о векторном произведении
Aug. 28th, 2014 08:45 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ прочитал замечательную книгу, называется "Геометрические векторы", которая хороший порядок в голове навела. Помимо прочего, разобрался с тем, что мне с юности мешало и не нравилось в векторном произведении.
Мне казались странными две вещи. Во-первых, что векторное произведение, в отличие от скалярного, "привязано" к трехмерному пространству, а в другом количестве измерений его непонятно, как определять. Во-вторых, что для его определения нужно правило правой руки (оно же "правило буравчика"): мне казалось очень странным, что этот произвольный выбор правила правой руки (а не левой, например) может быть "зашит" в законы физики.
Про первый вопрос, о сути векторного произведения не только в трехмерном пространстве, я напишу потом в записи о всей книге и ее подходе, если соберусь. А о правиле правой руки постараюсь вкратце рассказать тут.
Будем смотреть на вектор "по-физически" как на отрезок в пространстве, с заданным на нем направлением. Длина отрезка определяет величину вектора. Направление, которое мы обозначаем стрелкой - просто выбор одного из двух концов отрезка. Если в векторе поменять направление на обратное, получится обратный вектор, и эту операцию логично обозначать знаком минус, потому что сложение двух этих векторов дает ноль (вектор нулевой величины).
(я сознательно не ввожу систему координат и не говорю о координатах векторов - во всем этом обсуждении можно без них обойтись, и так проще)
Далее, векторное произведение двух векторов определяется обычно так: это отрезок, перпендикулярный плоскости, в которой лежат оба вектора, и его длина равна произведению их длин умноженному на синус угла между ними. Но чтобы этот отрезок стал вектором, осталось еще дать ему направление, т.е. решить, в каком конце рисуется стрелка. Или - что то же самое - в какую из двух сторон от плоскости он уходит. Для этого используют правило правой руки: если расположить руку так, чтобы четыре пальца загибались от первого вектора ко второму, то отставленный большой палец покажет направление векторного произведения.
При этом векторное произведение несколько странно ведет себя по сравнению с обычными векторами, и поэтому, если нужна точность, его называют псевдовектором (или аксиальным вектором). Вот что это значит. Предположим, мы используем векторы для изображения каких-то физических величин, которые мы в принципе можем измерить: например, скорость, или сила, или магнитное поле и так далее. Тогда понятно, что если мы просто посмотрим на ту же физическую систему с другой стороны, под другим углом, то от этого скорости, силы, и другие физические величины не изменятся. Раз наши вектора-стрелки изображают эти физические величины, они тоже не должны от этого измениться. И действительно, с чего бы стрелкам в пространстве меняться от того, что на них посмотрели с другой стороны. Это все просто и тривиально. Далее, есть и другой способ посмотреть "по-другому" на физическую систему: посмотреть на ее зеркальное отражение. Зеркальное отражение некоторое векторы оставляет без изменений: я стою перед зеркалом, моя правая рука направлена вправо - ее отражение в зеркале направлено в ту же сторону: для меня-зеркального это "лево", да, но это то же направление. Другие векторы меняет: если я потянусь рукой к зеркалу, мое отражение потянется в обратном направлении. Но так или иначе, логично ожидать, что все физические величины при зеркальном отражении всей системы изменятся одинаковым "зеркальным" способом.
Но векторное произведение так не работает. Оно в зеркальном отражении меняется на обратное тому, каким, казалось бы, должно быть. И понятно, почему так происходит: из-за правила правой руки. Ведь в зеркальном отражении правая рука становится левой, а векторное произведение там, в отражении, все равно нужно по определению делать по правилу правой.
Поток тока по замкнутому контуру создает магнитное поле, которое определяется с помощью векторного произведения. В зеркальном отражении нам хотелось бы, чтобы оно указывало в том же направлении, снизу вверх, но из-за правила правой руки оно теперь направлено сверху вниз.
У колес машины есть угловая скорость, которая определяется через векторное произведение. У машины слева оно направлено влево (красная стрелка). Справа зеркальное отражение той же машины. Мы бы ожидали, что в зеркальном направлении стрелка будет теперь идти вправо, но из-за правила правой руки она опять направлена влево.
В общем, векторное произведение ведет себя как обычный вектор, если мы всего лишь поворачиваем систему координат (т.е. смотрим под другим углом) или двигаем ее. Но если мы делаем отражение системы координат (т.е. смотрим на зеркальное отражение), то оно меняет знак в сравнении с обычными векторами, и поэтому называется псевдовектором. Это лишний раз подчеркивает странность произвольного выбора правила правой руки, и того, что физические величины, которые ведут себя в соответствии с законами природы, должны почему-то ему подчиняться.
