вращение как два отражения

[avva]

Возьмем какое-то вращение плоскости вокруг одной точки - например, взяли и повернули всю плоскость вокруг точки O на 60° против часовой стрелки. Того же результата можно добиться, проведя одно за другим два отражения плоскости относительно двух прямых линий, проходящих сквозь ту же точку O. Это можно доказать разными способами, но самое простое и интуитивное геометрическое объяснение, которое мне пришло в голову, выглядит так.

Предположим, что мы хотим повернуть плоскость вокруг начала координат O на какой-то угол α против часовой стрелки. Но вместо того, чтобы повернуть плоскость, мы по ошибке взяли и отразили ее относительно какой-то прямой L1, например горизонтальной оси:



При таком отражении точка A, например, переходит в точку A', и наоборот. Легко видеть, что расстояние до точки O от такого отражения не меняется (OA = OA'). Однако при отражении, в отличие от вращения, разные точки перемещаются на разные углы. Мы хотим, чтобы каждая точка передвинулась на угол α против часовой стрелки, однако при отражении если точка X переходит в точку X', то угол между OX и OX' может быть самый разный. Например, если X лежит на прямой L1, относительно которой мы отражаем, то угол будет ноль градусов, потому что X=X', точка вообще не сдвинется.

Однако из этого рисунка видно, что есть точки, которым уже "повезло": те, которые лежат на луче под углом α/2 ниже горизонтальной прямой, как точка A. Точка A перешла ровно в ту точку A', куда ей нужно было попасть при вращении на угол α: отражение совместило два угла в α/2 и перенесло ее куда надо.

К сожалению, все точки, которые не лежат на этом луче, переходят куда-то в неправильные места:



Точка B лежит немного "раньше" точки A, если идти против часовой стрелки: скажем, на 5°. При вращении на угол α ей надлежит "недолететь" до точки A' на те же 5°, а вместо этого она "перелетает" на тот же угол и попадает в точку B'. Точка C, наоборот, должна "перелететь" точку A' на 5°, чтобы получилось вращение, а вместо этого отражение заставляет ее "недолететь" в точку C'.

То есть при отражении точка B переходит в B', а точка C в C'. А нам бы поменять местами их места назначения: мы бы хотели, чтобы B переходила в C', а C переходила в B', и тогда все правильно получается. Но значит, если мы сможем поменяем местами сами точки B и C, а потом сделаем отражение относительно L1, то добьемся цели! Сначала B перейдет в C, а потом отразится в C'; и тем же образом C вначале перейдет в B, а потом отразится в B'. Каждая точка окончит свой путь там, где нужно, чтобы получилось точно вращение на угол α. Как же нам поменять их местами? Но это просто: достаточно сделать первоначально отражение всей плоскости относительно прямой OA. Такое отражение как раз поменяет местами B и C (а точку A оставит на месте), после чего отражение относительно прямой L1 обеспечит ровно те "недолеты" и "перелеты", которые нам нужны, и каждая точка пропутешествует на угол α.

Мы никак не пользовались тем, что L1 именно горизонтальная прямая (кроме удобства иллюстрации). Если мы повернем сейчас весь рисунок относительно точки O, то отражение сначала относительно OA, а потом относительно L1 все равно будет давать вращение на угол α. Все, что нужно - это отразить сначала относительно одной прямой сквозь O, а потом относительно другой, составляющей с ней угол α/2 и идущей против часовой стрелки после нее. Если же отражать в обратном порядке, то, понятно, получится вращение на α по часовой стрелке, а не против.

Comments

[nechaman]

Хорошо

[spamsink]

Это красиво, и казалось бы, дает минимум простых операций, но на практике для поворота изображений пользуются тремя сдвигами.

[roma lee (from livejournal.com)]

Сложное какое-то объяснение. Пусть r2 --- образ луча r0 после заданного вращения. Первое отражение берем произвольно, и пусть r1 --- образ r0 после него. Тогда второе отражение нужно брать относительно биссектриссы r1 и r2. Что это поворот --- очевидно Например, можно отражение плоскости понимать как ее поворот в 3-мерном пр-ве и "раскрасить" для наглядности плоскость с разных сторон разными цветами. Что это нужный поворот --- тоже очевидно, т.к. r0 перешел в r2. Или я не понял, чего хочется?

[avva.livejournal.com]

Что не очевидно из ваших слов - это что "биссектриса r1 и r2" будет всегда один и тот же луч, независимо от выбора r0.

