треугольники и архимеды

[avva]

Шкробиус рассказывает об элементарной геометрической задаче, которую его коллега предлагал кандидатам-постдокам (физикам). В двух частях: Сортировочная шляпа и Дело в шляпе.

Задача такая: "Есть треугольник, вырезанный из жести, его поставили плашмя на иглу. На какую точку его надо поставить, чтобы тот не свалился с иглы?"

То есть суть в том, чтобы найти центр тяжести треугольника. Если кандидат помнит из школьной программы математики, что это пересечение медиан, то все равно нужно объяснить почему. Некоторые объяснения удивительным образом коррелируют с тем, хороший это будет химик или нет (согласно Шкробиусу). Подробности см. по ссылкам у него.

Там в комментариях есть немало флейма и споров о том, хороший это критерий или нет. Но мне интересней поговорить о самой задаче. Точнее, о двух поучительных моментах, связанных с ней.

Во-первых, об очень логичном, но неверном решении. Когда я прочитал задачу, я не помнил правильный ответ, поэтому сел в сторонке и попробовал решить, уставившись в пространство. И минуты за 3 нашел правильный ответ, так что ощутил по этому поводу заслуженную гордость. Я рассуждал примерно так: в треугольнике ABC возьмем например сторону AB и будем "заметать" ей треугольник, вертя вокруг точки A.



В какой-то момент, вращая ее, мы дойдем до отрезка AM, который делит ABC пополам: слева и справа от него одинаковая площадь. Какая это будет точка? Вспомним, что площадь треугольника это "половина произведения основания на высоту, опущенную на него". У половинок ABM и ACM высота одинаковая: AE. А основания у них соответственно BM и CM, значит, чтобы площади были равны, точка M должна делить BC пополам, а AM это медиана. Раз слева и справа от AM одинаковая площадь, центр тяжести должен лежать где-то на AM. Поскольку мы можем повторить тот же аргумент с другими медианами, центр тяжести должен лежать на пересечении медиан.

Увы, моя гордость была преждевременной, потому что хотя ответ и правильный, решение ошибочно, и тем хуже, что я сам этого не увидел, а прочитал в комментариях по ссылкам. Если вам кажется, что решение правильное, подумайте немного перед тем, как читать дальше. Это довольно любопытный момент, потому что такое решение приходит в голову очень многим. Вчера я задал эту задачу примерно десятку коллег на работе и все они в той или иной форме пришли именно к нему: центр тяжести лежит на медиане, потому что площадь (и, следовательно, вес) с двух ее сторон одинаковы.

Почему же этот аргумент неверен? Потому что равновесие зависит не только от веса с двух сторон оси, как мы сразу поймем, если вспомним, как работает рычаг. Оно зависит также от расстояния до оси. Сравнивая площади, мы сравниваем вес, а нам нужно сравнивать "вес умножить на расстояние", или, говоря физическим языком, "момент силы". В случае медианы так получается, что действительно моменты силы с двух сторон равны, и центр тяжести лежит на медиане, но этого нельзя заключить из того, что "площади равны". Можно легко найти прямую, которая делит треугольник на две равные по площади части, но центр тяжести не лежит на ней:



На этой диаграмме центр тяжести (пересечение медиан) - точка G, а прямая, параллельная BC и проходящая сквозь точку Q, отрезает ровно половину площади треугольника. Удивительно, но факт.

Как же тогда доказать, что центр тяжести обязан лежать на медиане? Стандартное доказательство - с помощью "полосок". Проведем медиану из вершины A к стороне BC, а потом разделим в уме весь треугольник на очень большое число очень тонких полосок, параллельных стороне BC:



Если каждая полоска настолько тонкая, что можно думать о ней, как о линии, то медиана пересекает ее точно в середине, и значит, центр тяжести всех точек треугольника, лежащих на этой полоске, находится в ее середине - на медиане. Просто возьмем отдельно центры тяжести всех полосок - это точки на медиане - а потом центр тяжести этих точек вместе; неизвестно точно где он будет, но что где-то на медиане - несомненно, раз это центр точек, которые все находятся на этой прямой.

В этом доказательстве важно не столько то, что слева и справа от медианы каждая полоска уравновешивается, а скорее то, что центр тяжести каждой полоски попадает именно на медиану.

