силы как векторы и невекторы

[avva]

В обычном изложении ньютоновской механики (в школе, в первом университетском курсе) силу обычно называют векторной величиной. Вот есть тело, на него действует сила, направление этого действия и его величину можно обозначить с помощью вектора.

Что такое вектор - в контексте обычного трехмерного эвклидового пространства, не входя в более высокие материи? С математической точки зрения это просто точка пространства, у которой есть определенные координаты. Задав другую систему координат, мы для той же точки получим другие координаты, но сама точка не изменится.

Физик нарисует стрелку в пространстве от точки A до точки B и скажет: это вектор. Его направление - от A к B, его величина - расстояние между A и B. Но на самом деле конкретные точки A,B не играют роли: эту стрелку можно двигать параллельно в пространстве куда угодно, и это останется тот же вектор. Вот я ее сдвинул так, что она теперь идет от точки C к точке D, и это все тот же вектор. Если у меня есть система координат с началом в точке O, то я всегда могу сдвинуть стрелку так, чтобы она начиналась в O, а кончалась в какой-то V, и тогда векторы OV, AB, CD - это все один и тот же вектор. С математической точки зрения этот вектор - точка V (т.е. конец стрелки, если переместить ее начало в начало координат), и его координаты - координаты точки V.

Пока мы имеем дело с телами, на которые можно смотреть как на точки с массой, нет проблемы смотреть на силу как на вектор. Вот у нас есть тело в точке A, на него действует сила, мы представляем ее в виде вектора AB. Вообще говоря верно, что это тот же вектор, что CD и OV, но нам это не мешает, мы не путаем эту силу с другой силой, которая действует на другое тело в точке C (пусть даже с той же величиной и направлением). Мы знаем, когда мы рассматриваем силы в A, а когда в C.

Но теперь предствим себе, что наши (твердые) тела имеют размер, которым нельзя пренебречь, как обычно и есть в реальной жизни. Например, представим себе стальной куб размером метр на метр на метр. Можно представить его висящим в пустом пространстве (чтобы не заниматься силой тяжести и трением), или лежащим на очень гладкой ледяной поверхности, по которой он свободно скользит без трения. Если я толкаю (прилагаю силу) в центр грани перпендикулярно, то куб начнет двигаться прямо. Если я толкну его тоже перпендикулярно его грани, но рядом с краем, он начинет и двигаться, и вращаться. Если на куб действуют одновременно много всяких сил - я толкаю его с одной стороны, вы с другой, еще с какой-то стороны он удерживается веревкой с такой-то силой, и так далее - то для того, чтобы понять движение куба, нужно для каждой силы указать не только направление и величину, но и конкретную точку приложения.

Пусть у меня есть куб (или другое твердое тело), на которое действуют какие-то силы: в точке A сила, которую описывает вектор AB, в точке C вектор CD, в точке E вектор EF. Для простоты предположим, что все силы лежат в одной плоскости (например: мы тянем и толкаем куб на льду в двух возможных направлениях и их комбинациях). Можно все эти силы "сложить" вместе так, чтобы получилась одна результирующая сила (resultant force), которая и определит движение куба. Как это сделать? Геометрически это делается так: мы сдвигаем вектор AB по его линии приложения, и вектор CD по его линии приложения, пока они не пересекутся в одной точке M, так что у нас получились вектора MA' и MD', идентичные исходным - и при этом не просто параллельные им, а даже лежащие на той же прямой. Мы складываем векторы MA' и MD' по обычному закону сложения векторов (закон параллелограмма), и получаем какой-то вектор MH. Его мы тоже теперь двигаем вместе с вектором EF по их линиям приложения, пока они не будут начинаться в одной точке, и затем складываем. Продолжаем эту процедуру, пока не добавим все силы, действующие на куб, и в итоге получим какой-то вектор KL какой-то величины, это и есть результирующая сила; продолжив KL до той точки, где он пересекается с кубом, мы увидим, в каком месте можно считать, что прилагается результирующая сила.

