задачка про старушек

[avva]

А вот неплохая задачка, понравилась:

Условие задачи из знаменитой книги В.И.Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет»:
"Из A в B и из B в A на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) две старушки.Они встретились в полдень, но не остановились, а каждая продолжала идти с той же скоростью, и первая пришла (в B) в 4 часа дня, а вторая (в A) в 9 часов вечера. В котором часу был в этот день рассвет?"

По ссылке есть решение (и даже несколько вариантов). Но я очень рекомендую решить самостоятельно, хоть в уме, хоть с бумагой и карандашом.

У меня заняло примерно 15 минут решить ее. Я специально старался решить в уме и найти простое решение. В комментариях я напишу самый простой способ объяснить решение, который мне пришел в голову.

P.S. Книга Арнольда, которая там упоминается, заслуживает просмотра, мне она раньше почему-то не попадалась.

Comments

[avva.livejournal.com]

Самый простой способ объяснить решение, который я нашел. Если вы знаете, как проще, расскажите.



Понятно, что первая старушка идет быстрее, чем вторая. Предположим, она идет в 3 раза быстрее. Поскольку до места встречи они идут одинаковое время, то до места встречи первая старушка прошла в три раза больше, чем вторая. Теперь ей предстоит до конца пути пройти то, что уже прошла вторая, то есть в три раза меньше, чем до сих пор - и значит, это у нее займет в три раза меньше времени, чем до сих пор. Это "в три раза меньше времени, чем до сих пор" - 4 часа (от полудня до конца пути).

Вторая старушка, наоборот, должна после встречи пройти в три раза больше времени, чем до сих пор - и это "в три раза больше времени, чем до сих пор" - 9 часов. Отсюда получаем, что "время до сих пор" - от рассвета до полудня - это и 4 часа умножить на 3, и 9 часов поделить на 3. Эти два вычисления дают разные результаты, но это лишь потому, что на самом деле наше предположение "в 3 раза быстрее" было неточным. Если первая старушка идет в X раз быстрее, то выходит, что "время до сих пор" это 4*X и одновременно 9/X. Если это приравнять и перенести X влево, то видим, что 4*X*X=9, т.е. X = 3/2, a "время до сих пор" равно 4*3/2 = 6 часов. Значит, рассвет был в 6 утра.

[dreameranalyst.livejournal.com]

Известная задачка. Вот эта тоже хорошая, но посвежее и потруднее.

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки, но главная задача - сесть на автобус. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл гулять, или есть риск упустить автобус?

[(Anonymous)]

Я обозначил отношение скоростей старушек через x.

В момент встречи расстояние между населёнными пунктами поделилось в отношении x.

Времена, которые понадобились старушкам чтобы дойти до цели после встречи, это уже x*x. Потому что более медленная старушка должна пройти в x раз более длинный путь с в x раз меньшей скоростью.

Итого, x*x = 9/4, x = 3/2.

Общие времена, которые старушки провели в пути, относятся как 3/2. Разница - 5 часов. Значит одна старушка шла 10 часов, вторая - 15. Значит рассвет в 6 утра.

Заглянул по ссылке на хабру - вроде таких рассуждений не заметил.

[tembel.livejournal.com]

Эта задачка была в контрольный яндекса по математике!
https://yandex.ru/math

[brother2.livejournal.com]

Мне эта показалась гораздо легче.

[nikolenko.livejournal.com]

Что-то все очень сильно усложняют; тут же вообще нету никаких особых рассуждений. Недавно эта задача была (http://knop.livejournal.com/382160.html) в ЖЖ knop, скопирую свой комментарий оттуда:

У меня решение совершенно безыдейное, но я не понимаю, откуда тут несколько уравнений. Одна шла 4 часа столько, сколько другая прошла за X, а до этого прошла за X столько, сколько первая шла 9 часов; то есть X^2=36. Мне кажется, тут не нужны никакие глубокие идеи.)

Другое дело, что в 5 лет, и даже в 7-8, простое решение может быть недоступно: всё-таки для облегчения понимания тут нужен икс, и нужно квадратный корень извлечь. Но читателям предлагать "решить самостоятельно" тут совершенно нечего всё-таки.

[dragon-ru.livejournal.com]

Решил за минуту. Правда, сначала угадал решение, а потом дал ему обоснование.

Первая старушка прошла до встречи в Х раз большую дистанцию. Значит, после встречи второй старушке пришлось идти в Х^2 раз больше времени. Х^2 = 9/4

[avva.livejournal.com]

Забавное условие. Да, имеет смысл, он успеет на автобус (с запасом). Правда, идти придется задом наперед или все время оглядываться. Мне кажется, эта задача полегче задачи про старушек, потому что сразу понятно, что делать, чтобы решить в уме. В задаче про старушек понятно, что можно выписать достаточно уровнений, чтобы свести все к ответу на бумаге, но как решить в уме, (мне по крайней мере) было сперва неочевидно.

