задачка про старушек

[avva]

А вот неплохая задачка, понравилась:

Условие задачи из знаменитой книги В.И.Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет»:
"Из A в B и из B в A на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) две старушки.Они встретились в полдень, но не остановились, а каждая продолжала идти с той же скоростью, и первая пришла (в B) в 4 часа дня, а вторая (в A) в 9 часов вечера. В котором часу был в этот день рассвет?"

По ссылке есть решение (и даже несколько вариантов). Но я очень рекомендую решить самостоятельно, хоть в уме, хоть с бумагой и карандашом.

У меня заняло примерно 15 минут решить ее. Я специально старался решить в уме и найти простое решение. В комментариях я напишу самый простой способ объяснить решение, который мне пришел в голову.

P.S. Книга Арнольда, которая там упоминается, заслуживает просмотра, мне она раньше почему-то не попадалась.

Comments

[avva.livejournal.com]

Самый простой способ объяснить решение, который я нашел. Если вы знаете, как проще, расскажите.



Понятно, что первая старушка идет быстрее, чем вторая. Предположим, она идет в 3 раза быстрее. Поскольку до места встречи они идут одинаковое время, то до места встречи первая старушка прошла в три раза больше, чем вторая. Теперь ей предстоит до конца пути пройти то, что уже прошла вторая, то есть в три раза меньше, чем до сих пор - и значит, это у нее займет в три раза меньше времени, чем до сих пор. Это "в три раза меньше времени, чем до сих пор" - 4 часа (от полудня до конца пути).

Вторая старушка, наоборот, должна после встречи пройти в три раза больше времени, чем до сих пор - и это "в три раза больше времени, чем до сих пор" - 9 часов. Отсюда получаем, что "время до сих пор" - от рассвета до полудня - это и 4 часа умножить на 3, и 9 часов поделить на 3. Эти два вычисления дают разные результаты, но это лишь потому, что на самом деле наше предположение "в 3 раза быстрее" было неточным. Если первая старушка идет в X раз быстрее, то выходит, что "время до сих пор" это 4*X и одновременно 9/X. Если это приравнять и перенести X влево, то видим, что 4*X*X=9, т.е. X = 3/2, a "время до сих пор" равно 4*3/2 = 6 часов. Значит, рассвет был в 6 утра.

[dark-barker.livejournal.com]

Это простой способ объяснить тому, кто не знает что такое уравнения - может быть. Но вообще вместо двух абзацев текста проще же составить систему уравнений и решить. Потратил 5 минут, и куда проще то)
/ Va*p = x
| Vb*p=1-x
| Va*4=1-х
\ Vb*9=x
где Va, Vb - скорости старушек; р-время от рассвета до плудня; x, 1-х - расстояния от А до "полудня" (встречи) и от "полудня" до В.
У нас неизвестные Vb Va выражаем подставляем:
px/9=1-х
4x/p=1-x
Ну и всё, p=6, т.е. рассвет за 6 часов до полудня.
От того, что я взял расстояние единицей по сути получилась та же пропорция относительно расстояний и времени.

[dreameranalyst.livejournal.com]

Известная задачка. Вот эта тоже хорошая, но посвежее и потруднее.

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки, но главная задача - сесть на автобус. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл гулять, или есть риск упустить автобус?

[brother2.livejournal.com]

Мне эта показалась гораздо легче.

[(Anonymous)]

Я обозначил отношение скоростей старушек через x.

В момент встречи расстояние между населёнными пунктами поделилось в отношении x.

Времена, которые понадобились старушкам чтобы дойти до цели после встречи, это уже x*x. Потому что более медленная старушка должна пройти в x раз более длинный путь с в x раз меньшей скоростью.

Итого, x*x = 9/4, x = 3/2.

Общие времена, которые старушки провели в пути, относятся как 3/2. Разница - 5 часов. Значит одна старушка шла 10 часов, вторая - 15. Значит рассвет в 6 утра.

Заглянул по ссылке на хабру - вроде таких рассуждений не заметил.

[tembel.livejournal.com]

Эта задачка была в контрольный яндекса по математике!
https://yandex.ru/math

[tembel.livejournal.com]

Ну и я решала не в уме, но делала это через обозначение всего пути через X, а левой половины пути(ну, если нарисовать прямую и отметить на ней точку встречи) через y. ну и дальше система уравнений

[nikolenko.livejournal.com]

Что-то все очень сильно усложняют; тут же вообще нету никаких особых рассуждений. Недавно эта задача была (http://knop.livejournal.com/382160.html) в ЖЖ knop, скопирую свой комментарий оттуда:

У меня решение совершенно безыдейное, но я не понимаю, откуда тут несколько уравнений. Одна шла 4 часа столько, сколько другая прошла за X, а до этого прошла за X столько, сколько первая шла 9 часов; то есть X^2=36. Мне кажется, тут не нужны никакие глубокие идеи.)