Теперь другой взгляд на все это, из книги Вайнрайха "Геометрические векторы".
У нас есть отрезок в пространстве, и мы хотим дать ему направление, чтобы он стал вектором. Мы привыкли к тому, что это значит - выбрать одну из его вершин и назвать ее началом, а другую концом (или хвостом и головой), и нарисовать стрелку. Но давайте представим себе, что на самом деле есть два разных вида "направления". Есть два разных способа выбрать что-то, одно из двух, касающееся этого отрезка. Один, когда мы выбираем одну из вершин и рисуем стрелку, называется "полярное направление". Другой вид, когда мы задаем направление вращения отрезка вокруг своей оси, называется "аксиальное направление".
Отрезок может вращаться (или вокруг него можно описывать круги, если желаете) в одном из двух направлений. Обратите внимание, это важно! - неверно называть их "по часовой стрелке" или "против часовой стрелки", это неправильно, потому что каждое из этих аксиальных направлений будет "по часовой стрелке", если смотреть с одного конца отрезка, и "против часовой стрелки", если смотреть с другого. Это просто два противоположных направления. Отрезок, у которого задано такое аксиальное направление, называется аксиальным вектором. Важно уяснить, что у такого вектора нигде нет стрелки, у него нет выбранной вершины, у него есть только выбранное аксиальное направление (направление вращения).
Такие векторы можно складывать друг с другом, или умножать на скаляры, так же легко, как и обычные полярные векторы. Например, как мы складываем обычные векторы? Мы сдвигаем их так, чтобы начало одного уткнулось в конец другого, т.е. пользуемся их стрелками, и потом соединяем дальние концы. Чтобы сложить два аксиальных вектора, нам нужно понять, как их соединить концами: ведь стрелок нет. Но на самом деле это просто: они соединяются так, чтобы они крутились в одном и том же направлении, если переходить с одного на другой. Можно представить себе такие векторы веревками, которые вращаются в своем направлении; если мы их свяжем двумя концами, то они будут либо мешать друг другу крутиться - и тогда мы связали неправильно - либо крутиться вместе, и это правильный способ. И потом мы соединяем дальние концы и закручиваем то, что получилось, в том же направлении.
Зачем нужны аксиальные векторы? Так вот векторное произведение как раз естественным образом и является аксиальным вектором. Мы умножаем два вектора a и b, получаем отрезок определенной величины, перпендикулярный их плоскости. Для того, чтобы дать ему "стрелку", нам нужно что-то вроде правила правой руки. Но чтобы дать ему аксиальное направление, ничего особенного не нужно: оно естественным образом задается как направление вращения от a к b. При этом, как и требуется, от перестановки мест множителей направление произведение меняется на обратное.
Теперь при зеркальном отражении аксиальный вектор ведет себя так же естественно, как и (обычный) полярный вектор. Его направление вращение может измениться на противоположное, в зависимости от его ориентации в пространстве, но это нормально, обычный вектор тоже может измениться на противоположный, если он направлен к зеркалу. Главное - это что все происходит в точности как мы ожидаем: изогнутая стрелка вокруг вектора отражается в зеркале точно так же, как и все остальное. Нет этого странного прыжка стрелки от сверху вниз к снизу вверх, как было, когда мы рисовали у векторного произведения стрелку. Нет такого, что есть обычный нормальный вектор и "плохой" псевдовектор: полярный и аксиальный векторы равноправны и симметричны по своим свойствам.
В этом подходе мы работаем с двумя разными видами векторов, и соответственно разных операций получается больше, и надо с ними разобраться. Но это все выходит довольно просто. Скажем, векторное произведение двух полярных векторов дает аксиальный, как мы только что увидели, и двух аксиальных - тоже дает аксиальный (надо разобраться, как соединить их концы и как определить вращение результата). Зато векторное произведение полярного и аксиального векторов дает обычный полярный вектор. Это объясняет, кстати, почему магнитное поле странным образом переворачивается в зеркальном отражении - в обычной формулировке векторного произведения - но у этого нет физических последствий: потому что когда оно действует на движущуюся заряженную частицу, то ее приложение вычисляется через еще одно векторное произведение, и получается обычный вектор, так что частица будет двигаться "правильно" в отражении.
