1+2+3

[avva]

Всюду в последнее время попадаются ссылки на научно-популярное видео, где объясняют зрителю, что сумма всех натуральных чисел 1+2+3+4+5+... вовсе не уходит в бесконечность, а равна на самом деле -1/12.



Даже настоящие ученые написали об этом удивительном факте - например, астроном Фил Плейт.

Пошла уже даже обратная волна (правда, поменьше первоначальной) - обеспокоенные математики стремятся разъяснить, что бесконечная сумма положительных целых чисел не может равняться отрицательной дроби, но как-то это не очень звучит убедительно.

Что на самом деле происходит? Предположим, у нас есть формула, которая выражает сумму сходящегося бесконечного ряда. Ну скажем, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... - хорошо известно, что этот ряд все время приближается к двойке, никогда не достигая ее (сумма становится один и три четвертых... один и семь восьмых... один и пятнадцать шестнадцатых....), и поэтому математики называют двойку суммой этого всего бесконечного ряда. Есть формула, которую легко вывести, что сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на X - в этом примере X = 1/2 - сумма всего ряда равна 1/(1-X). Если подставить вместо X 1/2, получится двойка, все сходится.

Но теперь, когда у нас есть формула 1/(1-X), мы можем применить ее, и когда X равно 3, например, т.е. каждый следующий член в три раза больше предыдущего: 1 + 3 + 9 + 27 +... Получим, что "сумма" равна -1/2. Значит ли это, что действительно, суммируя 1 + 3 + 9 + 27 + ... мы будем приближаться к минус половине? Нет, конечно. Формула для суммы геометрической прогрессии верна только когда эта сумма сходится; для X=3 мы ее применили неправомерно, как бы метафорически. По аналогии с сходящимся рядом, можно записать как бы метафорическую "сумму" расходящегося ряда 1+3+9+27+... Есть ли в этом какой-то смысл? Какой-то есть, но не прямой. В математике все настолько взаимосвязано, что даже неправомерное применение формулы скорее всего как-то связано с членами ряда, хоть суммой его результат можно назвать лишь метафорически. Если мы подробнее разберем, как получилась формула 1/(1-X), и более тщательно рассмотрим промежуточные вычисления перед ее получением, то может выйти, скажем, что мы получим что-то вроде 1/(1-X) плюс "еще что-то", так, что это "еще что-то" уходит в ноль для рядов, которые сходятся, а в рядах, которые расходятся, подавляет собой все остальное.

То есть, может быть, верно сказать что-то вроде: в сумме 1 + 3 + 9 + 27 + ... в определенном смысле "таится" минус половина, но ее вклад затмевается собственно огромными и быстро растущими членами ряда; а в сумме 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... "таится" двойка, которую не удается затмить уменьшающимся и уходящим в ноль членам ряда. Но это, конечно, не дает нам оснований утверждать, что сумма 1 + 3 + 9 + 27 + ... "на самом деле" равна -1/2.

С суммой натуральных чисел 1+2+3+... все происходит примерно так же, просто формулы там сложнее, чем 1/(1-X). Там тоже "таится" в определенном смысле -1/12, и это очень интересно, и возможно даже объясняет кое-что в физике теории струн, хоть до конца непонятно, как это в точности там работает; но называть это суммой в прямом смысле, а не в метафорическом - нонсенс.

(при этом в том видео, на которые все дают ссылки, все "объясняют" даже не в таком метафорическом духе, что я описал выше, а как бы получают это -1/12 путем манипуляции расходящихся рядов вроде 1-1+1-1+1-1+1-1... Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат, математики это учат на первом курсе университета. То есть, если в принципе -1/12 имеет некое отношение к ряду 1+2+3+..., в научно-популярным видео к нему приходят фальшивым путем, не имеющим ничего общего с реальной связью)

Более подробные объяснения есть в этом блоге, а совсем строгий математический вывод есть у Терри Тао.

Comments

[allocco.livejournal.com]

Самое забавное, конечно, что эту сумму можно физически «измерить», с помощью эффекта Казимира (https://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect).

[allocco.livejournal.com]

А, ну у Тао в блоге это написано, собственно.

[levtsn.livejournal.com]

нк ващще народ

[rednyrg721.livejournal.com]

Фил Плейт ещё один пост написал, где объяснил свою ошибку: www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2014/01/18/follow_up_the_infinite_series_and_the_mind_blowing_result.html

Нет

[Алекс Сойфер (from livejournal.com)]

Он не понял своей ошибки и пытается словесными выкрутасами спасти свою репутацию, чем губит ее окончательно. По-моему, он просто дурак с раздутым самомнением.

