тождество якоби как голая аксиома (математическое)

[avva]

(если вас не интересует высшая математика или вы не читаете по-английски, вам вряд ли будет интересна эта запись)

Математики любят говорить о том, как правильно надо преподавать математику. Мне не раз попадались высказывания в духе того, что линейная алгебра и абстрактная алгебра преподаются студентам-математикам в наше время так, что получаются выхолощенными от своей сути наборами технических определений. Британский математик Майлз Рид пишет об этом так выразительно, что захотелось процитировать (прошу прощения за длинную цитату по-английски):

"...The problem is that the abstract point of view in teaching leads to isolation from the motivations and applications of the subject. For example, differential operators are typical examples of linear maps, used all over pure and applied math, but it is a safe bet that the linear algebra lecturer will not mention them: after all, logically speaking, differentiation is more complicated than an axiom about T(av + bu), and working with infinite dimensional vector spaces would clearly needlessly disconcert the students. In the same way, if the applied people want students to study coordinate geometry in R^3, let them set up their own course - the student who understands that the applied lecturer's R^3 is an example of the algebra lecturer's vector spaces will be at an unexpected advantage. Similar examples occur at every point of contact between algebra and other subjects; under the system of abstract axioms, the algebraist is never going to take responsibility for relating to the applications of his subject outside algebra.

No subject has suffered as badly from the insistence on the abstract treatment as group theory. When I was a first year undergraduate in Cambridge in 1966, it had been more or less settled, presumably after some debate, that the Sylow theorems for finite groups were too hard for Algebra IA; since then, the notion of quotient group, and subsequently the definitions of conjugacy and normal subgroup have been squeezed out as too difficult for the first year. Thus our algebraists have cut out most of the course, but stick to the dogma that a group is a set with a binary operation satisfying various axioms. Groups can be taught as symmetry groups (geometric transformation groups), and the abstract definition of group held back until the student knows enough examples and methods of calculation to motivate all the definitions, and to see the point of isomorphism of groups.

The schizophrenia between abstract groups and transformation groups comes to the surface in some amusing quirks - for example, the textbooks that define an "abstract group of operators", or the students (year after year) who insist that the binary operation GxG->G on a group should satisfy closure under (g1,g2) -> g1g2 as one of the group axioms. It seems to me that the abstract approach has weaknesses even within the framework of abstract algebra. In recent years, the Warwick 3rd year has featured a course on Lie algebras. I've no doubt that the course is extremely well given, but it's still possible to find students who get good grades, and know all the bookwork in the course, but who still don't know that nxn matrices over R with bracket [A, B] = AB - BA is an example of a Lie algebra, and R^n with Av = matrix times a vector an example of a representation or a module. The student who knows just this one example can make good sense of the entire course. Of course, given a chance, any self-respecting geometer, applied mathematician or physicist would insist on muddling things up by differentiating the group law at the origin, and explaining what happens to the associative law, etc. Is it conceivable that there are people about who introduce the Jacobi identity as a bald axiom?"

Comments

[revoltp.livejournal.com]

А вот в геометрии окружности все по другому (собственно и в методике Бахмана). Групповые понятия сразу помогают доказывать наглядные теоремы, причем проще, чем любые другие методы.

А так да. После физ.мат. школы я был уверен, что геометрия не нужна, все делается векторным исчислением. Мат.мех укрепил эту уверенность. и только позднее дело изменилось.

[aa-kir.livejournal.com]

Жалобы на излишне абстрактное преподавание не новы (В. И. Арнольд в частности много об этом писал, и мягко говоря не всегда объективно). С Майлсом Ридом я соглашусь частично - с моей точки зрения, определение абстрактной группы вполне разумно давать студентам. Разумеется, после рассмотрения пары примеров, вроде группы перестановок или групп симметрий. Голое определение не основанное на примерах и правда трудно для восприятия, но очень мало кто это делает.

Про курс алгебр Ли в Варвике трудно судить - я там не был - но в тех местах где я был и преподавал (а я курс алгебр Ли преподавал несколько раз, и даже написал учебник), студент который "get good grades, and know all the bookwork in the course" не может не знать, что квадратные матрицы образуют алгебру Ли (и в частности, коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби). По-моему, этот пример идет первым в любой известной мне книге про алгебры Ли - включая классическую книгу Хампфри, которую используют в Варвике. Этот пример включен даже в краткое описание курса на веб-странице Варвика: http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/undergrad/ughandbook/year4/ma453/ Так что мне с трудом верится в слова Рида.