Скалярное произведение двух аксиальных векторов дает обычный скаляр, как и скалярное произведение двух полярных векторов. Обычный скаляр можно считать "полярным", и у него задано "направление" - просто его знак: 10 и -10 это два полярных скаляра противоположного направления. А вот если составить скалярное произведение полярного и аксиального векторов, получается такая смешная штука, которую называют псевдоскаляр или аксиальный скаляр. Это число, у которого есть одно из двух направлений, но они не совпадают ни с плюсом, ни с минусом. Само число обязано быть положительным, потому что же это просто длина отрезка, но мы его как бы считаем без знака, не +10 и не -10, а "просто 10", и при этом у него есть одно из двух направлений вращения, которые можно условно назвать, например, правым и левым. То есть это будет "правое 10" или "левое 10".
А какое же отношение ко всему этому имеет "правило правой руки", спросите вы? Очень просто. Мы определили новый вид вектора, и с его помощью векторное произведение, без правила правой руки. Но если нам хочется, то правило правой руки просто-напросто дает способ перевести любой аксиальный вектор в полярный, и наоборот. То, как загибаются пальцы - это аксиальное направление, то, куда указывает большой палец - полярное.
Поскольку аксиальное и полярное направления не зависят друг от друга, нет естественного способа перевести одно в другое. Надо выбрать один из двух таких способов: либо правило правой руки, либо правило левой руки (кстати, выбор системы координат - тоже является выбором такого правила: то, как оси x,y,z расположены друг относительно друга, задает либо правую, либо левую руку). Как только мы выбираем одно из них, мы можем все наши аксиальные вектора заменить на сооветствующие полярные, и избавиться от "отрезка с направлением вращения" (а "правое 10" становится соответственно +10 или -10, смотря какое правило мы выбрали). Но тогда мы возвращаемся к старой картине мира, в которой эти вновь полученные вектора начинают вести себя странно в зеркальном отражении, и за это в старой картине мира их называли 'аксиальными' или 'псевдовекторами'. А псевдоскаляры в зеркальном отражении, хоть и выглядят обычными числами, теперь почему-то меняют знак на противоположный. Теперь мы видим, что это странное несимметричное поведение не присутствует в природе, а возникает, когда мы выбираем произвольным образом одно из двух правил для того, чтобы упростить себе жизнь и работать только с одним типом векторов. Но если использовать оба, то законы и движение и все такое происходит логично, отражается в зеркале так, как мы того ожидаем, и не нужно правило правой руки.
По-моему, очень красиво.
Мне казались странными две вещи. Во-первых, что векторное произведение, в отличие от скалярного, "привязано" к трехмерному пространству, а в другом количестве измерений его непонятно, как определять. Во-вторых, что для его определения нужно правило правой руки (оно же "правило буравчика"): мне казалось очень странным, что этот произвольный выбор правила правой руки (а не левой, например) может быть "зашит" в законы физики.
Про первый вопрос, о сути векторного произведения не только в трехмерном пространстве, я напишу потом в записи о всей книге и ее подходе, если соберусь. А о правиле правой руки постараюсь вкратце рассказать тут.
Будем смотреть на вектор "по-физически" как на отрезок в пространстве, с заданным на нем направлением. Длина отрезка определяет величину вектора. Направление, которое мы обозначаем стрелкой - просто выбор одного из двух концов отрезка. Если в векторе поменять направление на обратное, получится обратный вектор, и эту операцию логично обозначать знаком минус, потому что сложение двух этих векторов дает ноль (вектор нулевой величины).
(я сознательно не ввожу систему координат и не говорю о координатах векторов - во всем этом обсуждении можно без них обойтись, и так проще)
Далее, векторное произведение двух векторов определяется обычно так: это отрезок, перпендикулярный плоскости, в которой лежат оба вектора, и его длина равна произведению их длин умноженному на синус угла между ними. Но чтобы этот отрезок стал вектором, осталось еще дать ему направление, т.е. решить, в каком конце рисуется стрелка. Или - что то же самое - в какую из двух сторон от плоскости он уходит. Для этого используют правило правой руки: если расположить руку так, чтобы четыре пальца загибались от первого вектора ко второму, то отставленный большой палец покажет направление векторного произведения.
При этом векторное произведение несколько странно ведет себя по сравнению с обычными векторами, и поэтому, если нужна точность, его называют псевдовектором (или аксиальным вектором). Вот что это значит. Предположим, мы используем векторы для изображения каких-то физических величин, которые мы в принципе можем измерить: например, скорость, или сила, или магнитное поле и так далее. Тогда понятно, что если мы просто посмотрим на ту же физическую систему с другой стороны, под другим углом, то от этого скорости, силы, и другие физические величины не изменятся. Раз наши вектора-стрелки изображают эти физические величины, они тоже не должны от этого измениться. И действительно, с чего бы стрелкам в пространстве меняться от того, что на них посмотрели с другой стороны. Это все просто и тривиально. Далее, есть и другой способ посмотреть "по-другому" на физическую систему: посмотреть на ее зеркальное отражение. Зеркальное отражение некоторое векторы оставляет без изменений: я стою перед зеркалом, моя правая рука направлена вправо - ее отражение в зеркале направлено в ту же сторону: для меня-зеркального это "лево", да, но это то же направление. Другие векторы меняет: если я потянусь рукой к зеркалу, мое отражение потянется в обратном направлении. Но так или иначе, логично ожидать, что все физические величины при зеркальном отражении всей системы изменятся одинаковым "зеркальным" способом.
