о тривиальном
Jan. 11th, 2015 02:33 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avva(математическое)
Когда я пытаюсь понять какой-то математический материал, мне часто помогает прием, который можно назвать "подробный разбор тривиального примера".
Скажем, когда я старался уложить в голове ковариантные и контравариантные векторы, математический и физический взгляд на них, я подробно разобрал тривиальный пример в одном измерении, чтобы увидеть, что в какую сторону и как изменяется при смене базиса (даже написал об этом запись как-то).
Если бы я преподавал мат. анализ студентам, то наверное попросил бы их проработать правило сложной функции (chain rule) на тривиальном примере, что-то вроде g(x) = (3x)^2 в точке x=4. Преимущество тривиального примера в том, что можно параллельно просто раскрыть скобки, взять производную напрямую, и проверить, что результат сходится. Это сразу дает обратную связь изучающему: правильно ли понял все формулы и как их применять; если сошлось, то приятно, если не сошлось, то отлично, важная информация, вскрылось ключевое непонимание чего-то. Сравните это со статьей в википедии, где предлагается разбор примера g(x) = (3x^2-5x)^7.
Третий пример: сейчас я читаю учебник дифференциальной геометрии и разбираюсь в дифференциальных формах, внешних производных, теореме Стокса на многообразиях итд. Чтобы проверить, что я хорошо понимаю определение касательного пространства, 1-формы на нем, интеграла от n-формы итд., я проверяю себя на тривиальном примере - многообразии R^2, у которого в точке (0,0) я рассматриваю две карты в атласе: скажем, (x,y)->(2x,3y) и еще одна в таком же духе, но с другими коэффициентами. Это достаточно для того, чтобы сделать дифференциалы нетривиальными и показать мне, как меняются, скажем, компоненты дифференциальных форм или базисные векторы касательного пространства при переходе от карты к карте. Когда в учебнике написано, что интегрируют n-формы, а не гладкие функции на многообразии, потому что иначе интеграл менялся бы в зависимости от выбранной карты, я могу это сразу наглядно проверить в моем тривиальном примере, и это укрепляет понимание в голове.
Если бы я писал математические учебники, то постоянно бы в них использовал разборы тривиальных примеров. Меж тем, в тех учебниках, что я читал, мне такие разборы почти никогда не попадались, причем даже в учебниках, которые особенно хорошо с моей точки зрения объясняют какую-то тему. Можно придумать несколько объяснений их отсутствия:
1. Большинство читателей хорошо понимают материал и так, этот прием им просто не нужен.
2. У меня нетипично устроены мозги в том смысле, что подробный разбор тривиального примера помогает мне что-то понять, но большинству читателей он будет только мешать и раздражать своей тривиальностью.
3. Авторы книг не видят нужды в таком разборе, потому что недооценивают, насколько тяжело читателю привыкнуть и освоиться с новыми для него понятиями. Или им жаль тратить место в книге на подробный разбор тривиальностей и они предпочитают демонстрировать новые понятия и техники на чем-то более серьезном и нетривиальном.
Когда я пытаюсь понять какой-то математический материал, мне часто помогает прием, который можно назвать "подробный разбор тривиального примера".
Скажем, когда я старался уложить в голове ковариантные и контравариантные векторы, математический и физический взгляд на них, я подробно разобрал тривиальный пример в одном измерении, чтобы увидеть, что в какую сторону и как изменяется при смене базиса (даже написал об этом запись как-то).
Если бы я преподавал мат. анализ студентам, то наверное попросил бы их проработать правило сложной функции (chain rule) на тривиальном примере, что-то вроде g(x) = (3x)^2 в точке x=4. Преимущество тривиального примера в том, что можно параллельно просто раскрыть скобки, взять производную напрямую, и проверить, что результат сходится. Это сразу дает обратную связь изучающему: правильно ли понял все формулы и как их применять; если сошлось, то приятно, если не сошлось, то отлично, важная информация, вскрылось ключевое непонимание чего-то. Сравните это со статьей в википедии, где предлагается разбор примера g(x) = (3x^2-5x)^7.
Третий пример: сейчас я читаю учебник дифференциальной геометрии и разбираюсь в дифференциальных формах, внешних производных, теореме Стокса на многообразиях итд. Чтобы проверить, что я хорошо понимаю определение касательного пространства, 1-формы на нем, интеграла от n-формы итд., я проверяю себя на тривиальном примере - многообразии R^2, у которого в точке (0,0) я рассматриваю две карты в атласе: скажем, (x,y)->(2x,3y) и еще одна в таком же духе, но с другими коэффициентами. Это достаточно для того, чтобы сделать дифференциалы нетривиальными и показать мне, как меняются, скажем, компоненты дифференциальных форм или базисные векторы касательного пространства при переходе от карты к карте. Когда в учебнике написано, что интегрируют n-формы, а не гладкие функции на многообразии, потому что иначе интеграл менялся бы в зависимости от выбранной карты, я могу это сразу наглядно проверить в моем тривиальном примере, и это укрепляет понимание в голове.