(я специально не упоминаю определенные сложности, которые возникают в этой процедуре, если некоторые из сил параллельны друг другу; их почти всегда можно решить, а когда нельзя, они решаются добавлением так называемой пары сил, но я не хочу углубляться сейчас в эти тонкости)

Если присмотреться, то когда мы выполняем вышеуказанную процедуру сложения сил, прилагаемых к данному телу, мы не выполняем векторное сложение. С точки зрения векторного сложения любой вектор можно двигать параллельно куда угодно, и для того, чтобы сложить AB, CD, EF достаточно, например, сдвинуть второй и третий вектор так, чтобы они тоже начинались в A, и получить какие-то AB, AD', AF', после чего обычным способом сложить все три вектора. Если мы выполним эту процедуру, мы получим некий вектор AL', который будет параллелен тому вектору KL, который мы получили раньше, и даст правильную величину и направление результирующей силы, но не ее точку приложения. В итоге мы не сможем определить таким способом, как будет двигаться куб.

(есть способ обойти эту сложность, пользуясь понятием "момент силы", о котором если вы знаете - то хорошо, но я не буду сейчас подробно говорить. Момент силы описывает то, насколько данная сила стремится вращать тело вокруг заданной точки O. Если мы выберем удобную точку O, и просуммируем моменты всех исходных сил, то получим момент результирующей силы; эта величина позволить нам понять, насколько надо сдвинуть вектор AL', чтобы получить правильную линию приложения силы KL. Но это в некотором смысле удобный "трюк", позволяющий нам складывать силы как вектора, не обращая внимания на точки приложения, а потом все "подправить").

Если мы, складывая силы описанным выше "правильным" способом - сдвигая их только вдоль их линий приложения, пока они не пересекутся - не делаем векторное сложение, то что мы на самом деле делаем? Выходит, что силы с математической точки зрения не векторы на самом деле, но что же они тогда? Когда я задал этот вопрос на физическом форуме, сначала несколько человек не поняли, о чем я вообще говорю, а потом кто-то указал мне на понятие "line vector" (не знаю, как по-русски), который является как раз вектором, "привязанным" к определенной прямой линии, которая должна быть ему параллельна: скажем, можно обозначить его парой (L, AB), где L - прямая в трехмерном пространстве, AB - обычный вектор с математической точки зрения, параллельный этой прямой, и тогда это обозначает стрелку, которая получится, если AB сдвинуть так, чтобы он лежал внутри прямой L. Эту стрелку еще можно двигать туда-сюда вдоль прямой, и это не меняет сущности "line vector"; это обстоятельство соответствует тому физическому факту, что в механике можно "двигать" вектор силы вдоль его линии приложения, не меняя ситуации.

Если поискать "line vector" в разных книгах, то это понятие находится в многих книгах о механике, написанных для инженеров, а не физиков - а также иногда для физиков, но в старых книгах, 50 и 100 лет назад. Сейчас обычно обходятся без него, и мне хотелось бы понять получше, почему и как. Верно ли будет сказать, что ньютоновская механика в ее общей формулировке по сути дела требует этого понятия, т.е. требует того, чтобы сила была не просто вектором, а вектором, привязанным к определенной прямой? Наверное, и да и нет. На практике обычно быстро вводят понятия момента сил и центра масс; с их помощью можно любую силу, приложенную к телу в какой-то точке, разбить на две составляющие - "толкающую", которую можно считать приложенной к центру масс, и "вращающую", которая описывается с помощью момента сил. И тогда мы опять можем считать тело одной лишь точкой с массой, на которую действует толкающая сила-вектор и вращающий момент. Кроме того, с принципиальной точки зрения можно всегда заявить, что твердое тело это набор частиц, которые связаны друг с другом внутренними силами. Если частицы достаточно малы, то любая сила прилагается на самом деле ко всему телу, если телом считать малую частицу, и бессмысленно говорить о приложении силы "у края" тела. Такая точка зрения неудобна для того, чтобы построить мост или подъемный кран, но ее можно считать, наверное, более фундаментальной для описания ньютоновской механики.