[roma lee (from livejournal.com)]

Ну, единственность второго отражения при фиксированном первом доказать тоже легко от противного. Пусть есть два разных отражения. Тогда ось первого не меняется при первом и меняется при втором --- вот и противоречие. Хотя не понятно, зачем это доказывать. Все равно, пара двух отражений --- не единственна.

[avva.livejournal.com]

Да не единственность, существование. Вы доказали, что можно взять фиксированную прямую L1, и для каждого луча r0 найдется прямая L2, так что отражение относительно L1 и L2 дает желанный луч r2. Вы не доказали, что прямая L2 окажется одной и той же для разных выборов луча r0, т.е. что L1 и L2 можно выбрать заранее. Во втором своем комментарии вы говорите, что если их можно выбрать заранее, то выбор L1 фиксирует выбор L2.

[roma lee (from livejournal.com)]

Что-то я не пойму. Вы не хотите пользоваться тем фактом, что любое движение (ru.wikipedia.org/wiki/Движение) на плоскости --- это поворот или отражение, а доказывать это?

[avva.livejournal.com]

(вы имеете в виду движение с фиксированной точкой, а не любое движение вообще, для любого движения возможны еще перенос и скользящее отражение)

Да, конечно, я не хочу этим пользоваться, для этого факта нужна линейная алгебра. Доказывать это я тоже не хочу. Я всего лишь хочу сделать геометрически интуитивным тот факт, что любое вращение есть композиция двух отражений. Если бы я стремился доказать этот факт как можно быстрее, я бы просто умножил две матрицы.

[roma lee (from livejournal.com)]

Да, конечно, с фиксированной точкой. Ну а что может быть интуитивнее вращения в трехмерном пространстве раскрашенной двумя цветами плоскости? Ну это вопрос риторический, на вкус и цвет...

[roma lee (from livejournal.com)]

Упс, ссылка неточная. Вот, конечно ru.wikipedia.org/wiki/Изометрия_(математика)

[timur0.livejournal.com]

проще доказать в обратном направлении: сначала доказываем, что композиция двух отражений есть поворот относительно точки пересечения осей на удвоенный угол между осями (берем произвольную точку плоскости и рассматриваем ее образы при последовательных отражениях); отсюда следует, что при любом выборе первой оси, проходящей через центр поворота, мы всегда можем выбрать вторую ось (проходит через центр и составляет с первой осью половинный угол), что композиция этих отражений будет нужным поворотом.

[xxxxx.livejournal.com]

э..... сегодня типа внеочередное первое апреля?

[avva.livejournal.com]

что не так?

[xxxxx.livejournal.com]

ну в свете того, что композиция двух симметрий с общей неподвижной точкой сохраняет ориентацию и, следовательно, ничем иным кроме как вращением вокруг этой самой несчастной неподвижной точки быть не может, я решил, что длинный текст с меткой "математика", массой обозначений и двумя рисунками является пародией на научную статью или чем-то в этом духе

[huzhepidarasa.livejournal.com]

"ничем иным кроме как вращением вокруг этой самой несчастной неподвижной точки быть не может"

вы это можете доказать с помощью резиновой утки?

[xxxxx.livejournal.com]

ага, могу: вызвав дух Николя Бурбаки и прибив его резиновую утку к столу гвоздём

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Резиновая утка Бурбаки — удачный термин, надо им что-нибудь назвать этакое.

[avva.livejournal.com]

Как-то вы очень неудачно в тот день комментировали.

Во-первых, я стремился проиллюстрировать док-во того, что любое вращение представимо в виде двух отражений, а не того, что любые два отражения дают вращение. Вы могли бы и заметить, что хотя оба утверждения верны, они не тождественны.

Во-вторых, если бы я хотел доказать, что любые два вращения дают отражение, самым простым и прямым путем, я бы перемножил две матрицы. То, что изометрия с неподвижной точкой, сохраняюшая ориентацию, обязана быть вращением - это верно, но это какой-то очень через задницу путь к этому совершенно элементарному результату.

В-третьих, ваш первый комментарий в этой ветке - очень хамский, чего я не ожидал.

