.
Даже настоящие ученые написали об этом удивительном факте - например, астроном Фил Плейт.
Пошла уже даже обратная волна (правда, поменьше первоначальной) - обеспокоенные математики стремятся разъяснить, что бесконечная сумма положительных целых чисел не может равняться отрицательной дроби, но как-то это не очень звучит убедительно.
Что на самом деле происходит? Предположим, у нас есть формула, которая выражает сумму сходящегося бесконечного ряда. Ну скажем, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... - хорошо известно, что этот ряд все время приближается к двойке, никогда не достигая ее (сумма становится один и три четвертых... один и семь восьмых... один и пятнадцать шестнадцатых....), и поэтому математики называют двойку суммой этого всего бесконечного ряда. Есть формула, которую легко вывести, что сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на X - в этом примере X = 1/2 - сумма всего ряда равна 1/(1-X). Если подставить вместо X 1/2, получится двойка, все сходится.
Но теперь, когда у нас есть формула 1/(1-X), мы можем применить ее, и когда X равно 3, например, т.е. каждый следующий член в три раза больше предыдущего: 1 + 3 + 9 + 27 +... Получим, что "сумма" равна -1/2. Значит ли это, что действительно, суммируя 1 + 3 + 9 + 27 + ... мы будем приближаться к минус половине? Нет, конечно. Формула для суммы геометрической прогрессии верна только когда эта сумма сходится; для X=3 мы ее применили неправомерно, как бы метафорически. По аналогии с сходящимся рядом, можно записать как бы метафорическую "сумму" расходящегося ряда 1+3+9+27+... Есть ли в этом какой-то смысл? Какой-то есть, но не прямой. В математике все настолько взаимосвязано, что даже неправомерное применение формулы скорее всего как-то связано с членами ряда, хоть суммой его результат можно назвать лишь метафорически. Если мы подробнее разберем, как получилась формула 1/(1-X), и более тщательно рассмотрим промежуточные вычисления перед ее получением, то может выйти, скажем, что мы получим что-то вроде 1/(1-X) плюс "еще что-то", так, что это "еще что-то" уходит в ноль для рядов, которые сходятся, а в рядах, которые расходятся, подавляет собой все остальное.
То есть, может быть, верно сказать что-то вроде: в сумме 1 + 3 + 9 + 27 + ... в определенном смысле "таится" минус половина, но ее вклад затмевается собственно огромными и быстро растущими членами ряда; а в сумме 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... "таится" двойка, которую не удается затмить уменьшающимся и уходящим в ноль членам ряда. Но это, конечно, не дает нам оснований утверждать, что сумма 1 + 3 + 9 + 27 + ... "на самом деле" равна -1/2.
С суммой натуральных чисел 1+2+3+... все происходит примерно так же, просто формулы там сложнее, чем 1/(1-X). Там тоже "таится" в определенном смысле -1/12, и это очень интересно, и возможно даже объясняет кое-что в физике теории струн, хоть до конца непонятно, как это в точности там работает; но называть это суммой в прямом смысле, а не в метафорическом - нонсенс.
(при этом в том видео, на которые все дают ссылки, все "объясняют" даже не в таком метафорическом духе, что я описал выше, а как бы получают это -1/12 путем манипуляции расходящихся рядов вроде 1-1+1-1+1-1+1-1... Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат, математики это учат на первом курсе университета. То есть, если в принципе -1/12 имеет некое отношение к ряду 1+2+3+..., в научно-популярным видео к нему приходят фальшивым путем, не имеющим ничего общего с реальной связью)
Более подробные объяснения есть в этом блоге, а совсем строгий математический вывод есть у Терри Тао.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-01-19 06:13 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:14 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:24 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:25 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:25 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:33 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:43 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:46 pm (UTC)Сначала заметим, что когда х-положительный, например 5, то |x|=x (и оба =5).
А потом как-бы продолжим это равенство в отрицательную область : |x|=x, откуда выведем |-5|=-5. и таким образом (тк |-5|=5) получим что -5=5. Может быть в этом тоже "таится определенный смысл и даже кое-то в физике можно этим объяснить" -)) ?.
no subject
Date: 2014-01-19 06:51 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:52 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 06:54 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:13 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:15 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:16 pm (UTC)Все-таки когда мы не меняем порядок членов, а сдвигаем и складываем, это соответствует примерно «добавлению градуировки» — т.е. переходу от числового ряда $\sum a_n$ к степенному ряду $\sum a_n t^n$ — и манипуляциям в кольце формальных степенных рядов (умножению на $1+t^k$, типа).
Ну дальше то, о чем вы говорите (как заметил Эйлер, $\sum(-1)^n n^{-s}t^s$ — рациональная функция, у которой можно вычислить значение в единице...).
no subject
Date: 2014-01-19 07:18 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:20 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:23 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:44 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 07:52 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 08:03 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 08:46 pm (UTC)А может проще?
Частичная сумма геометрической прогрессии n первых членов
S = b1(1 - qn) / (1 - q)
(да, я подсмотрел в википедии)
Ну а дальше видно, что если q < 1, то с увеличением n сумма стремится к конечному числу (при желании легко проделать соотв. преобразования и убедиться, что слагаемое qn / (1 - q) стремится к нулю).
А если q > 1, то сумма расходится.
no subject
Date: 2014-01-19 08:47 pm (UTC)Второе, насколько я понимаю в теории перенормировок собственно и считают условно сходящийся ряд, потому в видео возможно и показали это процесс. Насколько физично взятие скобок именно таким образом - не знаю
no subject
Date: 2014-01-19 08:50 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 09:02 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-19 09:19 pm (UTC)