[dragon-ru.livejournal.com]

А нельзя ли это как-то увязать с физической интерпретацией отрицательных температур? По крайней мере, как и должно быть, для более быстро расходящихся рядов результат получается ближе к нулю. Вот только что-то не могу придумать, как в такой модели должна выглядеть операция сложения.

[migmit.livejournal.com]

Вроде, не только поэтому. Цимес не в том, что берётся какая-то произвольная формула и применяется там, где не надо. Важнее то, что если взять любую формулу (подчиняющуюся неким требованиям "разумности"), которая даёто ответ в данном случае, то получится именно такой ответ.

[ibsorath.livejournal.com]

есть ответ "бесконечность" - в ТФКП например. есть ответ "плюс бесконечность" или ответ "нет суммы" в матане. есть "минус одна вторая" в другой системе. они все разумные. а какие кстати ещё есть, кроме "сумирования" по формуле прогрессии?

[mi-b.livejournal.com]

Видео неправильное, потому что в таких случаях (когда объясняют нечто про сложные объекты, не определив их, а просто демонстрируя несколько приемов обращения с ними) надо, чтобы приемы были честные. Складывание со сдвигом - нечестный прием. Если можно складыванием со сдвигом получить значение S2, то почему бы не сложить S1 с собой со сдвигом и получить (неверное) S1=1?

[avva.livejournal.com]

Да, видео совершенно дурацкое, я хотел об этом написать, но забыл. Сейчас добавлю, спасибо.

[moola.livejournal.com]

Значение S1 как раз и получается за счет сложения со сдвигом. S1 + S1 = 1

[sergiko.livejournal.com]

давайте рассмотрим функции x и |x|.

Сначала заметим, что когда х-положительный, например 5, то |x|=x (и оба =5).

А потом как-бы продолжим это равенство в отрицательную область : |x|=x, откуда выведем |-5|=-5. и таким образом (тк |-5|=5) получим что -5=5. Может быть в этом тоже "таится определенный смысл и даже кое-то в физике можно этим объяснить" -)) ?.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Тот, кто написал символ ||, видимо, умеет обращаться с отрицательными числами, так что такие рассуждения выглядят несколько натянуто.

[winpooh.livejournal.com]

Сумма расходящегося ряда не есть число в обычном понимании. Его нельзя просто так вот взять и сравнить с тем, что справа, без дополнительных притопов, прихлопов и определений. А так - type mismatch, compile failed.

[sleeping-death.livejournal.com]

а это точно "математика", не "юмор"? ))

[janatem.livejournal.com]

Мне больше нравится представление этой «суммы» как значение дзета-функции в -1.

[ibsorath.livejournal.com]

а оно не окажется в некотором смысле эквивалентным тому, что получается по формуле прогрессии? ну то есть может быть так, что способ, которым вычисляется "значение" дзета-функции в -1 окажется тем же, что и способ "вычисления" через прогрессию?

[jedal]

> Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат

Все-таки когда мы не меняем порядок членов, а сдвигаем и складываем, это соответствует примерно «добавлению градуировки» — т.е. переходу от числового ряда $\sum a_n$ к степенному ряду $\sum a_n t^n$ — и манипуляциям в кольце формальных степенных рядов (умножению на $1+t^k$, типа).

Ну дальше то, о чем вы говорите (как заметил Эйлер, $\sum(-1)^n n^{-s}t^s$ — рациональная функция, у которой можно вычислить значение в единице...).

[asox.livejournal.com]

Гхм.
А может проще?
Частичная сумма геометрической прогрессии n первых членов

S = b₁(1 - qⁿ) / (1 - q)

(да, я подсмотрел в википедии)
Ну а дальше видно, что если q < 1, то с увеличением n сумма стремится к конечному числу (при желании легко проделать соотв. преобразования и убедиться, что слагаемое qⁿ / (1 - q) стремится к нулю).

А если q > 1, то сумма расходится.

[vlad_suh]

Собственно, это q^n и есть тот "тайный" параметр, про который пишет avva. При n=+inf и q<1 он - 0.

[glukanat.livejournal.com]

Два момента, если мы говорим про сумму степеней двойки (1+2+4+...), то как 2-адическое число она вполне законно равна -1, и это ничему не мешает. Хотя конечно ни в какой p-адике одну двенадцатую не получить
Второе, насколько я понимаю в теории перенормировок собственно и считают условно сходящийся ряд, потому в видео возможно и показали это процесс. Насколько физично взятие скобок именно таким образом - не знаю

[rozenfag.livejournal.com]

Недавно читал стенограмму лекции Леона Тахтаджяна, там рассказывалось про эту формулу, но как-то совершенно невнятно.

взгляд математика

[a-konst.livejournal.com]

Все это так, да не совсем так.
Во-первых, любую сумму перестановкой слагаемых можно получить не у любого расходящегося ряда, а как раз у любого сходящегося, но условно (а не абсолютно) сходящегося.