[xxxxx.livejournal.com]

Ну что ж, не видать мне почётного звания Удачный Комментатор Того Дня как своих ушей, ничего не попишешь. Во-первых, я мало того, что мог заметить, но ещё и заметил, что это тот самый случай, когда из прямого утверждения тривиальным образом следует и обратное: разобравшись с композицией двух отражений мы немедленно видим, что так получаются ВСЕ вращения (например из соображения с двойным углом), но я решил, что вы это и так понимаете, поэтому незачем проговаривать. Во-вторых матрицы требуют какого-никакого математического образования, тогда как соображения геометрического характера совершенно --- кажется вы такое слово использовали --- интуитивны (как раз формализовать, что же такое ориентация, это не хрен собачий, но любой человек без образования скажет, что отлично понимает, когда одна сторона плоскости синяя, а другая скажем зелёная, два раза перевернули, всё вернулось обратно --- поэтому и принято считать всякие там ленты Мёбиуса чем-то таким необычайным и парадоксальным) и нифига не из задницы берутся, а из геометрии (отсюда и гвоздь, упомянутый мною в тот День Неудачных Комментариев). В-третьих я нисколько не хотел вас обидеть или обхамить, но зная вас как ответственного человека, не постящего пародий в неподходящие дни, я был просто шокирован, отсюда и первое апреля.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Все гораздо проще. Поворот точки x вокруг центра — это умножение на некоторое комплексное число, равное единице по модулю (есть у таких чисел короткое название? что-то не нахожу, пусть называются унитазрными числами), а отражение x относительно какой-то прямой — это опять-таки умножение на какое-то унитарное число, но уже числа, сопряженного x. Что будет, если мы возьмем сопряженное к сопряженному к x, умножая по дороге на унитарные числа? Ото ж.

Какие это должны быть числа, легко вычислить (упражнение для самостоятельной работы в уме).

[avva.livejournal.com]

Это все верно, но я не сказал бы, что это гораздо проще. Это требует алгебры и знания о комплексных числах и того, чтобы "умножение на компл. число модуля 1 = поворот" уже было усвоено и интуитивно.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Ну это типа шутка, насчет проще.

[eisenberg.livejournal.com]

Это ещё ладно.
И что поворот+параллельный перенос - это просто поворот, только вокруг какой-то другой точки, это тоже ладно.
А вот что два поворота вокруг разных осей в 3D - это один поворот, уже многим ломает мозг.

[xxxxx.livejournal.com]

а как это увидеть на пальцах, без всяких там богомерзких собственных чисел?

[eisenberg.livejournal.com]

Уже не знаю. Кватернионный формализм мне чужд, да он и не проще.
Ну, может, так: вот резиновая утка, её повернули так, а потом эдак. Ясно же, что её не отражали и не растягивали? Значит, даже не зная тех поворотов, мы можем как-то покрутить её в руках и совместить с начальным положением, а потом с конечным. Ну а теперь сделаем переход между ними плавным, насколько возможно. Э, да это у нас один поворот!

[xxxxx.livejournal.com]

ну нее..... так можно и про четырёхмерную утку сказать, а поди ж ты...

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Эйлер на пальцах доказал (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_rotation_theorem#Euler.27s_theorem_.281776.29).

[hyperpov.livejournal.com]

Возьмем глобус, отметим точку и касательный вектор в ней. Скажем, точка A и вектор u. Повернем глобус (любое число раз вокруг любых осей). Пусть наши точка и вектор перешли в B и v соответственно, причем A≠B. Проводим из A и B геодезические в направлении u и v соответстенно до пересечения. Пусть C - точка пересечения. Теперь будем вращать u и v одновременно вокруг соответствующих точек (и соответственно менять точку C), чтобы v оставалось образом u при нашем повороте. Время от времени будем иметь C=A, а время от времени C=B. Т.е. иногда BC>AC, а иногда AC>BC (имеются в виду длины дуг наших геодезических). Отсюда при удачном выборе вектора u мы получим AC=BC. Точка C - неподвижная.

[xgrbml.livejournal.com]

Поворот вокруг оси - композиция симметрий отн. двух плоскостей, проходящих через эту ось. При этом эту пару плоскостей можно поворачивать, как нам удобно. Представим теперь оба поворота таким образом, выбрав пары пл-стей так, чтобы вторая из плоскостей в первой паре содержала обе оси, и такой же была первая пл-сть во второй паре. При композиции симметрии отн. этой плоскости сократятся.

[avva.livejournal.com]

Как насчет более общего случая, когда оси вращений не пересекаются и не лежат в одной плоскости?

[xgrbml.livejournal.com]

Так в этом же случае композиция поворотов не обязательно будет поворотом.

[avva.livejournal.com]

Почему? Сначала я тоже так думал, а потом убедил себя, что будет: поворот в общем случае это поворот вокруг O плюс сдвиг, т.е. R1(x) = t1 + M1*x (M1 ортогональная матрица, t1 вектор переноса), R2(x) = t2 + M2*x, выходит, что поворот R1, а потом R2 - это поворот M2*M1 вокруг 0, а затем сдвиг на t2+M2*t1. Что не так?