Обратите внимание, что хоть интуитивное описание этого решения просто, его строгая запись требует знания математического анализа. Все эти "достаточно тонкие полоски" скрывают в себе понятия бесконечных сумм и пределов, потому что ведь на самом деле если полоска имеет хоть какую-то даже очень малую толщину, то ее центр тяжести будет не совсем на медиане, а где-то рядом (это неверно, как заметили в комментариях, но необходимость в понятиях бесконечной суммы и предела все же остается). До 17 века, до того, как Ньютон и Лейбниц изобрели анализ бесконечно малых, это доказательство было бы трудно придумать или понять (я не скажу "невозможно", но трудно).

Другое доказательство, которое предлагают в комментариях у Шкробиуса (см. эту ветку), не пользуется бесконечными суммами, но тоже не является чисто геометрическим: оно использует барицентрические координаты. Его никто не мог придумать и понять до того, как Декарт в том же 17-м веке придумал метод координат.

Однако тот факт, что центр тяжести треугольника лежит в пересечении медиан, был известен древним грекам и римлянам. Собственно, первое доказательство этого приписывают Архимеду, и оно появляется в его книге "О равновесии плоских фигур". Как же он нашел центр тяжести треугольника?

В книге Архимеда приводится два разных доказательства того, что центр тяжести лежит на медиане. Я объясню вкратце второе из них, более элегантное на мой вкус.



В треугольнике ABC отметим середины сторон точками D,E,F, и соединим их друг с другом. Это делит треугольник на 4 вложенных подобных треугольника, но мы на самом деле посмотрим на это так: есть два треугольника BDF и FEC, подобных исходному (со сторонами в два раза меньше) и параллелограмм ADFE; вместе эти два треугольника и параллелограмм занимают всю площадь ABC.

Проведем медиану AF, и теперь пусть точка P будет центром тяжести всего треугольника; мы хотим доказать, что она лежит на AF, но для наглядности я ее расположил в другом месте. В треугольниках BDF и FEC, которые подобны исходному, обозначим центры тяжести R и S. Они находятся "в том же месте" относительно вершин маленьких треугольников, что и P относительно вершин большого (вся картинка масштабируется, становясь в два раза меньше; то, что центр тяжести масштабируется так же, как и весь треугольник, принимается за интуитивно очевидное). Это значит, в частности, что угол RBF такой же, как угол PBC, т.е. на самом деле точка R лежит на прямой BP, а точка S - на прямой CP (см. диаграмму). Поскольку при переходе от маленького треугольника к большому все увеличивается в два раза, BR это половина BP, т.е. точка R делит отрезок BP пополам, и так же S делит CP пополам.

Из этого следует, что треугольник PRS подобен треугольнику PBC - все стороны тоже в два раза меньше. А значит, медиана PT в меньшем треугольнике и медиана PF в большем - один и тот же луч, то есть точка T, середина отрезка RS, находится на прямой PF.

Эта точка T является на самом деле центром тяжести двух маленьких треугольников вместе - потому что R и S это центры тяжести по отдельности и площади одинаковы. А центр тяжести параллелограмма - пересечение его диагоналей - это точка Q, которая лежит на медиане AF. Совмещая это вместе, получаем, что центр тяжести всего треугольника ABC должен лежать на прямой между Q, центром тяжести параллелограмма, и T, центром тяжести двух треугольников. То есть наша точка P должна лежать на пунктирном отрезке QT (на диаграмме это не так, потому что я специально ее неверно выбрал).

Теперь мы можем наконец подытожить. Мы знаем, что P,T,F лежат на одной прямой (абзац перед предыдущим). Мы знаем, что Q,P,T лежат на одной прямой (предыдущий абзац). Значит, все эти точки Q,P,T,F лежат на одной прямой. Но QF - это часть медианы AF, значит, P лежит на медиане AF, что и требовалось доказать.

И это собственно и есть тот второй поучительный момент, который я хотел обсудить - то, насколько это доказательство, хоть и красивое и изобретательное, сложнее и запутаннее доказательства с "полосками". Задача о центре тяжести треугольника - хорошая иллюстрация того, какой переворот в геометрии произошел ввиду изобретения координатного метода и математического анализа. Огромное количество теорем и утверждений, которые доказывались с помощью сложных построений и изобретательных аргументов, стали решаться "в лоб" простым переводом в координаты или не "в лоб", но все равно простыми рассуждениями, использующими пределы, бесконечные суммы, интегралы. Знакомство со "старыми" сложными геометрическими доказательствами помогает понять и оценить величину и значение этого переворота.

