![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avva(если вас не интересует высшая математика или вы не читаете по-английски, вам вряд ли будет интересна эта запись)
Математики любят говорить о том, как правильно надо преподавать математику. Мне не раз попадались высказывания в духе того, что линейная алгебра и абстрактная алгебра преподаются студентам-математикам в наше время так, что получаются выхолощенными от своей сути наборами технических определений. Британский математик Майлз Рид пишет об этом так выразительно, что захотелось процитировать (прошу прощения за длинную цитату по-английски):
"...The problem is that the abstract point of view in teaching leads to isolation from the motivations and applications of the subject. For example, differential operators are typical examples of linear maps, used all over pure and applied math, but it is a safe bet that the linear algebra lecturer will not mention them: after all, logically speaking, differentiation is more complicated than an axiom about T(av + bu), and working with infinite dimensional vector spaces would clearly needlessly disconcert the students. In the same way, if the applied people want students to study coordinate geometry in R^3, let them set up their own course - the student who understands that the applied lecturer's R^3 is an example of the algebra lecturer's vector spaces will be at an unexpected advantage. Similar examples occur at every point of contact between algebra and other subjects; under the system of abstract axioms, the algebraist is never going to take responsibility for relating to the applications of his subject outside algebra.
No subject has suffered as badly from the insistence on the abstract treatment as group theory. When I was a first year undergraduate in Cambridge in 1966, it had been more or less settled, presumably after some debate, that the Sylow theorems for finite groups were too hard for Algebra IA; since then, the notion of quotient group, and subsequently the definitions of conjugacy and normal subgroup have been squeezed out as too difficult for the first year. Thus our algebraists have cut out most of the course, but stick to the dogma that a group is a set with a binary operation satisfying various axioms. Groups can be taught as symmetry groups (geometric transformation groups), and the abstract definition of group held back until the student knows enough examples and methods of calculation to motivate all the definitions, and to see the point of isomorphism of groups.
The schizophrenia between abstract groups and transformation groups comes to the surface in some amusing quirks - for example, the textbooks that define an "abstract group of operators", or the students (year after year) who insist that the binary operation GxG->G on a group should satisfy closure under (g1,g2) -> g1g2 as one of the group axioms. It seems to me that the abstract approach has weaknesses even within the framework of abstract algebra. In recent years, the Warwick 3rd year has featured a course on Lie algebras. I've no doubt that the course is extremely well given, but it's still possible to find students who get good grades, and know all the bookwork in the course, but who still don't know that nxn matrices over R with bracket [A, B] = AB - BA is an example of a Lie algebra, and R^n with Av = matrix times a vector an example of a representation or a module. The student who knows just this one example can make good sense of the entire course. Of course, given a chance, any self-respecting geometer, applied mathematician or physicist would insist on muddling things up by differentiating the group law at the origin, and explaining what happens to the associative law, etc. Is it conceivable that there are people about who introduce the Jacobi identity as a bald axiom?"
Математики любят говорить о том, как правильно надо преподавать математику. Мне не раз попадались высказывания в духе того, что линейная алгебра и абстрактная алгебра преподаются студентам-математикам в наше время так, что получаются выхолощенными от своей сути наборами технических определений. Британский математик Майлз Рид пишет об этом так выразительно, что захотелось процитировать (прошу прощения за длинную цитату по-английски):
"...The problem is that the abstract point of view in teaching leads to isolation from the motivations and applications of the subject. For example, differential operators are typical examples of linear maps, used all over pure and applied math, but it is a safe bet that the linear algebra lecturer will not mention them: after all, logically speaking, differentiation is more complicated than an axiom about T(av + bu), and working with infinite dimensional vector spaces would clearly needlessly disconcert the students. In the same way, if the applied people want students to study coordinate geometry in R^3, let them set up their own course - the student who understands that the applied lecturer's R^3 is an example of the algebra lecturer's vector spaces will be at an unexpected advantage. Similar examples occur at every point of contact between algebra and other subjects; under the system of abstract axioms, the algebraist is never going to take responsibility for relating to the applications of his subject outside algebra.
No subject has suffered as badly from the insistence on the abstract treatment as group theory. When I was a first year undergraduate in Cambridge in 1966, it had been more or less settled, presumably after some debate, that the Sylow theorems for finite groups were too hard for Algebra IA; since then, the notion of quotient group, and subsequently the definitions of conjugacy and normal subgroup have been squeezed out as too difficult for the first year. Thus our algebraists have cut out most of the course, but stick to the dogma that a group is a set with a binary operation satisfying various axioms. Groups can be taught as symmetry groups (geometric transformation groups), and the abstract definition of group held back until the student knows enough examples and methods of calculation to motivate all the definitions, and to see the point of isomorphism of groups.
The schizophrenia between abstract groups and transformation groups comes to the surface in some amusing quirks - for example, the textbooks that define an "abstract group of operators", or the students (year after year) who insist that the binary operation GxG->G on a group should satisfy closure under (g1,g2) -> g1g2 as one of the group axioms. It seems to me that the abstract approach has weaknesses even within the framework of abstract algebra. In recent years, the Warwick 3rd year has featured a course on Lie algebras. I've no doubt that the course is extremely well given, but it's still possible to find students who get good grades, and know all the bookwork in the course, but who still don't know that nxn matrices over R with bracket [A, B] = AB - BA is an example of a Lie algebra, and R^n with Av = matrix times a vector an example of a representation or a module. The student who knows just this one example can make good sense of the entire course. Of course, given a chance, any self-respecting geometer, applied mathematician or physicist would insist on muddling things up by differentiating the group law at the origin, and explaining what happens to the associative law, etc. Is it conceivable that there are people about who introduce the Jacobi identity as a bald axiom?"