Наверное (?) по этим причинам, в школьных курсах физики или в университетских курсах механики для факультетов точных наук не рассматривается (по крайней мере по моему опыту) этот формализм "line vectors", и как бы не обращают особого внимания на точку/линию приложения силы, предпочитая считать тела точечными, а силы - векторами. Но мне лично кажется, что я бы лучше понимал простейшую ньютоновскую механику тел и сил, если бы мне в свое время преподавали ее, обращая внимание на эти обстоятельства. И еще - мне теперь любопытно, как обычно формулировалась ньютоновская механика, и как ее интуитивно понимали люди, до того, как в 19-м веке воцарилась атомарная теория. Кажется, если нет легкой автоматической картинки в голове "все делится на атомы и внутренние силы между ними", то неизбежно надо учитывать линии приложения сил даже в самых простых описаниях. Хотя, с другой стороны, до 19 века векторного анализа тоже не существовало, так что поди еще пойми, как они на самом деле это представляли (а хотелось бы понять!).

Поправки и замечания от знающих людей принимаются, как обычно, с благодарностью.

(P.S. я понимаю, что эта запись была бы намного более понятной, если бы в ней приводилось несколько рисунков и диаграмм, и сожалею, что у меня сейчас нет времени и сил их сделать).

Comments

[ma535468.livejournal.com]

у меня в школе был учит физики который носился с идеей что гравит силы притяж земли к солнцу не проходит через центр земли а имеет небольшой эксцентринситет по отнош к центру земли и поэтому земля врашается.

так ли это или нет я не знаю но все считали этого физика немного чокнутым

[wizzard]

на точку приложения силы все забивают, потому что тогда надо рассказывать тензоры

а тензоры преподы по вышке в непрофильных* вузах не шарят.

*ну т.е. кроме всяких мехматов, физтехов, приматов итд

[dzz.livejournal.com]

Ну, тензорное исчисление - довольно таки сложная штука для "непрофильной" высшей школы, потому что сначала придётся рассказать курс линейной алгебры :)

[(Anonymous)]

Скорее важно различие между свободным вектором (free vector), которые в совокупности образуют линейное пространство, и закрепленным вектором (located vector), который является просто упорядоченной парой точек (начало и конец). Есть два естественных примера закрепленных векторов: перемещение и сила. Силы можно складывать, если они приложены к одной точке (начала совпадают), а перемещения — если начало второго совпадает с концом первого. Свободный вектор — класс эквивалентности закрепленных векторов относительно параллельных переносов. Легко проверить, что сложение свободных векторов разумно согласовано с обоими вариантами сложения закрепленных. В России это принято рассказывать на первом курсе математических специальностей, а в англоязычной традиции это как-то редко упоминают. На школьном уровне, конечно, это просто излишне.

[kray-zemli.livejournal.com]

Если тело является материальной точкой, то начало координат для удобства помещается туда, где эта материальная точка находится.

Для поступательного движения место приложения силы не важно. Если тело не является материальной точкой, то законы Ньютона от этого работать не перестают, и силы, куда бы они ни действовали, всё так же могут складываться по правилу параллелограма для получения результирующей силы. Главное, поместить ноль системы координат в центр масс тела.

Место приложения силы важно для вращательного движения. Но там складыват следует не силы, а моменты сил.

[dumkas.livejournal.com]

Эти "линии сил" релевантны только для твердых тел. Если тело не твердое (течет жидкость по трубе, балка гнется под своим весом) то силы вообще нельзя переносить из точки в точку, понятие "линии силы" теряет смысл.

[avva.livejournal.com]

Вы совершенно правы. Но ведь механика Ньютона в начальный курсах (в школе, в университете) и вводится как раз для твердых тел и на примере твердых тел, а про "линии сил" там как-то не говорится или затушевывается.

[dzz.livejournal.com]

А в чём, собственно, принципиальная проблема? При приложении сил к макроскопическому объекту результирующие ускорения (линейные и угловые) всё равно получаются по принципу суперпозиции, механика с понятием материальной точки даёт удобную абстракцию, хорошо работающую в условиях вполне понятных ограничений. Инженерные же приложения оперируют моментом силы.

И, строго говоря, перемещать вектор силы параллельным переносом куда угодно можно только в равномерном поле силы, каковое суть тоже абстракция.