[francis-drake.livejournal.com]

> А вот в геометрии окружности все по другому (собственно и в методике Бахмана). Групповые понятия сразу помогают доказывать наглядные теоремы, причем проще, чем любые другие методы.

Вы не могли бы посоветовать книжку или набор листков на эту тему?

[revoltp.livejournal.com]

Могу и с удовольствием. "эстетическая геометрия или теория симметрий"
и есть сайт, где многое изложено http://bogemnyipeterburg.net/revolt/matem/teachpictures/index.html

[francis-drake.livejournal.com]

Спасибо.

[alaev.livejournal.com]

Чем больше в курсе примеров, тем он меньше и проще. Этот фундаментальный закон не обойдёшь. :) Нужны какие-то меры внешнего стимулирования товарищей лекторов.

[alaev.livejournal.com]

Может быть, "know all the bookwork in the course" означает, что студенты открывали и листали положенные книги. Если они сами способны проштудировать пару учебников, лекции им без надобности.

[xaxam.livejournal.com]

Всё же есть проблема: стандартные курсы идут "снизу вверх", а реальное познание - очень часто сверху вниз. Мы со школы знаем (ну, думаем, что знаем), что такое рациональные числа - а это алгебра сразу с двумя операциями! "Деградировать" её сначала до кольца целых чисел, а потом разъять последнее на две коммутативные групповые структуры - и так придти к определениям, - как мне кажется, для первоизучающего более естественно.

То, что абстрактная группа должна впервые появляться именно как группа преобразований чего-либо, - по-моему, очевидно. После этого интересно поиграть со студентами в игру "угадай что-то" (интерпретировать Z как группу сдвигов бесконечного количества воробьёв на проводе, а Z_n - как хоровод). После этих примеров объяснить, что каждая группа действует на себе самой перестановками, - это просто беглое замечание, а не Важная Теорема.

Собственно, проблема в том, что стандартный подход к написанию текстов и чтению лекций, - аккуратно формализовать в виде определений то, что мы уже откуда-то знаем (угадали, поняли из примеров и т.д.). А читают эти тексты студенты, которые ещё не знают. Я отчётливо помню, что в первое время, когда я учил коммутативную алгебру и разные свойства идеалов, главным примером кольца для меня были именно целые числа, и, соответственно, поучительного применения теорем не получалось. Только случайно кто-то из старшекурсников мне сказал, что главное кольцо - это полиномы от одной и нескольких переменных с комплексными коэффициентами. Тут очень быстро всё встало на свои места, а уж перейти от полиномов к рядам (формальным или сходящимся) было просто детской игрой.

[xgrbml.livejournal.com]

М.Рид перегибает палку. Ну что дифференциальные операторы, право слово? Ну OK, в началаьном курсе линйной алгебры можно дать с ними один пример - попросить, скажем, d/dx на пр-ве многочленов ограниченной степни привести к жордановой форме. (Собственно, многие преподаватели так и делают: примеры и задачи надо ведь откуда-то брать.) Это что-то принципиально поменяет?

Если же преподавать лин. алгебру иил абстр. теорию групп вообще без примеров, то это просто-напросто значит, что студентам крайне не повезло с преподавателем. В случае с теорией групп это, собственно, и технически малореально: задачки же давать какие-то надо, а без примеров конкретных групп их будет недопустимо мало.

[(Anonymous)]

Я отчётливо помню, как в конце первого курса в нашей комнате зашел разговор про определители. Чисто случайно мы знали, что объём параллелепипеда это и есть определитель, но именно что случайно: об этом рассказал одному из нас его друг ещё до начала первого курса. Факт этот казался нам всем удивительным и непостижимым. И вот ближе к концу первого курса и материализовался у нас вопрос: а как же всё-таки так получается? Определителей к тому времени мы насчитали изрядное количество, правила, про то, что происходит с определителем если строчку умножить на число или если к одной строчке добавить другую, мы конечно же знали. И тут-то с удивлением обнаружили, что для нахождения обёма параллелепипеда больше ничего и не нужно! Дело было на физтехе в 90-м году.