Но векторное произведение так не работает. Оно в зеркальном отражении меняется на обратное тому, каким, казалось бы, должно быть. И понятно, почему так происходит: из-за правила правой руки. Ведь в зеркальном отражении правая рука становится левой, а векторное произведение там, в отражении, все равно нужно по определению делать по правилу правой.
Поток тока по замкнутому контуру создает магнитное поле, которое определяется с помощью векторного произведения. В зеркальном отражении нам хотелось бы, чтобы оно указывало в том же направлении, снизу вверх, но из-за правила правой руки оно теперь направлено сверху вниз.
У колес машины есть угловая скорость, которая определяется через векторное произведение. У машины слева оно направлено влево (красная стрелка). Справа зеркальное отражение той же машины. Мы бы ожидали, что в зеркальном направлении стрелка будет теперь идти вправо, но из-за правила правой руки она опять направлена влево.
В общем, векторное произведение ведет себя как обычный вектор, если мы всего лишь поворачиваем систему координат (т.е. смотрим под другим углом) или двигаем ее. Но если мы делаем отражение системы координат (т.е. смотрим на зеркальное отражение), то оно меняет знак в сравнении с обычными векторами, и поэтому называется псевдовектором. Это лишний раз подчеркивает странность произвольного выбора правила правой руки, и того, что физические величины, которые ведут себя в соответствии с законами природы, должны почему-то ему подчиняться.
Теперь другой взгляд на все это, из книги Вайнрайха "Геометрические векторы".
У нас есть отрезок в пространстве, и мы хотим дать ему направление, чтобы он стал вектором. Мы привыкли к тому, что это значит - выбрать одну из его вершин и назвать ее началом, а другую концом (или хвостом и головой), и нарисовать стрелку. Но давайте представим себе, что на самом деле есть два разных вида "направления". Есть два разных способа выбрать что-то, одно из двух, касающееся этого отрезка. Один, когда мы выбираем одну из вершин и рисуем стрелку, называется "полярное направление". Другой вид, когда мы задаем направление вращения отрезка вокруг своей оси, называется "аксиальное направление".
Отрезок может вращаться (или вокруг него можно описывать круги, если желаете) в одном из двух направлений. Обратите внимание, это важно! - неверно называть их "по часовой стрелке" или "против часовой стрелки", это неправильно, потому что каждое из этих аксиальных направлений будет "по часовой стрелке", если смотреть с одного конца отрезка, и "против часовой стрелки", если смотреть с другого. Это просто два противоположных направления. Отрезок, у которого задано такое аксиальное направление, называется аксиальным вектором. Важно уяснить, что у такого вектора нигде нет стрелки, у него нет выбранной вершины, у него есть только выбранное аксиальное направление (направление вращения).
Такие векторы можно складывать друг с другом, или умножать на скаляры, так же легко, как и обычные полярные векторы. Например, как мы складываем обычные векторы? Мы сдвигаем их так, чтобы начало одного уткнулось в конец другого, т.е. пользуемся их стрелками, и потом соединяем дальние концы. Чтобы сложить два аксиальных вектора, нам нужно понять, как их соединить концами: ведь стрелок нет. Но на самом деле это просто: они соединяются так, чтобы они крутились в одном и том же направлении, если переходить с одного на другой. Можно представить себе такие векторы веревками, которые вращаются в своем направлении; если мы их свяжем двумя концами, то они будут либо мешать друг другу крутиться - и тогда мы связали неправильно - либо крутиться вместе, и это правильный способ. И потом мы соединяем дальние концы и закручиваем то, что получилось, в том же направлении.
Зачем нужны аксиальные векторы? Так вот векторное произведение как раз естественным образом и является аксиальным вектором. Мы умножаем два вектора a и b, получаем отрезок определенной величины, перпендикулярный их плоскости. Для того, чтобы дать ему "стрелку", нам нужно что-то вроде правила правой руки. Но чтобы дать ему аксиальное направление, ничего особенного не нужно: оно естественным образом задается как направление вращения от a к b. При этом, как и требуется, от перестановки мест множителей направление произведение меняется на обратное.