Comments

[francis-drake.livejournal.com]

> два треугольника ADF и CEF, подобных исходному (со сторонами в два раза меньше) и параллелограмм ADFE;

Только треугольник BDF. И дальше по тексту соответственно.

[avva.livejournal.com]

Да, спасибо, сейчас везде исправлю.

[leonov.livejournal.com]

С учетом того, что именно Архимед активно использовал в своем методе бесконечно малые, есть шанс, что на решение этой задачи он вышел именно через них, ну а потом уже передоказал с использованием общепринятых методов.

[buddha239.livejournal.com]

Якобы он каждый раз изобретал новый велосипед - а, значит, вряд ли владел достаточно общим методом.

[gdt.livejournal.com]

это уже вопрос о единственности центра тяжести.

[buddha239.livejournal.com]

Забавно - только сегодня упоминалась эта или похожая задача. Во всяком случае - эту я решил.

И решение - гораздо естественнее. Для равностороннего треугольника искомый центр масс - в центре (= точка пересечения медиан) из банальных соображений симметрии. Теперь заметим, что аффинные преобразования "уважают жестяные центры масс":), так как умножают площади (пропорциональные "массе жести") на константу, а вектора преобразуют линейны. Представив произвольный треугольник как аффинный образ правильного; его "жестяной центр" будет образом "жестяного центра" правильного, а значит - точкой пересечения медиан.

[avva.livejournal.com]

Да, это то решение, которое Шкробиус хочет от "правильного" кандидата. Но оно тоже требует как знания координат, так и анализа, потому что ведь то, что аффинное преобразование сохраняет центр тяжести, следует из того, что центр тяжести является интегралом по всем точкам фигуры.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

По определению центра массы как среднее всех векторов во все точки объекта, центр масс не меняется от афинных преобразований.

Так же при афинных преобразованиях медианы остаются медианами (так как отношения длин на прямых не меняются).

Значит, при преобразованиях центра тяжести равностороннего треугольника он должен остаться на пересечении медиан.

[kum-tykva.livejournal.com]

Это все же немножко жухальский способ, ИМХО, поздней пушкой по ранним воробьям. Ну, в смысле -- центр масс еще гревние дреки понимали-обнюхивали, а аффинные преобразования чуть не вчера люди осознали -- какой-нибудь восемнадцатый, а то и девятнадцатый, чего доброго, век... Ну, или там, для школьников если -- первое и пятиклассникам доступно, для второго хотя бы восьмиклассники нужны.

[amarao-san.livejournal.com]

А кто-то это irl проверял?

[kum-tykva.livejournal.com]

Странно, мне казалось, что Архимед прекрасно себе "умел интегрировать" -- во всяком случае(ну, если не путаю, но по-моему не путаю), про шар-конус-цилиндр он выводил именно рассматривая шайбы. Тогда кто ему мешал и треугольник на полоски располосовать?

[papa-lyosha.livejournal.com]

Когда мы интегрируем, то есть находим площадь или объем, то можно воспользоваться тем фактом, что площадь монотоно зависит от фигуры. Например, в случае треугольника мы могли бы разрезать его на полоски (каждая из которых трапеция). Потом сначала рассмотреть прямоугольные полоски, которые чуть меньше, чем трапеции, и посчитать площадь этих полосок. Она будет чуть меньше, чем искомая площадь. Потом рассмотреть полоски с избытком - получим чуть большую площадь. Потом легко доказать, что разбив на достаточно много полосок, мы можем эти две площади сделать сколь угодно близкими. Этот метод называется методом исчерпывания. Для треугольников, он конечно не нужен, но с его помощью Архимед искал площади и объемы других фигур. Этот метод, кстати был известен еще до Архимеда. Его использовали Евдокс и Евклид. Хотя имено Архимед был наибольшим мастером по использованию этого метода.
Для центра тяжести так просто не получится - не верно, что если мы чуть уменьшим фигуру и чуть увеличим фигуру, то цент тяжести исходной фигуры, будет лежать где-то между центрами тяжести фигуры поменьше и фигуры побольше. Поэтому Архимед был вынужден придумывать всякие остроумные способы для доказательства теорем о центрах тяжести. То что цент тяжести можно найдти интегрированием - совершенно не очевидно. Так например, чтобы найдти цент тяжести объемной фигуры, надо интегрировать координату по объему, то есть фактически искать четырехмерный объем! Для древних греков это была бессмыслица.
Впрочем в "Послании к Эратосфену о методе” (обнаруженном в 1906 году) Архимед описывает более продвинутый метод, который потом и стал основой интегрального исчисления. Но к этому методу Архимед относился лишь как к эвристическому, но считал его ненадежным, и для формальных доказательств использовал методы исчерпывания или другие геометрические методы.