[chuka-lis.livejournal.com]

с трудом себе представляю, как приложенная сила может быть "не векторной". мне по прочтении кажется, что вы несколько запутались в своих рассуждениях, или, возможно, не было времени поразбиратсья основательно и заполнить пробелы.

[dzz.livejournal.com]

> как приложенная сила может быть "не векторной"

Разве что, в случае "невекторного" ускорения ;)

[antontsau.livejournal.com]

теоретическая же механика. Первый курс каждого приличного физмат факультета. Там это все прекрасно разжевывается и спрашивается.

[biglebowsky.livejournal.com]

+1

[biglebowsky.livejournal.com]

Я, как и досточтимый antontsau, заканчивал МФТИ.
Подтверждаю - у нас все это было в курсе теормеха. Не совсем понятно, как серьезный институтский курс может без таких вещей обойтись...

[avva.livejournal.com]

Тогда вам тот же вопрос, что и ему.

[kogan.livejournal.com]

Это правда, что векторы в физике это далеко не всегда то, что в математике (даже если не заморачиваться псевдовекторами или, прости господи, векторами спина). Но все же для твердого тела, с точки зрения третьего закона Ньютона, вектора силы остаются векторами. То есть, если их тупо сложить (вне зависимости от точки приложения) и поделить на массу тела, получится-таки его ускорение (=ускорение центра масс). А про вращение надо говорить отдельно, да (и складывать там уже псевдовекторы моментов силы).

[avva.livejournal.com]

Ну это один такой способ на это посмотреть, чтобы легко было продолжить работать с векторами. А если подумать с точки зрения первых принципов, выходит немного шизофреническая картина: вот есть силы, вот мы их сложили, вот у нас что-то получилось, а теперь давайте отдельно с пацанами за моменты перетрем :)

Если есть возможность сложить все силы и получить результирующую силу (+ пару сил иногда), которая целиком описывает движение, то это и есть фундаментальная операция, а разделение на мухи и котлеты в виде поступательного движения центра масс и вращательного движения тела - это такой удобный фокус, чтобы легче считать.

[dumkas.livejournal.com]

В утверждении "сила действует в точке" содержатся ДВА вектора- вектор силы и вектор точки приложения. Для математики хер является вектором, если 1 хер опоеделенным образом преобразуется при повороте системы координат 2 хер можно умножать на число 3 хер можно сложить с другим хером 4 хер можно скалярно умножить на другой хер получится число. Все. И силы и точки приложения являются херами (разными) а то что один тип хера можго переносить вдоль хера другого типа - это срециальное взаимное свойство конктетно этих двух херов в твердых телах, общим свойством векторов это не является

[3mer.livejournal.com]

+1

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

Обычная школьная механика рассматривает только материальные точки, тела, которые не имеют размеров. В этом случае вопросов о различных точках приложения силы не возникает. Движение тела конечных размеров рассматривается в спецкурсах, где и вводятся понятия момента сил и пр. При это расширяется как пространство геометрическое - вместо трёхмерного (x, y, z) шестимерное (плюс три угла), - так и пространство "типов сил" - к одному полярному вектору силы добавляется ещё один аксиальный вектор момента. В таком шестимерном простарнстве операции с этими двумя векторами вполне естественны.

Судя по всему "line vectors" - это инженерный "костыль", призванный попытаться обойтись "обычными" понятиями в расширенном пространстве состояний. Атомарность вещества совершенно иррелевантна для всех этих рассуждений, потому и различий в интуиции в связи с атомарностью быть не должно.

[3mer.livejournal.com]

да, но Для школы это оверкилл,а автор интересовался как я понял почему в школе не рассказали.
Как видно из его коммента проблема в том что не рассказали в институте, там матанализ дают и представления по физике апгрейдятся автоматом на этой базе

[rotozeеv (from livejournal.com)]

Ну вот в лагранжевой/гамильтоновой механике вообще обходятся без понятия силы. Есть материальные точки, есть связи между ними, есть внешний потенциал, куда все это помещено. Как я понимаю, буква F со стрелочкой не есть фундаментальное понятие, но его удобно использовать для упрощения и понимания.