У меня до сих пор остаётся впечатление, что связь между определителями и объёмами - это какая-то важная тайна, которую от студентов зачем-то тщательно скрывают. Время от времени даже возникает сомнение, может это я такой неравдивый был, прослушал, пропустил, прогулял, недопонял. Но ведь не я же один, четверо нас было, в том разговоре участвовавших, все с пятёрками по аналитической геометрии.

Другой пример с группами и подгруппами. Ну вот почему никто никогда не объясняет, что сопряжение - это означает "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"? Ок, у разных людей разный склад ума, но я не верю, что простейший пример с сопряженными подгруппами группы вращений куба, может кому-то навредить и кого-то запутать.

[avva.livejournal.com]

Да, я согласен с вами. Мне тоже никто не рассказал про связь определитей с объемами, сам потом где-то прочитал и очень удивился.

[xgrbml.livejournal.com]

Да, комм. алгебра - очень тяжелый случсай. Если без примеров, то теоремы без применений, а если с примерами, то получается очень неторопливо.

Видимо, надо именно неторопливо: студенты, которые захотят остаться в науке, дальше сами разберутся.

[xaxam.livejournal.com]

Алгебра вообще вся про то, как "отстирать" конкретику, вылущив структуры в чистом виде. Если конкретики нет, то и лущить нечего...

Я бы вообще начинал преподавание алгебры с серии разобранных примеров - полиномы, матрицы, подстановки/преобразования, геометрические симметрии... Хороши и примеры из анализа (умножение на функции как диагональный оператор, дифференцирование как нильпотентный), а потом сбивал бы с толку, рассмотрев дифференцирование на тригонометрических многочленах ;-) После этого становится очевидной необходимость в соответствующих понятиях, и с каждым понятием уже имеются "правильные" ассоциации.

ЕМНИП, учебник Кострикина примерно так устроен.

[xaxam.livejournal.com]

>>> Ну вот почему никто никогда не объясняет, что сопряжение - это означает "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"?

Да, это большая беда: соответственно, мало кто понимает, что "нормальная подгруппа" - это подгруппа, не зависящая от того, как мы перенумеруем элементы группы.

Как без этого понимания рассказывать про связь линейных операторов с матрицами? зависимость фундаментальной группы от выбора отмеченной точки?

[hyperpov.livejournal.com]

== In recent years, the Warwick 3rd year has featured a course on Lie algebras. I've no doubt that the course is extremely well given, but it's still possible to find students who get good grades, and know all the bookwork in the course, but who still don't know that nxn matrices over R with bracket [A, B] = AB - BA is an example of a Lie algebra ==

Тут надо определиться. Если студенты не понимают примера с матрицами, то "extremely well given" - просто бред. Чувак что, дал немотивированное определение и не показал ни одного примера? И это extremely well?

С алгеброй Ли фигня же вот какая. Если алгебра имеет достаточно большую, но конечную, размерность (лень считать, но 10 - точно хватит), то тождество Якоби накладывает условий значительно больше, чем имеется структурных констант. A priori следует ожидать, что система несовместна. Поэтому не только extremely well given, но и самый захудалый курс должен первым делом обсудить, почему ЭТО вообще существует. Неужели при этом можно забыть про матрицы?

[(Anonymous)]

И также книга Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии"

[(Anonymous)]

Есть математика, которую "быстро бы понял Ньютон", а есть математика, которую бы Ньютон понял не быстро. Например, дифференциальную геометрию, наверное, быстро бы понял Ньютон, а что такое "ультрафильтр" он бы не быстро понял. Вот надо писать как для Ньютона.

[cousin-it.livejournal.com]

Хм, вроде бы нормальная подгруппа должна быть инвариантна только относительно внутренних автоморфизмов (сопряжений). Если инвариантна относительно всех автоморфизмов, то называется "характеристическая подгруппа". Хотя м.б. я что-то не понял в Вашем объяснении.

[cousin-it.livejournal.com]

Неконкретность преподавания математики начинается еще в школе, и там же люди начинают справедливо жаловаться, но их никто не слушает. Например, почему коммутативность сложения чисел берется за аксиому? Или тот факт, что через любые две точки можно провести ровно одну прямую? Для меня эти утверждения - скорее свойства каких-то воображаемых объектов, которые идеализируют явления реального мира. Было бы интересно попробовать учить математике с упором на этот вот процесс идеализации, а не перепрыгивать сразу к системам аксиом, выбранным из неизвестных соображений.