[xgrbml.livejournal.com]

А, так мы по-разному понимаем слово поворот :)

Для меня поворот - это буквально поворот вокруг оси, без всяких сдвигов.
А так конечно, композиция нетождественных поворотов вокруг скрещивающихся (skew) осей - это композиция поворота и сдвига (translation, а то сдвиг тоже слово двусмысленное) вдоль оси поворота.

Но вот как это доказать простым элемнетарным рассуждением, я уже не знаю.

[avva.livejournal.com]

Для меня тоже поворот - это буквально поворот вокруг оси!

Но теперь я, кажется, понял, в чем была моя ошибка.

Рассмотрим поворот вокруг какой-то оси l, не проходящей вообще говоря через O. Только поворот, без всяких сдвигов.

Его можно представить вместо этого как поворот вокруг оси l', проходящей через O, а затем сдвиг на какой-то вектор t'. Это легко видеть, рассмотрев картину в плоскости, содержащей O и перпендикулярной l, где это превращается в поворот вокруг точки + сдвиг.

То, что я не понимал - это что мы таким образом получаем не произвольную трансформацию вида "поворот вокруг оси, содержащей O + сдвиг", а только такую, в которой вектор сдвига перпендикулярен l, или говоря проще нет "сдвига вдоль оси поворота", а только вбок.

Если же мы теперь проведем два таких вращения оно за другим, вокруг осей l и m, то - глядя на эти их представления - получим в итоге поворот вокруг какой-то оси r', проходящей через О, плюс сдвиг на какой-то вектор s'. Но эту трансформацию мы не можем, вообще говоря, "развернуть" обратно в чистый поворот вокруг какой-то оси r в пространстве, без сдвига, именно потому что вектор s' необязательно перпендикулярен r'. Мы можем разбить s' на два вектора: "вбок от оси поворота" и "вдоль оси поворота", и превратить поворот плюс сдвиг вбок от оси поворота в чистый поворот вокруг какой-то оси, не проходящей через O. Но у нас останется в общем случае дополнительный сдвиг вдоль оси.

Спасибо, я распутался :)

[xxxxx.livejournal.com]

это наверное как-то можно увидеть по размерности этого... забыл учёное слово какого именно пространства (ну где движения это элементы, "фазовое", "конфигурационное"... что-то другое)

[xxxxx.livejournal.com]

о! лучше чем у Эйлера

[xgrbml.livejournal.com]

Как выразился один мой коллега, "стоя на плечах гиганта, нетрудно его переплюнуть".

[xxxxx.livejournal.com]

ну да, мы ж эту всю фигню на первом курсе проходили :)

[avva.livejournal.com]

Убедите себя в начале, что два поворота в плоскости вокруг двух разных точек дают в результате поворот вокруг третьей точки (кроме патологического случая, когда они дают перенос). В этом можно убедиться, представив каждый поворота как два отражения, и выбрав оси 4-х отображений так, чтобы второе и третье были одинаковыми и отменяли друг друга.

Натяните эту плоскость на сферу. Там то же самое, только даже патологического случая нет. Значит, поворот вокруг двух разных осей, проходящих сквозь начало координат, дает поворот вокруг третьей оси (смотрим на то, что происходит с точками на любом фиксированном расстоянии от начала координат, как раз и получаем вышеописанное на сфере).

А как интуитивно увидеть, если оси не пересекаются, я не знаю.

[xxxxx.livejournal.com]

на словах "натяните плоскость на сферу" мой моск лопнул, но xgrbml выше объяснил

(про "оси не пересекаются" --- видимо мы о разных задачах, я имел в виду утверждение "любой элемент SO(3) является поворотом [вокруг своего собственного вектора]")

[cousin-it.livejournal.com]

Легче объяснить в радиальных координатах. При отражении относительно прямой, направленной под углом $\alpha$, точка с угловой координатой $\phi$ перейдет в $2\alpha-\phi$. При втором отражении получится $2\beta-(2\alpha-\phi)$, т.е. $2(\beta-\alpha)+\phi$. Сразу видно, что это вращение на удвоенный угол между прямыми.

[avva.livejournal.com]

Да, но я хотел это увидеть, а не только посчитать. Мне лично формула $2\alpha-\phi$ ничего интуитивного не говорит, т.е. это уже уход в алгебру.

[cousin-it.livejournal.com]

Можно попробовать так. Представьте себе любой треугольник AOB. Пусть точка A' симметрична точке A относительно OB, а точка B' симметрична точке B относительно OA. Тогда при отражении относительно прямой OA треугольник AOB' "перевернется" и перейдет в AOB, который при отражении относительно прямой OB снова "перевернется" и перейдет в A'OB. В итоге получилось, что весь треугольник повернулся на удвоенный угол AOB. Так нагляднее?