Если бы я писал математические учебники, то постоянно бы в них использовал разборы тривиальных примеров. Меж тем, в тех учебниках, что я читал, мне такие разборы почти никогда не попадались, причем даже в учебниках, которые особенно хорошо с моей точки зрения объясняют какую-то тему. Можно придумать несколько объяснений их отсутствия:
1. Большинство читателей хорошо понимают материал и так, этот прием им просто не нужен.
2. У меня нетипично устроены мозги в том смысле, что подробный разбор тривиального примера помогает мне что-то понять, но большинству читателей он будет только мешать и раздражать своей тривиальностью.
3. Авторы книг не видят нужды в таком разборе, потому что недооценивают, насколько тяжело читателю привыкнуть и освоиться с новыми для него понятиями. Или им жаль тратить место в книге на подробный разбор тривиальностей и они предпочитают демонстрировать новые понятия и техники на чем-то более серьезном и нетривиальном.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-01-11 12:43 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 12:43 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:23 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-12 02:37 am (UTC)no subject
Date: 2015-01-12 06:11 am (UTC)краткий курс и ПССдайджест и детализированная спецификация.Возможно, что параллельное чтение 2 книг на одну тему (общий и подробный курсы) позволит добиться похожего результата с "ручной" интерактивностью.
P.S. Кстати, учебник матанализа Фихтенгольца написан с той же идеей "ступенчатой детализации", нет?
no subject
Date: 2015-01-12 08:42 pm (UTC)Еще в версте есть вариант "талмудический" - где в центре страницы крупным шрифтом идет текст, а обрамляют его 2 или три рамки комментариев, каждая последующая шрифтом помельче.
no subject
Date: 2015-01-11 12:51 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:26 pm (UTC)no subject
Date: 2015-02-04 11:12 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 12:52 pm (UTC)Есть четвертый вариант, авторы боятся писать примеры "понятные каждому дураку".
Есть иррациональное опасение, что это принижает важность предмета их деятельности.
no subject
Date: 2015-01-11 12:55 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 12:56 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 01:08 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 12:56 pm (UTC)Для понимания нового материала примеры непременно необходимы. Вопрос в том, будет ли данный конкретный пример иллюстративный для данного конкретного ученика.
no subject
Date: 2015-01-11 01:00 pm (UTC)Есть учебник комплексного анализа, в котором почти всё объясняется визуально и на тривиальных (насколько возможно) примерах: Tristan Needham. Visual Complex Analysis. (Эту книгу легко найти в интернете.) (Мне сейчас желательно хоть слегка разобраться в основных результатах комплексного анализа; думаю, что эта книга - мой единственный шанс.)
По поводу твоего вопроса - я тоже его себе задавал, и мне кажется, что ответ скорее 3.
А к тому, почему при смене координат умножают не на матрицу перехода, а на обратную, у меня был ещё более тривиальный (но в некотором смысле и более общий, т. к. это даже не "линейный оператор") одномерный пример: двигаем линейку на 1 направо; логично описать преобразование как +1; тем не менее, координаты векторов меняются на -1.
no subject
Date: 2015-01-11 01:00 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 01:06 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:50 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 01:07 pm (UTC)Надо бы учебники делать в нескольких редакциях, в зависимости от типа мышления и (базового) уровня знаний.
И в заданиях на повторения материала указывать на степень сложности, как у Кнута.
no subject
Date: 2015-01-11 01:30 pm (UTC)http://msdn.microsoft.com/en-us/library/gg328029.aspx
Чтобы объяснить, как взаимодействовать с MS CRM через API, написана простыня кода со всеми возможными проверками и обработками исключений.
За этой многословностью с первого раза тяжело понять, а что собственно хотел сказать автор :)
no subject
Date: 2015-01-11 02:02 pm (UTC)но я не знаю как у других. я мыслю довольно образно-интуитивно.
no subject
Date: 2015-01-11 02:14 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 02:18 pm (UTC)Авторы книг по IT-технологиям вообще и программированию в частности часто впадают в другую крайность - излагают простейший из возможных вариантов применения технологии, оставляя читателю разбираться с остальным самостоятельно.
no subject
Date: 2015-01-11 02:42 pm (UTC)Т.е. вариант 4: есть разные учебники, неравноценные по качеству.