Другое дело, что в 5 лет, и даже в 7-8, простое решение может быть недоступно: всё-таки для облегчения понимания тут нужен икс, и нужно квадратный корень извлечь. Но читателям предлагать "решить самостоятельно" тут совершенно нечего всё-таки.

[ugputu.livejournal.com]

Так же решал.
Согласен, что хорошо бы придумать решение еще проще, без необходимости извлекать корень.

Откуда несколько уравнений понятно - так в школе учили. Не придумать простое решение, а выписать достаточно много известных соотношений, обозначив неизвестные переменными, а потом решать получившиеся уравнения или их системы.

[dragon-ru.livejournal.com]

Решил за минуту. Правда, сначала угадал решение, а потом дал ему обоснование.

Первая старушка прошла до встречи в Х раз большую дистанцию. Значит, после встречи второй старушке пришлось идти в Х^2 раз больше времени. Х^2 = 9/4

[xtier.livejournal.com]

Ну, имхо, проще будет уяснить, что до и после встречи они прошли одинаковое расстояние, а значит и затратили (вместе) одинаковое время. После встречи они затратили (20-12)+(16-12) = 12ч. Но вышли они одновременно, значит рассвет был в 12-12/2 = 6ч.

[xtier.livejournal.com]

О простите мне невнимательность по утрам, в рассуждениях ошибка :)
Но пусть останется и послужит хорошим примером.

[dysto.livejournal.com]

t - время от рассвета до полудня
скорость первой старушки - единица (выберем такую систему единиц)
скорость второй старушки в k раз больше
система из двух уравнений с двумя неизвестными
t = 4k
kt = 9

[nomen-nescio.livejournal.com]

Прекрасная задача, спасибо. Действительно, на умение думать не в лоб.

[dark-barker.livejournal.com]

> Действительно, на умение думать не в лоб.
На умение думать в лоб она решается не сложнее на самом деле, нужно просто составить систему уравнений и решить её, чего проще то)

[hautboy.livejournal.com]

получилось у меня шесть уравнений с пятью неизвестными (скорость одной бабушки, скорость другой, расстояние от A до B, расстояние от А до места встречи, и время движения первой бабушки от А до B).

Из этого бардака получилось у меня одно квадратное уравнение с одним неизвестным (временем движения первой бабушки), и оно оказалось 10 часов, а значит рассвет был в 6 утра.

[n0-spam.livejournal.com]

Из соображений рамерности, симметрии ответа относительно времен движения после встречи, а также того факта, что приведенные в условии числа - квадраты натуральных числе, задача решается в уме за 10 секунд с точностью до числового коэффициента.

[lenamarkova.livejournal.com]

6 утра. Решила таким образом. От рассвета до полудня б1 прошла ту же дистанцию, что и б2 за 9 часов, отсюда v1(12-x)=v2x9. И наоборот, от рассвета до полудня б2 прошла ту же дистанцию, что и б1 за 4 часа. Отсюда, v1x4=v2(12-x).
Каждое уравнение выразила через v1, правые части приравняла, в получившемся равенстве сократилось v2 с обеих сторон, осталось квадратное уравнение с одним неизвестным x, с решением 18 и 6, рассвет в 6 утра.

[alxt.livejournal.com]

Что-то все решения сложные.


1. От рассвета до полудня x

Понятно, что первая старушка идёт быстрее.
Первую (для неё) половину пути она прошла быстрее в 9/x раз.
Вторую- в x/4 раза.
И эти значения равны, x=6


А зануда у меня в голове говорит- задача некорректная. Если долгота А и В разная, то и рассвет там наступает в разное время ;)
Точнее почти всегда разные, т.к. при равенстве долготы и разной широте только 2 рассвета в году совпадают.
В целом рассвет- это линия, идущая под углом- есть разные точки,где рассвет совпадает, но их надо подбирать вдумчиво :)

[andreylv.livejournal.com]

Вот, я тоже так решал. По-моему, самое простое.

[3seemingmonkeys.livejournal.com]

(16-x)a/4a = (21-x)b/(12-x)b
(16-x)(12-x)ab = 4(21-x)ab
192-16x-12x+x2=84-4x
x2-24x+108=0
x=6

мое тупое решение :)

[3r.livejournal.com]

Да, я вот тоже ничего умнее не придумал, кроме как решить квадратное уравнение, оказывается, можно было через пропорцию. :)

[mudak.livejournal.com]

чукча не читатель, поэтому моё решение: t:9=4:t t0=12-t

[antontsau.livejournal.com]

Нарисовать график из двух пересекающихся отрезков (время идет вверх). Треугольники справа и слева подобны - мгновенно сочиняется уравнение на единственный х "сколько прошло от рассвета до полудня"

[nechaman]

Я голосую за график - самое наглядное.