Теперь при зеркальном отражении аксиальный вектор ведет себя так же естественно, как и (обычный) полярный вектор. Его направление вращение может измениться на противоположное, в зависимости от его ориентации в пространстве, но это нормально, обычный вектор тоже может измениться на противоположный, если он направлен к зеркалу. Главное - это что все происходит в точности как мы ожидаем: изогнутая стрелка вокруг вектора отражается в зеркале точно так же, как и все остальное. Нет этого странного прыжка стрелки от сверху вниз к снизу вверх, как было, когда мы рисовали у векторного произведения стрелку. Нет такого, что есть обычный нормальный вектор и "плохой" псевдовектор: полярный и аксиальный векторы равноправны и симметричны по своим свойствам.
В этом подходе мы работаем с двумя разными видами векторов, и соответственно разных операций получается больше, и надо с ними разобраться. Но это все выходит довольно просто. Скажем, векторное произведение двух полярных векторов дает аксиальный, как мы только что увидели, и двух аксиальных - тоже дает аксиальный (надо разобраться, как соединить их концы и как определить вращение результата). Зато векторное произведение полярного и аксиального векторов дает обычный полярный вектор. Это объясняет, кстати, почему магнитное поле странным образом переворачивается в зеркальном отражении - в обычной формулировке векторного произведения - но у этого нет физических последствий: потому что когда оно действует на движущуюся заряженную частицу, то ее приложение вычисляется через еще одно векторное произведение, и получается обычный вектор, так что частица будет двигаться "правильно" в отражении.
Скалярное произведение двух аксиальных векторов дает обычный скаляр, как и скалярное произведение двух полярных векторов. Обычный скаляр можно считать "полярным", и у него задано "направление" - просто его знак: 10 и -10 это два полярных скаляра противоположного направления. А вот если составить скалярное произведение полярного и аксиального векторов, получается такая смешная штука, которую называют псевдоскаляр или аксиальный скаляр. Это число, у которого есть одно из двух направлений, но они не совпадают ни с плюсом, ни с минусом. Само число обязано быть положительным, потому что же это просто длина отрезка, но мы его как бы считаем без знака, не +10 и не -10, а "просто 10", и при этом у него есть одно из двух направлений вращения, которые можно условно назвать, например, правым и левым. То есть это будет "правое 10" или "левое 10".
А какое же отношение ко всему этому имеет "правило правой руки", спросите вы? Очень просто. Мы определили новый вид вектора, и с его помощью векторное произведение, без правила правой руки. Но если нам хочется, то правило правой руки просто-напросто дает способ перевести любой аксиальный вектор в полярный, и наоборот. То, как загибаются пальцы - это аксиальное направление, то, куда указывает большой палец - полярное.
Поскольку аксиальное и полярное направления не зависят друг от друга, нет естественного способа перевести одно в другое. Надо выбрать один из двух таких способов: либо правило правой руки, либо правило левой руки (кстати, выбор системы координат - тоже является выбором такого правила: то, как оси x,y,z расположены друг относительно друга, задает либо правую, либо левую руку). Как только мы выбираем одно из них, мы можем все наши аксиальные вектора заменить на сооветствующие полярные, и избавиться от "отрезка с направлением вращения" (а "правое 10" становится соответственно +10 или -10, смотря какое правило мы выбрали). Но тогда мы возвращаемся к старой картине мира, в которой эти вновь полученные вектора начинают вести себя странно в зеркальном отражении, и за это в старой картине мира их называли 'аксиальными' или 'псевдовекторами'. А псевдоскаляры в зеркальном отражении, хоть и выглядят обычными числами, теперь почему-то меняют знак на противоположный. Теперь мы видим, что это странное несимметричное поведение не присутствует в природе, а возникает, когда мы выбираем произвольным образом одно из двух правил для того, чтобы упростить себе жизнь и работать только с одним типом векторов. Но если использовать оба, то законы и движение и все такое происходит логично, отражается в зеркале так, как мы того ожидаем, и не нужно правило правой руки.
По-моему, очень красиво.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-08-28 08:27 pm (UTC)Где-то читал, что это возможность описать условной другой цивилизации понятия "право-лево".
no subject
Date: 2014-08-30 08:18 am (UTC)А в бета-распаде антиматерии искали?
no subject
Date: 2014-08-28 10:26 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 05:56 pm (UTC)В 2-мерном пространстве это матрицы вида
0 a
-a 0
поэтому вращение описывается скаляром а.