[posic.livejournal.com]

"потому что ведь на самом деле если полоска имеет хоть какую-то даже очень малую толщину, то ее центр тяжести будет не совсем на медиане, а где-то рядом."

На самом деле центр тяжести полоски ( = прямолинейной трапеции) находится в точности на медиане. Это можно установить, например... разрезав ее на тонкие горизонтальные полоски.

Это, конечно, не устраняет проблемы с логикой рассуждения с полосками, основанной на том, что тонкая полоска близка к прямоугольнику с точностью до величины порядка квадрата толщины или что-то в этом роде.

То есть этот момент все равно надо как-то объяснять в доказательстве -- но на самом деле... на самом деле имеет место то, что имеет место на самом деле. Центр тяжести мог бы "лежать бы не совсем на медиане, а где-то рядом", если бы трапеция была криволинейной.

[avva.livejournal.com]

Да, большое спасибо, это я ерунду написал, не подумав.

[shultz-flory.livejournal.com]

В методе полосок можно обойтись без всяких бесконечно малых, если предварительно доказать лемму: ЦТ плоской фигуры совпадает с ЦТ линии, ее ограничивающей. Интуитивно это понятно, но доказать пока не могу.

[posic.livejournal.com]

А какое распределение массы на ограничивающей линии? На плоской фигуре, предположим, равномерное.

[phoonzang.livejournal.com]

если я правильно понял доказательство, то вы пользуйтесь тем, что центр тяжести суммы двух фигур равен среднему их центров тяжестей — мне кажется, что это может быть не обязательно очевидным

[buddha239.livejournal.com]

Для фигур одной площади (массы:)).

[phoonzang.livejournal.com]

Возьмем исходный треугольник и его отражение (point reflection) в одном из углов исходного треугольника — скажем, в угле А. Центр тяжести объединения треугольника и отражения будет, с одной стороны, в точке А, а с другой стороны, где-то на прямой, которая проходит через центры тяжести исходного треугольника и отражения. Следовательно, прямая, соединяющая центры тяжести двух треугольников, должна проходить через А.

С другой стороны, можно показать, что точечное отражение треугольника в А переводит медиану угла А в отрезок на той же прямой, что и исходная медиана угла А. Из результата первого параграфа следует, что центр тяжести треугольника должен лежать на медиане.

Где я ошибся?

[avva.livejournal.com]

Непонятно, каким образом "из результата первого параграфа следует". Как вы вообще использовали какие-либо свойства медианы? Скажем, биссектриса угла A тоже переходит в отрезок на той же прямой, что и исходная биссектриса. Почему тогда из результата первого параграфа не следует, что центр тяжести должен лежать на биссектрисе?

[kosovsky-family.livejournal.com]

Я не увидел серьезной разницы между приведенным доказательством от Архимеда и решением через барицентрические координаты. Ну разве что в Вашем изложении решения от Арихимеда не доказано (я понимаю, что это очевидно из симметрии), где находится центр параллелограмма. А разбив на параллелограмм на 2 треугольника получается в точности то же решение. Да с помощью барицентрических координат запись решения короче. Но, честно говоря, мне кажется, что и Ваше решение можно было бы укоротить без ущерба для понимания. По крайней мере, понимания мной :)

[selfmade.livejournal.com]

Тем не менее, согласно Шкробиусу: полоски - плохой химик, барицентрические координаты - хороший. И с этим я не согласен.