[francis-drake.livejournal.com]

Спасибо.

[brandt1.livejournal.com]

А чисто по теории групп - мне кажется, Каргаполов и Мерзляков очень хорошая книга.

[brandt1.livejournal.com]

Это странно. Ведь когда дают смешанное произведение 3 векторов в обычной векторной алгебре, то получается определитель на их координатах, а с другой стороны - ориентированный объем, и это, по-моему, всегда говорится.

[brandt1.livejournal.com]

А вот тут нельзя ли поподробнее: "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"? Как это визуализировать? Что дает такая визуализация?

[a-konst.livejournal.com]

Ой-йо, как жаль, что я не знал про эту книгу, когда как раз пытался мат-школьникам рассказывать именно эту самую тему.

[a-konst.livejournal.com]

Увы, это говорится не всегда, даже тогда, когда изучают смешанное произведение. Но и смешанное произведение изучают редко - это ж "малоинтересный частный случай" для трехмерного пр-ва.

[xaxam.livejournal.com]

Она, сколько я помню, тоже характерна была отсутствием мотивировок и примеров.

Собственно говоря, "чистая" теория групп, - почти такое же стерильное понятие, как теоретико-множественная топология: слишком бедная структура, чтобы про неё можно было доказывать интересные вещи. А, скажем, если мы пытаемся считать элементы групп (скажем, число разных элементов, представляемых словами длиной не выше n, как функцию от n) - тут-то и начинается красота...

[a-konst.livejournal.com]

Ньютон был умным человеком, вероятно, и ультрафильтр понял бы быстро.
И это гадание на кофейной гуще, в любом случае, мы уж точно не знаем, что и как бы он понял.

[(Anonymous)]

Вот есть у нас куб, есть группа его вращений. Есть подгруппа вращений вокруг вертикальной оси: четыре поворота. А есть ещё подгруппа вращений вокруг одной из горизонтальных осей. Подгруппы, очевидно, разные: поворот на 90 вокруг вертикальной оси входит в первую из этих подгрупп, но не входит во вторую.

Но тем не менее подгруппы эти как-то очень сильно похожи! Человек, который смотрит на наш куб повернув голову набок может вообще их перепутать. В его системе отсчёта моя "вертикальная" ось горизонтальна и наоборот.

Подгруппы эти так похожи, потому что они сопряженные. Есть такой элемент x, что xA(x^-1) переводит подгруппу вращений вокруг вертикальной оси в подгруппу вращений вокруг горизонтальной. И этот элемент x - это как раз воответсвует переходу в другую систему отсчёта, "повороту головы".

Вспомните линейную алгебру. Есть у нас линейное преобразование, в нашем базисе оно описывается матрицей A. Как узнать, какой матрицей оно описывается в другом базисе? Берём матрицу X перехода между нашими базисами, перемножаем XA(X^-1) - это и есть то, что нам надо. Чтобы посмотреть на группу в другой системе координат ("повернуть голову") надо устроить такое вот сопряжение.

(Извиняюсь, если перепутал где писать "(^-1)" - забыл уже точное определение матрицы прехода.)

[difdufzariz.livejournal.com]

Обратите внимание, что русский перевод 1969 года сделан по немецкому изданию 1959 года.

В предисловии И.М. Яглом пишет, что получил от Ф. Бахмана письмо в котором он сообщил, что "работает сейчас над подготовкой нового переработанного и дополненного варианта своего сочинения; однако это будет, видимо, совершенно новая книга".

Новое издание вышло на немецком в 1973 году (Bachmann Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff) и тоже есть на сайте Genesis.

Судя по всему, это издание вообще не переводили ни на русский, ни на английский. Очень, очень странно.

[avva.livejournal.com]

А оно действительно лучше, новое издание? Вы сравнивали их? (я пока что даже на старое не посмотрел, если что).

[(Anonymous)]

Коммутативность сложения вроде бы доказывают (в каком порядке ни расположи две группы яблок, общее число будет одинаково). А аксиома и свойство это просто синонимы. Конечно, лучше бы чтобы это со школы подчёркивалось.

[difdufzariz.livejournal.com]

Насколько я понимаю, книга была не столько переработана, сколько дополнена двумя темами:
Hilbert plane и Hjelmslev groups.