В 3-мерном пространстве это
0 a b
-a 0 c
-b -c 0
поэтому можно описать вектором (есть ровно три параметра).
А вот уже в 4-мерном пространстве нужно 6 параменров, а не 4, поэтому ветором нельзя.
no subject
Date: 2014-08-28 06:49 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 06:31 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 08:28 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 05:59 pm (UTC)Вообще говоря, "произвольность" выбора этого правила однозначно определяется нашим выбором читать слева направо. Если читать AxB справа налево, т.е. в привычной нам записи таки BxA, то результирующий вектор поменяет знак направления ;)
no subject
Date: 2014-08-28 06:20 pm (UTC)От геометрии к алгебре
Date: 2014-08-28 08:39 pm (UTC)Из русских книг настоятельно рекомендую старую книгу Розенфельда "Многомерные пространства" -- там дико интересно написано про еще более важное и интригующее разделение векторов на свободные и скользящие, а также про геометрию, связанную с кватернионами.
Re: От геометрии к алгебре
Date: 2014-08-30 08:10 am (UTC)>настоятельно рекомендую старую книгу Розенфельда "Многомерные пространства"
Что получится, если умножить метр на метр?
Re: От геометрии к алгебре
Date: 2014-08-30 12:23 pm (UTC)Re: От геометрии к алгебре
Date: 2014-08-30 03:04 pm (UTC)Re: От геометрии к алгебре
Date: 2015-06-29 10:47 am (UTC)Как сейчас понимаю, про вращения и клиффоровы алгебры, это так называемая "геометрическая алгебра", где можно удобно работать с мультивекторами.
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra
А про связь Клиффордовых алгебр с H и O невероятно круто написал Baez в брошуре Октонионы (есть перевод на русский)
http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/
Re: От геометрии к алгебре
Date: 2015-06-29 01:27 pm (UTC)И да, обзорная статья Баэза (Байза) про октавы просто замечательная.
Ее перевод я знаю только один, в "Гиперкомплексных числах": http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=274 или http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=616
Если вы знаете другой, подскажите, плиз.
Re: От геометрии к алгебре
Date: 2015-06-29 04:01 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 08:52 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-28 09:12 pm (UTC)Хорошо видно, казалось бы, что изложение в посте предельно бескоординатное?
Как возникают системы координат?
Date: 2014-08-28 10:08 pm (UTC)Смотрите:
а) начало есть,
б) направление есть,
в) знак есть,
г) масштаб (единичный отрезок) есть.
Этой системой координат можно не пользоваться, но она задана!
Re: Как возникают системы координат?
Date: 2014-08-29 07:58 pm (UTC)Одномерная.
Re: Как возникают системы координат?
Date: 2014-08-30 07:54 am (UTC)А при умножении этого вектора на другой, не параллельный ему, уже возникает двумерная. Она в общем случае не будет прямоугольной, поэтому обратите внимание на синус между векторами!
no subject
Date: 2014-08-28 10:10 pm (UTC)Удивительно, что есть люди, для которых переход к понятию "аксиального вектора" что-то проясняет в стандартном определении. Произведение длин векторов умножается на синус угла между ними (почему не логарифм, арктангенс или функцию Бесселя?). Дальше мы приравниваем длину вектора к площади параллелограмма; каждый знает, что это заведомо бессмысленно. После этого с неба падают линейность, тождество Якоби и всё остальное. Ей-богу, правило правой руки не выглядит самой большой проблемой.
no subject
Date: 2014-08-29 08:09 pm (UTC)В этой записи я оставил его вектором, потому что по-моему это отдельный вопрос, не связанный с элегантным решением "псевдовекторности" путем введения *равноправных* понятий полярной и аксиальной направленности, полярного и аксиального вектора, полярного и аксиального ковариантного вектора, итд. Эту симметричную дуальность, которая мне так понравилась, можно ввести и оставляя векторное произведение вектором.
no subject
Date: 2014-08-29 09:08 pm (UTC)Вообще, по-моему (и не только), "векторное произведение" и весь "vector calculus" - это исторический курьез. Например, угловая скорость - какой же это вектор? Это инфинитезимальное вращение, то есть производная ортогонального оператора (матрицы вращения), то есть антисимметричный оператор. Естественно, как в матрицу вращения можно подставить вектор и получить его новое положение после вращения, так и в её производную можно подставить вектор и получить скорость. Вместо этой прозрачной процедуры нам предлагают сначала загадочным образом представить угловую скорость как вектор, а потом к результату применить загадочную операцию векторного умножения. И так во всём.
no subject
Date: 2014-08-30 08:31 am (UTC)Меня просто душит моя необразованность, чувствую себя болваном! Что такое "vector calculus", векторная алгебра что-ли?