[buddha239.livejournal.com]

Может, нужен химик с конкретной специализацией?:)

[gul-kiev.livejournal.com]

В доказательстве Архимеда мне непонятно, почему центр тяжести объединения двух фигур лежит на прямой, соединяющий центры тяжести этих фигур.
Собственно, в доказательстве с полосками тоже используется это свойство. Оно более-менее очевидно физически (если обе фигуры положить на лезвие ножа, проходящее через их центры тяжести, они обе будут в равновесии, и если их склеить вместе, равновесие не нарушится), но для математики такие рассуждения не очень убедительны.

Собственно, ни в одном из приведенных доказательств не определяется, что же такое центр тяжести с точки зрения математики, и нигде это определение не используется. Если определять центр тяжести через его свойства ("центр тяжести подобных фигур подобен", "центр тяжести объединения фигур лежит на прямой, соединяющий центры тяжести этих фигур", "центр тяжести существует и однозначен для каждой фигуры" и т.д.), то совершенно не факт, что эти аксиомы окажутся непротиворечивы, и что их будет достаточно для нахождения центра тяжести любой фигуры. Особенно, если разбивать фигуру "странным" способом (как в парадоксе Банаха-Тарского, например - что там с центром тяжести происходит? или эти части, на которые разбивается шар, уже не фигуры? тогда что такое "фигура"?).

И, кстати, парадокс Банаха-Тарского показывает, что координаты и пределы не только помогают геометрии, но иногда и мешают, лишая её модели "реального мира" и, соответственно, проверки интуицией и реальностью.

[papa-lyosha.livejournal.com]

Архимед имено аксиоматически определял понятия центра масс. Непротиворечивость системы аксиом никто тогда не доказывал.

[(Anonymous)]

И про медианы понял, и обосновал таким же "неправильным" доказательством (причем сходу, секунд за 6, и именно с перпендикулярами) -- хотя, прочитав, что рассуждение ошибочно, сразу понял, в чем. Но меня удивило, что вам такая ошибочность тоже не была очевидна -- в старом посте, http://avva.livejournal.com/807514.html , вы об этом вроде уже подробно рассуждали (в смысле в комментах к посту)?

Сдается мне, мы имеем дело с багом в устройстве сознания: с одной стороны, позсознательно фраза "центр масс" (центр - значит слева и справа поровну!), делает равенство масс интуитивно приемлимым, с другой стороны, именно факт того, что равенство масс надо еще доказать, отвлекает внимание от сознательной проверки этого интуитивного шага. Доказали равенство площадей - все, решили задачу! Полагаю, это примерно тот же баг, что заставляет людей неправильно отвечать на приснопамятное: "Возьмите 1000. Прибавьте 40. Прибавьте еще тысячу. Прибавьте 30. Еще 1000. Плюс 20. Плюс 1000. И плюс 10. Что получилось?" Внимание фиксируется на относительно сложной части, остальное делается "на автомате", без проверки того, а правильное ли действие мы совершаем...

[avva.livejournal.com]

Неужели вы помните мою даже не запись, а комментарий (!) 11-летней давности? Я давно забыл, что задавал задачи эти, и как они решаются, тоже забыл...

Я думаю, что мне и тогда это было именно что не очевидно - скорее всего, я попытался "решить" с помощью центра тяжестей, проверил себя на 1-2 примерах и увидел, что это не работает. В той задаче это легче увидеть, потому что из-за того, что множество произвольное (и даже не выпуклое), естественно представить себе ситуацию с рычагом с разного размера плечами.

Про баг с устройством сознания вы правы, думаю.

[pffnzrpb.livejournal.com]

Шкробиус конечно сам химик, но его коллега отбирал физиков.

http://shkrobius.livejournal.com/514159.html?thread=7976559#t7976559

[avva.livejournal.com]

Спасибо, сейчас и это исправлю :)

[randomisator.livejournal.com]

Помнится, мы на маткружке подходили с другой стороны. Начинали с утверждения "Если в любом наборе точечных масс заменить какой-то поднабор на сумму масс поднабора, расположенную в центре его тяжести, то центр тяжести всего набора не поменяется". Отсюда моментально выводится то, что медианы пересекаются в одной точке, а заодно и то, что они делятся ей в соотношении 2:1. И вообще много геометрических задачек решается в лоб. Скажем, если кидать в вершины треугольника неравные массы, доказывается теорема Чевы.