Во-вторых, в свете этого факта, понятно, что суммирование бесконечных рядов - это функция от последовательности слагаемых, очень чувствительная к перестановкам. Отсюда понятно, что переставлять слагаемые у бесконечного ряда в процессе поиска "суммы" нельзя.

В-третьих, с чего бы эта функция на бесконечных рядах должна давать что-то похожее на определение предела? Предел - хорошая штука, там где работает. Если у частичных сумм есть конечный предел - это хорошее определение суммы ряда. Если нет предела, а какое-то число, обладающее некими интуитивными свойствами "суммы", с рядом связать хочется - значит надо искать другие определения, а не предел. (Если что, я собаку сьел не одну курсовую написал на мат-мехе про обобщенные суммирования рядов)
Единственное жесткое ограничение на определение суммы бесконечного ряда - это то, что ровно этот же метод в применении к конечному ряду должен давать обычную сумму.
Как-то люди упускают, что определение через предел частичных сумм тоже условно.


Ваши возражения можно прозрачно перенести на дифференцирование не-дифференциуемых функций, в смысле обобщенных производных и распределений. Там тоже твориться мистика, для человека, привыкшего воспринимать производную как предел угла наклона касательных. Но эта техника работает, и дает адекватные результаты, строго математические.

Re: взгляд математика

[ibsorath.livejournal.com]

хороший комментарий, да

всё ощущение "мистики" как раз и возникает от смешивания "суммы" как некой специальной функции от последовательности слагаемых (как в суммировании по Чезаро, которое Вы напомнили выше), и суммы как предела. Люди начинают последовательно складывать 1, 2, 3, ..., видят что это даёт стремящийся к бесконечности положительный результат, а с другой стороны вроде как "сумма" (в специальном смысле) будет конечная, да ещё и возможно отрицательной - и возникает такое вот ощущение чуда. Но оно вызвано смешиванием разных смыслов слова "сумма", конечно.

Если бы в таких видео и статейках сразу говорили так: математики называют "суммой ряда" определённую функцию, которая для многих рядов совпадает с тем, к чему стремится частичная сумма ряда, но для других вовсе нет - то никакого ощущения "чудеса да и только" ни у кого бы не возникло, я думаю.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Интересно, если приписать несходящемуся ряду "сумму" как то, что можно посчитать этими фокусами (сложение со сдвигом), то будет ли это корректным определением (т.е. не будет зависеть от разных способов и сдвигов).

Естественно, с перестановкой членов всё ясно, что разрешение любой перестановки - приводит к некорректному результату. Как насчет сдвигов?

[avva.livejournal.com]

Начинаем с

1) 1-1+1-1+1-1+... = 1/2

(что можно получить сложением этого ряда с самим собой, сдвинутым на одно положение вправо)

2) 1-2+3-4+... = 1/4 (сдвиг вправо и сложение с самим собой дает 1) ).

3) Берем 2) и прибавляем к нему 4*(1+2+3+..) = 4+8+12+..., применяя члены второго ряда только к четным местам первого, получаем 1+2+3+..., отсюда 1/4+4S=S, S=-1/12.

Это пока что по тому, что показано в видео. Но теперь -

4) Берем 1) и прибавляем 2*(1+1+1+1+...), применяя члены второго ряда только к четным местам первого, получаем 1+1+1..., отсюда 1/2+2S=S, S=1+1+1+...=-1/2.

5) Умножив 3) на 2, получаем 2+4+6+... = -1/6.

6) Вычитаем 4) из 5): 2+4+6+... - 1+1+1+... = 1+3+5+... = 1/3,

7) Складываем 5) и 6): 1+3+5+... + 2+4+6+... = 1/6.

Получили противоречие.

[bespechnoepero.livejournal.com]

Товариши просто не понимают суть бесконечного. Когда имеешь дело с бесконечностью, то кроме математики нужно знать и философию. Во-первых, не может быть двух бесконечно больших чисел, а это значит, что нельзя складывать или вычитать бесконечные числа, поскольку они существуют, и одновременно не существуют, в единственном числе.

[ibsorath.livejournal.com]

мне кажется, товарищи наоборот, любят математический термин "бесконечность" нагружать всякими философскими выкрутасами, из технического инструмента превращая в ларец с мнимыми чудесами

[dmpogo.livejournal.com]

В таких историях члены в рядах никогда не переставляются.
А так по суммированию 'improper series' ведь и книжки написаны.
Речь ведь обычно о том что несходящемусю ряду можно 'приписать' осмысленным в опредленнон смысле сумму.

У меня в программах зашито суммирование вещей типа -1+1-1 ..:)
численным образом (точнее вещей типа \int_0^\infty sin x dx :)