>исторический курьез
Вы, наверно, имели ввиду математический курьёз, имевший место в истории?
no subject
Date: 2014-08-28 09:14 pm (UTC)Собственно, само "правило правой руки" или как оно там — это уже тихий ужас. Вместо того, чтобы написать три простых и понятных формулы, изобретают чёрт-те что. Потом, чтобы хоть как-то в этом разобраться, начинают лепить "вращения отрезка вокруг своей оси" да ещё складывают их.
Да и "привязанность" к трёхмерному пространству тоже гораздо легче понимается на (алгебраическом) языке внешних степеней.
Красота требует жертв
Date: 2014-08-28 09:53 pm (UTC)Анатолий, Вы хороший исследователь. Исследуйте сами, не верьте слепо! Стык арифметики и геометрии - самое слабое место математики, именно здесь главное сосредоточение ошибок.
Попробуйте ответить на вопросы.
Обычные вектора:
1) Направленный отрезок вектором является или нет?
2) Вектор является направленным отрезком или нет?
3) На координатной прямой от нуля в разные стороны отходят 2 луча, имеющих противоположные направления. Отрезки на этих лучах имеют направления?
4) Вектор длину имеет или нет? Может вектор быть длиной в 1 метр? Или вектор может быть длиной в 1 штуку? Что будет, если мы умножим метр на метр?
5) Метр, имеющий положительное направление, больше нуля? Метр, имеющий отрицательное направление, меньше нуля? Или отрицательный метр больше нуля? С какой стороны от нуля имеют право находиться абсолютные величины (т.н. "модули"), только с положительной? Или с любой, которая больше нуля?
Аксиальные вектора:
1) Может что-либо вращаться, на имея скорости вращения? Если скорости нет, можно ли утверждать, что скорость равна нулю?
2) Как выяснить линейную скорость вращения аксиального вектора?
3) Как возникают системы координат?
4) Может быть перепутан вращающийся вектор с вращающейся системой координат?
Re: Красота требует жертв
Date: 2014-08-28 10:01 pm (UTC)Re: Красота требует жертв
Date: 2014-08-29 07:24 pm (UTC)Вообще, о существовании проблемы хорошо говорит mtsyr немного выше. (http://avva.livejournal.com/2801860.html?thread=109940420#t109940420 (http://avva.livejournal.com/2801860.html?thread=109940420#t109940420)) И совершенно от меня независимо. Чувствуется, что человека терзают те же сомнения, что и меня! Выводы из сомнений мы с ним делаем, похоже, совершенно разные, но рассуждения ведь не просто так похожи!
no subject
Date: 2014-08-29 10:04 am (UTC)Кстати, в старших размерностях, можно таким же образом представлять (n-1)-векторы.
no subject
Date: 2014-08-29 01:20 pm (UTC)[Для не читавших книгу - ковариантной емкостью (covariant vector capacity) в книге называется направленная площадь параллелограмма, построенного на двух векторах. Она не отождествляется в общем случае с результатом векторного произведения в виде вектора, как направленного отрезка, хотя бы потому, что она ковариантна. Сам термин, если и не придуман автором, то явно встречается довольно редко.]
no subject
Date: 2014-08-29 02:07 pm (UTC)Как вам книга, кстати?
no subject
Date: 2014-08-29 08:18 pm (UTC)А книжка замечательная. Прочитал ее за один вечер. Что-то похожее, в смысле попыток наглядного объяснения, есть в учебниках, где рассказывают про дифференциальные формы физикам. Stack соответствует 1-форме, sheaf, насколько я понял - 2-форме, а swarm - 3-форме. Но нигде эти попытки не заходят так далеко, до построения полного набора объектов и всех возможных операций над ними без привлечения каких-либо вычислений.
Жаль, что автор, как пишет в предисловии, отказался от идеи рассказать и про тензорный анализ (и, видимо, вместе с ним и про дифференциальные формы). С таким развитым "графическим формализмом", мне кажется, можно было бы наглядно объяснить и про внешнее произведение, и про внешнюю производную, и обобщенную теорему Стокса.