Но вообще-то этот дуализм ко/контра не так прост, как может показаться при разборе конкретики. Он всплывает в том или ином виде в самых разных разделах математики\физики, за ним скрываются весьма глубокие нетривиальные вещи.
И чем глубже рассмотрение, тем труднее подобрать простые, но содержательные примеры.
no subject
Date: 2015-01-11 02:45 pm (UTC)б) Одному подходит один пример, другому другой. Одному без примера очевидно одно место, другому другое. Самые ужасные методические пособия появляются у педагогов, пытающихся свои собственные удобные им примеры распространить на всех детей.
в) Мат. учебник практически невозможно читать без какого-то уровня мат. культуры, понимания как вообще их читать. (попробовать доказывать, усилять-ослаблять условия, вертеть примеры). Придумывать самому себе удобные примеры для понимания это наверное часть такой культуры.
г) Без решения задачек далеко не уйдешь. А задачки очень быстро и автоматически приводят к необходимости разбирать тривиальные примеры.
no subject
Date: 2015-01-11 03:30 pm (UTC)А в случае с "цепным правилом", наоборот, разобраться, что происходит при суперпозиции сначала линейных функций с общей неподвижной точкой x->ax и y->by, потом - общих аффинных (чтоб понять, в каких точках надо брать производные), а уж потом - что должно быть совершенно очевидным к этому моменту, - производных гладких функций.
В этом направлении можно и должно двигаться дальше. Скажем, доказательства/разбор сложных теорем надо проводить в той простейшей ситуации, когда метод доказательства работает. При этом запросто может оказаться, что в такой простейшей ситуации утверждение элементарно доказывается какими-то другими способами, - не надо этого стесняться, надо сначала научиться плавать в воде по грудь, где можно ходить, - а уж потом двигать на глубину.
Но учиться плавать там, где вода по колено (или по пояс) - неправильно, и создаёт искусственные трудности (ногами об дно бьёшься).
no subject
Date: 2015-01-11 06:13 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:15 pm (UTC)Свойство многих публичных бассейнов, включая наши университетские :(
no subject
Date: 2015-01-11 07:56 pm (UTC)Я не уверен, что правильно понимаю это - можно пример-два такой "простейшей ситуации, когда метод док-ва работает"?
no subject
Date: 2015-01-11 08:19 pm (UTC)Арнольд в своё время разбирал случай полинома p(x)=x^2 при помощи деформаций: заменим p(x) на p(x)-\epsilon. Алгебра функций на двух точках плюс-минус-корень-из-эпсилон порождена двумя функциями, которые можно выбрать двумя способами.
Первый - дельтаобразный, - выбираем две функции, которые в корнях плюс-минус-корень-из-эпсилон равны 1 и 0 (в зависимости от выбора корня), У таких функций нет естественного предела при эпсилон -> 0.
Второй вариант ("правильный"), - выбрать функции f_1(x)=1, f_2(x)=x, не зависящие от эпсилон вовсе. Они-то и породят фактор-алгебру.
no subject
Date: 2015-01-12 01:00 pm (UTC)именно, как завещал великий Гельфанд
no subject
Date: 2015-01-11 04:24 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 04:59 pm (UTC)А я Выгодского сейчас кусаю.
no subject
Date: 2015-01-11 06:10 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:31 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 08:00 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 06:43 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 07:53 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-11 10:11 pm (UTC)Что до учебников, мне кажется, подробный разбор подобного рода более громоздок, чем цель того заслуживает, и работать будет не для всех. То есть у каждого свой набор таких "ползунков". Тут весь смысл, чтоб самому в голове покрутить и попробовать диапазон возможностей, текст с объяснением так не работает. Хотя в комментарии выше указывали, что можно сделать "сворачивающиеся" примеры и разборы для желающих в электронных версиях, там точно можно дать более разнообразный материал. Или просто в тексте предложить читателю проверить применимость теоремы для такого-то тривиального случая.
no subject
Date: 2015-01-12 03:53 am (UTC)no subject
Date: 2015-01-12 05:57 am (UTC)no subject
Date: 2015-01-12 01:20 pm (UTC)no subject
Date: 2015-01-12 09:05 am (UTC)no subject
Date: 2015-01-13 09:43 pm (UTC)а как это выглядит в двумерном случае?
Date: 2015-01-14 02:48 am (UTC)рекомендую "конечномерный анализ" любича и глазмана, он создан на основе музыкальной школы людвига шпора а сам израиль маркович глазман был знаменит своим вопросом "а как это выглядит в двумерном случае?"
ваш жидобандеровец игорь.