[tembel.livejournal.com]

Ну и я решала не в уме, но делала это через обозначение всего пути через X, а левой половины пути(ну, если нарисовать прямую и отметить на ней точку встречи) через y. ну и дальше система уравнений

[xtier.livejournal.com]

Ну, имхо, проще будет уяснить, что до и после встречи они прошли одинаковое расстояние, а значит и затратили (вместе) одинаковое время. После встречи они затратили (20-12)+(16-12) = 12ч. Но вышли они одновременно, значит рассвет был в 12-12/2 = 6ч.

[tembel.livejournal.com]

Конечно стоит, ведь 500 метров = 2км/4, значит, он всегда успеет добежать до какой-либо остановки

[dysto.livejournal.com]

t - время от рассвета до полудня
скорость первой старушки - единица (выберем такую систему единиц)
скорость второй старушки в k раз больше
система из двух уравнений с двумя неизвестными
t = 4k
kt = 9

[ugputu.livejournal.com]

При такой формулировке имеет смысл ходить вперед-назад, не удаляясь от остановки и на сотню метров, ничего не высчитывая.

[nomen-nescio.livejournal.com]

Прекрасная задача, спасибо. Действительно, на умение думать не в лоб.

[xtier.livejournal.com]

О простите мне невнимательность по утрам, в рассуждениях ошибка :)
Но пусть останется и послужит хорошим примером.

[ugputu.livejournal.com]

Так же решал.
Согласен, что хорошо бы придумать решение еще проще, без необходимости извлекать корень.

Откуда несколько уравнений понятно - так в школе учили. Не придумать простое решение, а выписать достаточно много известных соотношений, обозначив неизвестные переменными, а потом решать получившиеся уравнения или их системы.

[(Anonymous)]

ненене. Нельзя так рассуждать. И ответ получился правильный чисто случайно, из-за арифметической ошибки. 9 часов вечера - это не 20, а 21, соответственно (21-12)+(16-12) = 13 часов, 12-13/2 = 5:30.

[xtier.livejournal.com]

Ага. Я сделал ошибку в рассуждениях, но поскольку сделал ошибку в вычислениях и ответ совпал, я легко поверил в это решение.

[dark-barker.livejournal.com]

> Действительно, на умение думать не в лоб.
На умение думать в лоб она решается не сложнее на самом деле, нужно просто составить систему уравнений и решить её, чего проще то)

[avva.livejournal.com]

И контрольную эту я тоже пропустил :( откуда все о ней узнали, интересно?

Жизнь проходит мимо, ми-мо!

[hautboy.livejournal.com]

получилось у меня шесть уравнений с пятью неизвестными (скорость одной бабушки, скорость другой, расстояние от A до B, расстояние от А до места встречи, и время движения первой бабушки от А до B).

Из этого бардака получилось у меня одно квадратное уравнение с одним неизвестным (временем движения первой бабушки), и оно оказалось 10 часов, а значит рассвет был в 6 утра.

[dark-barker.livejournal.com]

Это простой способ объяснить тому, кто не знает что такое уравнения - может быть. Но вообще вместо двух абзацев текста проще же составить систему уравнений и решить. Потратил 5 минут, и куда проще то)
/ Va*p = x
| Vb*p=1-x
| Va*4=1-х
\ Vb*9=x
где Va, Vb - скорости старушек; р-время от рассвета до плудня; x, 1-х - расстояния от А до "полудня" (встречи) и от "полудня" до В.
У нас неизвестные Vb Va выражаем подставляем:
px/9=1-х
4x/p=1-x
Ну и всё, p=6, т.е. рассвет за 6 часов до полудня.
От того, что я взял расстояние единицей по сути получилась та же пропорция относительно расстояний и времени.

[tembel.livejournal.com]

Я подписана на паблик яндекса вконтакте.

Но можно ее и сейчас решить, ничего особенно интересного в участии именно в то тень не было, разве что вас сейчас в статистике не учтут

[n0-spam.livejournal.com]

Из соображений рамерности, симметрии ответа относительно времен движения после встречи, а также того факта, что приведенные в условии числа - квадраты натуральных числе, задача решается в уме за 10 секунд с точностью до числового коэффициента.

[mgar.livejournal.com]

Разумеется, имеет. Пока автобус проедет 2 км, мальчик пройдет еще 500 м. Пока автобус проедет 500 м, мальчик пройдет еще 125 м. И так далее. Автобус никогда не догонит мальчика!