[roux-kuzmich.livejournal.com]

Согласен.
В курсе теормеха у нас были и скользящие векторы в учебнике Айзермана, но нам советовали ими голову не забивать, так как считалось, что это, как тут выразились- "инженерный костыль". В учебнике Гантмахера все расписано уже было через уравнения Лагранжа, а далее и Гамильтона.
Можно и оставить понятие векторной силы для твердого тела, но тогда нужно учитывать все силы, в том числе и межмолекулярные...

[biglebowsky.livejournal.com]

"В механике и физике, кроме свободных векторов, иногда рассматривают скользящие и связанные векторы. Скользящими называют такие векторы, которые считаются эквивалентными, если они не только равны, но и лежат на одной прямой. Связанными называются такие векторы, которые считаются эквивалентными, если они не только равны, но и имеют общее начало. Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке нетвердого ( например, упругого) тела."
http://www.ngpedia.ru/id355573p1.html

[eterevsky.livejournal.com]

Рассматривать вектор как "точку в пространстве", потому что и у того, и у другого есть три координаты -- не верно, так как в таком случае мы привязываемся к определённой системе координат.

Более корректный взгляд состоит в том, что вектор -- это параллельный перенос пространства. Этот взгляд независим от системы координат, и что не менее важно, в нём естественным образом полуечается сложение векторов: сумма двух векторов это просто композиция соответствующих параллельных переносов.

В применении к силе, безусловно, кроме вектора силы требуется ещё точка приложения силы, то есть сила, действующая на абсолютно твёрдое тело, имеет не 3, а 6 степеней свободы. Стоит ли из-за этого вместо векторов рассматривать направленые отрезки? Едва ли, так как главное преимущество векторов как математических объектов -- определённые на них операции -- на направленых отрезках теряются. Невозможно просто взять и сложить два направленых отрезка.

[avva.livejournal.com]

А как в пандан к такой точке зрения (вектор как перенос пространства) рассматривать ковариантный вектор?

[muh2.livejournal.com]

По-моему понятие "точка приложения силы" в школьной физике водилось. В сети сразу находится методичка для абитуриентов и студентов, где оно есть.

http://www.physel.ru/mainmenu-4/-mainmenu-7/41-s-38-.html

И, мне кажется, атомарность совсем не нужна, даже наоборот - привычно разбиваем тело на бесконечно малые объемы, не задумываясь о том, что в этих объемах, а вдруг там только пол-атома, и вперед.

[begundan.livejournal.com]

---Не дочитывая пост до конца и не читая предыдущие комментарии---

Можно все эти силы "сложить" вместе так, чтобы получилась одна результирующая сила (resultant force), которая и определит движение куба.

Очевидно, в общем случае, нет. Пример: куб (я бы для простоты рассматривал отрезок на льду), вращающийся вокруг своего центра (без какого-либо поступательного движения). Нет одной силы, которую можно было бы приложить к какой-либо точке куба для достижения такого эффекта.

---Теперь пойду дочитаю пост и комментарии, и пойму что то что я написал и так все понимают---

[avva.livejournal.com]

Для этого нужно дополнительное понятие пары сил, да (две силы, одинаковые по величине и действующие параллельно и противположно друг другу, но не по одной прямой).

[mopexod.livejournal.com]

"line vectors" (кстати, я не знал, как это по-английски, спасибо) нужны, действительно, больше практикующим инженерам-механикам.
В учебных курсах о них редко идет речь по простой причине - редко попадается задача с нужным количеством деталей, которую нужно было бы решать именно с применением этого понятия.
Количество принципиальных вещей более высокого уровня достаточно велико, чтобы никогда не встретить скользящие вектора.
Сама идея, что в механике к вектору силы часто нельзя применить параллельный перенос "в бок", довольно очевидна, как только узнаешь про не-точечные тела и момент инерции.

Есть еще довольно много практически значимых вещей, которые, как мне кажется, мало кто проходил на курсе механики. Например, коэффициент упругости, который проходят в школе, и в почти неизменном виде в большинстве институтов - матрица, а не одно число.