Многие статьи по Hjelmslev groups, например
https://books.google.co.il/books?id=VQGZ5EawmwQC&pg=PA680
ссылаются непосредственно на немецкий текст второго издания Бахмана как первоначальный источник по Hjelmslev groups, поэтому странно, что его не перевели.

[xgrbml.livejournal.com]

Все верно, но если студент поймет, что характеристическая подгруппа - это частный случай нормальной, это будет уже серьезный прорыв в понимании. И отдельно нужно вырабатывать интуицию на то, что такое сопряжение.

[xgrbml.livejournal.com]

+ весьма много

[erendir.livejournal.com]

мне кажется, коммутативность даётся в виде аксиомы потому что она как бы снаружи. А граница этого "снаружи" -- определение вещественных чисел (причём это определение по другую сторону границы).

[certus.livejournal.com]

Дело в том, что принятые сейчас «концептуально правильные» определения зачастую несколько удалены от примеров, и преподавателю нужно прилагать серьёзные усилия, чтобы содержательная (и даже вычислительная) сторона вопроса не была обойдена стороной. Возьмём уже упоминавшийся выше в комментариях и обсуждавшийся у Шкробиуса определитель. Читая курс линейной алгебры, я предпочту ввести понятие определителя, во-первых, эндоморфизма векторного пространства, а не матрицы, во-вторых, используя понятие внешней алгебры над векторным пространством. Этот подход — абстрактный, но я его считаю концептуально правильным; при этом, на мой взгляд, в курсе обязательно нужно уделить существенное время разнообразным интерпретациям определителя (в том числе его связи с объёмом), вычислениям и т.п.

На мой взгляд, общая проблема в том, что из-за ограничений по времени показать важные объекты с разных сторон можно лишь имея очень тщательно продуманный курс, а его составлением и точным следованием плану утруждают себя, к сожалению, далеко не все преподаватели. Преподавать базовые математические курсы в университете на современном уровне — очень непростая работа, в первую очередь методически, и далеко не у всех преподающих есть склонность и интерес хорошо её организовать.

[brandt1.livejournal.com]

Спасибо за объяснение. По-видимому, этот подход имеет методологическую ценность в плане преподавания.

[revoltp.livejournal.com]

независимая от того, как мы назовем (а не перенумеруем). Так по-моему точнее.

[xaxam.livejournal.com]

Ну да, конечно. Просто математики обычно называют элементы а-первое, а-второе, а-энное ;-)

[xaxam.livejournal.com]

Коммутативность сложения - следствие того, что выложенные в ряд яблоки можно считать слева направо или справа налево - результат не изменится.

А коммутативность произведения - из того, что солдат в карре можно считать хоть по колоннам, хоть по шеренгам...

[revoltp.livejournal.com]

кстати, насколько помню, тождество Якоби алгебраически выражает геометрический факт. некоторое обобщение того, что перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

[xaxam.livejournal.com]

Да, это Арнольд обнаружил, http://www.maths.manchester.ac.uk/~khudian/Etudes/Geometry/jacidentandheights1.pdf и http://olympiads.mccme.ru/lktg/2006/4/4-1en.pdf

[revoltp.livejournal.com]

спасибо, очень кстати ссылка.
Я был уверен, что давным-известно. Кстати, конструкцию обобщенного треугольника (из прямых в пространстве, как по последней ссылке) я описываю в "эстетическая геометрия или теория симметрий".

[igor kustov (from livejournal.com)]

Я немножечко не в тему, точнее сбоку. Мне попалась вот на глаза книжка Visual Complex Analysis. Книга просто фантастическая, я никогда не думал, что можно вот так интуитивно преподавать математику.

Если не сталкивались - просто посмотрите и полистайте. http://www.amazon.com/Visual-Complex-Analysis-Tristan-Needham/dp/0198534469/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1442532308&sr=8-1&keywords=Visual+Complex+Analysis

[revoltp.livejournal.com]

С коммутативностью на мой взгляд другая проблема в школе. сложение и умножение - коммутативны. И ничего интересного в определении коммутативности школьник не получает. Т.к. известные ему бинарные операции - обладают этим свойством.
Вот если бы в начале знакомились с какими-то некоммутативными действиями, а потом у каких-то функций-действий обнаруживалось свойство коммутативности - это было бы интересно.
Это можно реализовать, если стартовать не со сложения и умножения, а с геометрии, симметрий. Некоторые симметрии коммутативны. И определение коммутативности поэтому оказывается содержательным и интересным.