[avva.livejournal.com]

да, это похоже на док-во utnapishti ниже. Но в итоге вы всего лишь повернули треугольник; заключить из этого, что та же трансформация поворачивает всю плоскость, легко, но это еще один шаг. Мне в моем док-ве нравится, что оно сразу проясняет для всех точек плоскости, что они идут куда надо (каждая из них либо "недолетает", либо "перелетает" относительно "правильной" прямой OA, которая переходит куда надо, и предварительное отражение относительно OA исправляет все эти перелеты и недолеты).

[utnapishti.livejournal.com]

Не кажется ли тебе проще такое рассуждение.
Возьмём какой-нибудь отрезок AB (так чтобы треугольник ABO был невырожденным) и его образ (относительно данного вращения вокруг точки О) A'B'.
Посмотрим на прямую La, серединный перпендикуляр отрезка AA'. |OA|=|OA'|, поэтому La проходит через О.
Отражаем плоскость относительно La. Точка А попадает куда надо (в А'), а точка B - в какую-то точку B*.
Посмотрим на прямую Lb, серединный перпендикуляр отрезка B*B'. |OB|=|OB*|, поэтому Lb проходит через О. |A'B'|=|A'B*|, поэтому Lb проходит через A'.
Отражаем плоскость относительно Lb. Точка А' остаётся на месте, а B* попадает в B'.
Треугольник ABO прокрутился, как было задано - значит, вся плоскость прокрутилась.

(Впрочем, кажется, я процитировал стандартное доказательство...)

[avva.livejournal.com]

А как ты аргументируешь последний шаг (треугольнок прокрутился - значит, вся плоскость прокрутилась)? Я правильно понимаю, что это требует апелляции к отдельной теореме - что расстояние до трех точек в общей позиции фиксирует точку на плоскости?

Если так, то мне в моем док-ве нравится, что это не нужно :) и от этого оно кажется проще твоего. Мне сразу понятно, глядя на вторую картинку в моей записи, почему точки в разных местах "недолетают" или "перелетают" относительно их места назначения, и как предварительное отражение все это "фиксит".

Еще одно педагогическое соображение против использования треугольника ABO: с самого начала понятно, что и отражения, и повороты не меняют расстояния до O, поэтому, как бы это сказать, вся драма разыгрывается на окружности произвольного радиуса вокруг O. Необходимо и достаточно показать, что на такой окружности все точки правильно переходят, куда надо. Использовать для этого треугольник в общей позиции и аргумент о расстоянии до его вершин точек на всей плоскости сразу кажется несколько overkill.

[lightjedi.livejournal.com]

Тогда уж действительно проще сразу нарисовать окружность и два диаметра, из которых один будет горизонтальным, а второй под углом Х к нему. Тогда точка на окружности на угле А сначала станет точкой с углом 360-А, а потом 360-(360-А-X-X) = А+2Х, то есть повернется на 2Х. Последнее равенство можно дополнительно иллюстрировать поворотом всей конструкции на Х, чтобы второй диаметр тоже стал горизонтален.

[utnapishti.livejournal.com]

ОК, прежде всего, я согласен, что достаточно проверить всё на одной окружности.
Тогда я модифицирую "моё" доказательство: выбираю точки А и В на одном расстоянии от О: |ОА|=|ОВ|.
После этого моё доказательство практически не отличается от твоего. Чтобы окончательно поставить точку, можно посчитать углы.
Но вот какая странность возникает: не очень понятно, за счёт чего устранилась твоя претензия с "апелляцией к отдельной теореме". Мы как будто рассмотрели более ограниченный случай - а доказательство кажется более обоснованным.
Наверное, дело в том, что твоё доказательство в некотором смысле не чисто геометрическое: оно пользуется сложением углов, т.е. уже какой-никакой алгеброй. По той же причине я не назвал бы его интуитивным: в нём присутствуэт очень простой, но всё-таки рассчёт.
Моё же доказательство - как мне кажется - по-своему геометричнее и интуитивнее: "очевидно", что если у нас есть отрезки АВ и А'В' однинаковой длины, и мы хотим перетащить АВ на А'В', то есть единственный способ сделать это, не деформируя (и не переворачивая) плоскость. Но да, для полного обоснования тут нужно потрудиться больше.

[kogan.livejournal.com]

Есть программистская задача, решение которой основано на этом факте: переставить две неравные части одномерного массива, не используя дополнительных массивов.