[begundan.livejournal.com]

Момент силы описывает то, насколько данная сила стремится вращать тело вокруг заданной точки O.

Вращение имеет место вокруг оси, а не вокруг точки.

[avva.livejournal.com]

Вы правы, конечно, у меня был в голове частный случай на плоскости.

[migmit.livejournal.com]

"Вектор" — более удобная абстракция, чем "line vector". У векторов масса приятных алгебраических свойств. Вот ими и пользуются.

[begundan.livejournal.com]

И, наконец, касательно филосовской сути вопроса - насколько силы являются векторами в том математическом смысле, который вы приводите. Задам встречный филосовский вопрос, а за ним последует анализ, который мне кажется во многом сходным с вашим: а насколько масса является действительным числом?

Для материальных точек - является. А для твердых тел? Конечно, общая масса куска пластелина, слепленного из двух кусков, равна сумме масс кусков по отдельности. Но для задачи о движении твердого тела имеет значение не только общая масса тела, а еще и ее распределение. Два тела с одинаковой массой могут двигаться совершенно иначе под влиянием тех же самых сил. А значит, для анализа движения не достаточно просто сложить массы и оперировать с результатом в духе F = ma, а надо каким-то образом (функциями, допустим) описывать, какие части массы мы куда засунули. От прямого сложения и умножения эти операции весьма далеки, и справедливость считания массы числом ставится под большой вопрос.

[vk (from livejournal.com)]

Это вот, кстати, да, смещение центра масс в зависимости от формы реального объекта может полностью изменить траекторию движения объекта вплоть до его вращения.

[mtsyr.livejournal.com]

По 2 закону Ньютона, при приложении силы изменяется (обощенный) момент системы. Если отождествлять силы, для которых скорость этого изменения совпадает, то естественно считать, что силы - это и есть элементы касательного пространства к пространству моментов, т. е. всевозможные скорости изменения моментов.

Заметим, что для твердого тела пространство моментов 6-мерно, множество пар {точка приложения;вектор} тоже 6-мерно, но оно при отождествлении схлопывается до пространства скользящих векторов, которое 5-мерно. Отсюда видно, что есть силы, не выражаемые скользящими векторами ("пары сил").

Т. е. "правильный" абстрактный взгляд - что сила - это вектор, живущий в совсем другом пространстве (касательном пространстве к кокасательному расслоению конфигурационного пространства), которое для материальной точки (и только для неё) можно отождествить с нашим обычным пространством. "Инженерный" взгляд на силу, конечно, проще: взяли и потянули, тогда это вектор плюс точка его приложения.

[avva.livejournal.com]

Знаете, я почти понял все, что вы написали, но только почти. Я не помню, из чего состоит пространство моментов и почему оно 6-мерно, и "касательное пространство к кокасательному расслоению" поставило меня в тупик (я знаю эти слова и помню в общих чертах очень базовую дифф. геометрию, но у меня не получается представить, как это выглядит и как относится к данному обсуждению).

Если вы можете подробнее описать/определить все пространства, о которых вы говорит (начиная с конфигурационного), и что именно являются их точками, и как именно работает эта идентификация двух 6-мерных пространств и почему при ней происходит "схлопывание", буду вам очень благодарен.

[gul-kiev.livejournal.com]

Меня в школе учили, что векторы бывают свободные, скользящие и связанные. В математике векторы по умолчанию свободные, в физике встречаются все три вида.
Если честно, то не очень понимаю, в чём проблема.

[biglebowsky.livejournal.com]

+1

[dmpogo.livejournal.com]

Вообще то настоящий вектор конечно привязан к точке, а все эти переносы - трюки

[dmpogo.livejournal.com]

Момент силы - это не трюк, а как раз, в каком то смысле, ближе всего к сущности.

А именно - тело описывется определенным количеством обобщенных координат, по количеству степеней свободы. И каждой соответствует компонента силы. И момент силы - ничто иное как дополнительные компоненты требуемые для описания конечного твердого тела, у которого шесть степеней свобод.

Все остальное как раз - трюки.