Еще показался слишком искусственным трюк с приписыванием знаку "×" тройной плотности или емкости, но это все-таки не учебник и на большую строгость не претендует.
no subject
Date: 2014-08-30 11:07 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-31 09:21 am (UTC)Смотрите, можно таким же образом сказать, что есть "проблема" в определении скалярного произведения стрелки и "пачки": оно определено как кол-во листов, которые стрелка протыкает, но для того, чтобы определить пачку, достаточно 2-х листов, и стрелка вполне может быть такой короткой, что она начнется от первого и не достигнет второго. Значит ли это, что скалярное произведение теперь не изменится от того, что мы удалим второй лист от первого еще дальше? Конечно, нет. Интуитивная картинка "количество протыкаемых листов" предполагает, что их достаточно много для того, чтобы целочисленный подсчет дал ответ, близкий к реальному вещественному значению скалярного произведения.
Предположим, у вас есть очень короткая стрелка и "просторная" пачка. Всегда можно чуть усложнить метафору и сказать: увеличим кол-во листов пачки в десять раз, и притворимся, что это такая "бумага второго сорта", которая для подсчета плотности считается в 10 раз меньше, чем обычная. Или в 1000 раз, или во сколько угодно, чтобы стрелка заканчивалась где-то очень близко к одному из листов пачки.
То же самое с thumbtack'ом и sheaf'ом. Расположение линий в пространстве не должно играть роли. Если у вас есть странный, очень длинный и узкий thumbtack, просто сделайте вместо ваших линих в миллион раз больше и пусть каждая считается только в одну миллионную силы единицы подсчета величины объекта. Не давайте им настоящей столбиковости, как вы предлагаете, а просто измените "бухгалтерию" в уме.
no subject
Date: 2014-08-31 05:09 pm (UTC)С thumbtack'ом и sheaf'ом так не получится. Причем не потому, что линий будет не хватать, а потому, что их может быть слишком много. Единичный thumbtack можно растянуть так, чтобы его пересекало сколько угодно линий. А можно придать ему такую форму, чтобы линии начали его пересекать только когда мы увеличим их число в 10 000 раз. Но не зная заранее ответа мы никогда не поймем, единичный это thumbtack или мы просто не достигли нужного числа линий. Но тогда любой ответ бессмысленный, пока мы его не узнали заранее. Но этого можно избежать введя площадь столбиков и, по аналогии с пачкой и стрелкой, считая результатом скалярного произведение отношение площади столбиков, покрытых thumbtack'ом любой формы, к площади одного столбика.
no subject
Date: 2014-08-31 08:52 pm (UTC)Нет, это только если стрелка перпендикулярна пачке. Представьте себе это все в обычном трехмерном пространстве, поставьте стрелку вначале перпендикулярно, а потом начните нагибать, чтобы она все более косо была относительно пачки. Количество листов, к-е она "успеет" пересечь, будет уменьшаться, и как раз как косинус угла между стрелкой и пачкой, как и полагается в обычном скалярном произведении.
В "резиновой вселенной" Вайнрайха меж тем невозможно говорить о "перпендикулярности" или "угле между", как он все время подчеркивает. Именно поэтому мне кажется столь удачной его метафора пачки и скалярного произведения стрелки с пачкой: она сохраняет это интуитивное понимание того, что от изменения направления стрелки (или пачки) меняется скалярное произведение, и делает это одновременно очень наглядно (просто считаем кол-во пересекаемых листов) и так, что идеально совпадает с привычным скалярным произведением, если мы действительно находимся в эвклидовом пространстве.
Но не зная заранее ответа мы никогда не поймем, единичный это thumbtack или мы просто не достигли нужного числа линий.
Честно говоря, мне эта проблема кажется надуманной. Ведь конкретная форма кнопки, как и конкретное расположение линий в пучке, не играют никакой роли, на самом деле важны лишь направление и площадь/плотность. Мы постулируем, что кнопка может быть любой формы, просто для удобства работы с ними, и нам вовсе необязательно загонять самих себя в угол, изобретательно придумывая извращенные формы. Если вас это так заботит, то давайте вы решите, скажем, что для того, чтобы вычислять скалярное произведение, кнопка всегда берется точно круглая (и эквивалентная данной по определению), а в пучке линии перестраиваются так, чтобы они с заданной плотностью равномерно располагались в пространстве.
no subject
Date: 2014-08-29 04:57 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-30 12:37 pm (UTC)no subject
Date: 2014-08-31 12:48 am (UTC)no subject
Date: 2014-09-06 06:17 pm (UTC)> А вот если составить скалярное произведение полярного и аксиального векторов, получается такая смешная штука, которую называют псевдоскаляр или аксиальный скаляр. Это число, у которого есть одно из двух направлений, но они не совпадают ни с плюсом, ни с минусом. Само число обязано быть положительным, потому что же это просто длина отрезка
Вообще-то, скалярное произведение — это не длина отрезка, а площадь параллелограмма.
Акс. векторы.
Date: 2016-12-14 07:20 pm (UTC)