[(Anonymous)]

Как отсюда это "моментально выводится"? Вроде это утверждение используется и в доказательстве Архимеда, и (в более завуалированной форме) в доказательстве с полосками, но почему-то они не сводятся мгновенно к этому утверждению?

[vasaku.livejournal.com]

в доказательстве с полосками не хватает куска вывода: как из того что центры тяжести полосок находятся на медиане следует что центр тяжести треугольника не может находиться вне медианы?

[hyperpov.livejournal.com]

центр масс системы не изменится, если любую часть системы заменить на равную точечную массу, расположенную в центре масс этой части. То есть полоски можно заменить на массы, расположенные на медиане. Если вся масса расположена на прямой, то и центр масс будет на ней же.

[backswimmer.livejournal.com]

Для треугольника с заданной стороной, "висящего" на этой стороне, крутящий компонент воздействия на неё определяется расстоянием от оставшейся вершины от этой стороны: (другой вариант доказательства "с полосками") если такой треугольник разрезать на узкие трапеции, параллельные стороне, на которую он опирается, то для трапеции любой длины (и массы) расстоянием от "опорной" стороны треугольника до противолежащей вершины будет полностью определяться расстояние от центра тяжести трапеции до этой же стороны треугольника. Соответственно, для двух треугольников с общей стороной, имеющих равноудалённые противолежащие ей вершины, крутящие моменты воздействия на общую сторону будут одинаковы и в случае противонаправленности дадут в сумме ноль — это и есть наш случай. Фактически это модификация первоначального ложного решения, но уже верная, т. к. учитывает фактор рычага.

[utnapishti.livejournal.com]

Я всё пытался вспомнить, что мне это напоминает; наконец вспомнил: задачу о максимальном нависании (Block-stacking problem). "Все знают", что ответ там - частичная сумма гармонического ряда; но те, кто пытаются это доказать, иногда приходят к другим ответам - из-за того, что, когда ищут точку равновесия, уравнивают массы справа и слева, а не моменты.

[avva.livejournal.com]

Действительно похоже, да.

[migmit.livejournal.com]

А по-тупому нельзя?

Делим треугольник ровно так же, на два треугольника вдвое меньше и параллелограмм. Будем считать сторону, возле которой находятся эти маленькие треугольники, горизонтальной. Кроме того, для простоты предположим, что противоположная ей вершина находится на высоте 1.

Центр масс параллелограмма находится на высоте 1/2, там, где его центр симметрии. Пусть центр масс всего треугольника находится на высоте h. Центр масс каждого из маленьких треугольников будет на высоте h/2, и, значит, центр масс системы из обоих маленьких треугольников тоже будет на высоте 1/2. Их вес (=площадь) совпадает с весом параллелограмма, значит, высота общего центра масс равна (1/2 + h/2)/2. Из уравнения h = (1/2 + h/2)/2 получаем h=1/3 — в точности высота точки пересечения медиан. То есть, если центр масс не находится в точке пересечения медиан, то прямая, их соединяющая, горизонтальна, т.е., параллельна выбранной стороне. Поскольку сторону мы выбрали произвольно, значит, либо все стороны треугольника параллельны, либо центр масс совпадает с точкой пересечения медиан.

[nechaman]

Вспомнила, что в детстве видела в какой-то популярной книжке, как найти центр тяжести треугольника с помощью грузиков. Мне казалась, что в Математическом Калейдоскопе, но нет, не там. :(

[hyperpov.livejournal.com]

Центр тяжести любой плоской фигуры, масса которой равномерно распределена по площади, переходит в центр тяжести не только при подобии, но и при любом сжатии или растяжении в одном направлении, т.е. преобразовании вида (x,y)->(ax,y). Таким преобразованием любой треугольник можно сделать правильным. А точка пересечения медиан перейдет в центр. Усё.

[buddha239.livejournal.com]

Что Вы имеете в виду? Что такое "прямая" в треугольнике?:)

[irae-dei.livejournal.com]

Каждая медиана делит треугольник на две части, равные по площади, то есть по весу => пересечение медиан это центр тяжести.
Я это за минуту в уме родил.

[buddha239.livejournal.com]

А в посте как раз объясняется, почему это - неправильное решение.:)