А разве это в уме не решается на раз?

[(Anonymous)]

Очевидно, скорость полагается постоянной. График координат старушек от времени - две пересекающиеся в t=12:00 прямые. Далее тривиальное подобие треугольников:
t/4=d1/d2, t/9=d2/d1, т.е. t/4=9/t, t=sqrt(6),
=> рассвет в 6 утра.

Впервые я что-то решаю на порядок быстрее аввы... )))

У меня идея созрела секунд за 10, понять окончательно, как именно использовать подобие, и каким будет ответ - еще минуты 2-3, в основном потраченных на борьбу с соблазном взять ручку с бумагой и все для наглядности нарисовать...

(На всякий случай: речь о треугольниках, образованных графиками x(t) и прямыми t=рассвет, t=12:00, x=A=0 и x=B=d1+d2, где d1, d2 - расстояния от места встречи до А и B.)

[d-ohrenelli.livejournal.com]

Скажите, я один такой идиот который считает что условия задачи не позволяют однозначно считать скорости бабушек постоянными за все время пути ?
"а каждая продолжала идти с той же скоростью" можно истолковать сильно по разному, в частности "та же скорость" могла быть скоростью на момент встречи, и неясно сколько времени каждая из них "продолжала" .

Домохозяйский метод

[aneta.livejournal.com]

Я думаю, что в 6 утра.
Обоснование: ибо когда ж ещё? ;)
Во-первых, время для рассвета подходящее.
Во-вторых, 4 и 9 какие-то подозрительно полные квадраты, то есть, речь идёт про 2 и 3, ну то есть как-то логично, что время, которое они шли до встречи, должно иметь какое-то отношение к этим числам…

Серьёзно подумаю, когда ребёнок с меня слезет. Коментов не читала.

Re: Домохозяйский метод

[aneta.livejournal.com]

Ну, ок. Скорость быстрой бабушки 3v, медленной 2v, до встречи быстрая бабушка прошла 3x километров, медленная 2x. Медленной осталось пройти то, что уже прошла быстрая. Сделала она это за 3x/2v=9 часов. То есть, x/v=2x/2v=6 часов — это то время, которое она шла до встречи.

Боевые бабушки. Одна шла 10 часов не останавливаясь, другая 15... я бы так не смогла. Медленная, кстати, наверное, в горку шла. Как-то её оправдать хочется ;)

(Если надо обосновывать, почему 3 и 2, то можно сначала написать v1 и v2, x1 и x2, записать пропорции, и посмотреть, что получится… но это уже совсем скучно… и так же всё получилось)

[utnapishti.livejournal.com]

Пусть х отношение скоростей.
Тогда, если бы в момент встречи старушки развернулись и пошли назад, то у одной бы путь занял 4х часов, а у другой 9/х часов.
Но это именно то, что произошло до встречи, и это заняло одинаковое время. Поэтому 4х=9/х.
Отсюда х=3/2, и получаем 4х=9/х=6.

[3mer.livejournal.com]

Вот второе предложение откуда следует?

[dims12.livejournal.com]

Решил в уме.



Решение при помощи пространственно-временной диаграммы



Треугольники подобны, поэтому 4/x = x/9, откуда 9*4 = 36 = x^2, откуда x = 6. То есть, рассвет за 6 часов до полудня, то есть, в 6 часов.

[3mer.livejournal.com]

Из условия видно, что тот путь который одна бабка прошла до обеда, другая прошла после обеда.
Напишем эти одинаковые пути в виде уравнений:
v1*4=v2*t
v2*9=v1*t
где t - время нахождения бабок в пути до обеда(отсюда найдем искомое время старта), a v1 и v2 - скорости первой и второй бабки.

Выразим скорость одной бабки через скорость другой:
v2=v1*t/9

И подставим в первое уравнение:
v1*4=v1*t*t/9

4=t*t/9
t*t=4*9
t=2*3=6

Перед встречей бабки были 6 часов в пути, и т.к. встретились они в полдень, то вышли они значит в 6 утра.

[fistashkin.livejournal.com]

ИМХО, самое доступное и понятное решение из всех изложенных в комментах, спасибо. По крайней мере, читая остальные, я отчаянно тупил :(

[fanatr.livejournal.com]

Я четыре листа бумаги исписал. Но решил :)

[knop.livejournal.com]

У меня в ЖЖ было сразу несколько ОЧЕНЬ простых решений.
Лично мне одним из самых идейно простых кажется геометрическое - с подобием треугольников - но, безусловно, детям до определенного возраста его не осилить.
А взрослым - самое то.

Но это уже напоминает спор между "правополушарными" и "левополушарными" о том, почему две прямые могут пересечься не более чем в одной точке.

[vigourik.livejournal.com]

Корень из 4 и 9 легко берется. Поэтому для решения и нескольких секунд достаточно. :)