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-09-14 12:06 am (UTC)А так да. После физ.мат. школы я был уверен, что геометрия не нужна, все делается векторным исчислением. Мат.мех укрепил эту уверенность. и только позднее дело изменилось.
no subject
Date: 2015-09-14 12:26 am (UTC)Вы не могли бы посоветовать книжку или набор листков на эту тему?
no subject
Date: 2015-09-14 12:39 am (UTC)и есть сайт, где многое изложено http://bogemnyipeterburg.net/revolt/matem/teachpictures/index.html
no subject
Date: 2015-09-14 12:47 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 09:10 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 10:03 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:29 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 02:03 pm (UTC)В предисловии И.М. Яглом пишет, что получил от Ф. Бахмана письмо в котором он сообщил, что "работает сейчас над подготовкой нового переработанного и дополненного варианта своего сочинения; однако это будет, видимо, совершенно новая книга".
Новое издание вышло на немецком в 1973 году (Bachmann Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff) и тоже есть на сайте Genesis.
Судя по всему, это издание вообще не переводили ни на русский, ни на английский. Очень, очень странно.
no subject
Date: 2015-09-14 02:21 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 03:26 pm (UTC)Hilbert plane и Hjelmslev groups.
Многие статьи по Hjelmslev groups, например
https://books.google.co.il/books?id=VQGZ5EawmwQC&pg=PA680
ссылаются непосредственно на немецкий текст второго издания Бахмана как первоначальный источник по Hjelmslev groups, поэтому странно, что его не перевели.
no subject
Date: 2015-09-14 12:14 am (UTC)Про курс алгебр Ли в Варвике трудно судить - я там не был - но в тех местах где я был и преподавал (а я курс алгебр Ли преподавал несколько раз, и даже написал учебник), студент который "get good grades, and know all the bookwork in the course" не может не знать, что квадратные матрицы образуют алгебру Ли (и в частности, коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби). По-моему, этот пример идет первым в любой известной мне книге про алгебры Ли - включая классическую книгу Хампфри, которую используют в Варвике. Этот пример включен даже в краткое описание курса на веб-странице Варвика: http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/undergrad/ughandbook/year4/ma453/ Так что мне с трудом верится в слова Рида.
no subject
Date: 2015-09-14 05:18 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 06:13 am (UTC)То, что абстрактная группа должна впервые появляться именно как группа преобразований чего-либо, - по-моему, очевидно. После этого интересно поиграть со студентами в игру "угадай что-то" (интерпретировать Z как группу сдвигов бесконечного количества воробьёв на проводе, а Z_n - как хоровод). После этих примеров объяснить, что каждая группа действует на себе самой перестановками, - это просто беглое замечание, а не Важная Теорема.
Собственно, проблема в том, что стандартный подход к написанию текстов и чтению лекций, - аккуратно формализовать в виде определений то, что мы уже откуда-то знаем (угадали, поняли из примеров и т.д.). А читают эти тексты студенты, которые ещё не знают. Я отчётливо помню, что в первое время, когда я учил коммутативную алгебру и разные свойства идеалов, главным примером кольца для меня были именно целые числа, и, соответственно, поучительного применения теорем не получалось. Только случайно кто-то из старшекурсников мне сказал, что главное кольцо - это полиномы от одной и нескольких переменных с комплексными коэффициентами. Тут очень быстро всё встало на свои места, а уж перейти от полиномов к рядам (формальным или сходящимся) было просто детской игрой.
no subject
Date: 2015-09-14 07:50 am (UTC)Видимо, надо именно неторопливо: студенты, которые захотят остаться в науке, дальше сами разберутся.
no subject
Date: 2015-09-14 07:59 am (UTC)Я бы вообще начинал преподавание алгебры с серии разобранных примеров - полиномы, матрицы, подстановки/преобразования, геометрические симметрии... Хороши и примеры из анализа (умножение на функции как диагональный оператор, дифференцирование как нильпотентный), а потом сбивал бы с толку, рассмотрев дифференцирование на тригонометрических многочленах ;-) После этого становится очевидной необходимость в соответствующих понятиях, и с каждым понятием уже имеются "правильные" ассоциации.
ЕМНИП, учебник Кострикина примерно так устроен.
no subject
Date: 2015-09-14 12:14 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:35 pm (UTC)Собственно говоря, "чистая" теория групп, - почти такое же стерильное понятие, как теоретико-множественная топология: слишком бедная структура, чтобы про неё можно было доказывать интересные вещи. А, скажем, если мы пытаемся считать элементы групп (скажем, число разных элементов, представляемых словами длиной не выше n, как функцию от n) - тут-то и начинается красота...
no subject
Date: 2015-09-14 05:15 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 06:50 am (UTC)Если же преподавать лин. алгебру иил абстр. теорию групп вообще без примеров, то это просто-напросто значит, что студентам крайне не повезло с преподавателем. В случае с теорией групп это, собственно, и технически малореально: задачки же давать какие-то надо, а без примеров конкретных групп их будет недопустимо мало.
no subject
Date: 2015-09-14 07:00 am (UTC)У меня до сих пор остаётся впечатление, что связь между определителями и объёмами - это какая-то важная тайна, которую от студентов зачем-то тщательно скрывают. Время от времени даже возникает сомнение, может это я такой неравдивый был, прослушал, пропустил, прогулял, недопонял. Но ведь не я же один, четверо нас было, в том разговоре участвовавших, все с пятёрками по аналитической геометрии.
Другой пример с группами и подгруппами. Ну вот почему никто никогда не объясняет, что сопряжение - это означает "повернуть голову и посмотреть на группу с другой стороны"? Ок, у разных людей разный склад ума, но я не верю, что простейший пример с сопряженными подгруппами группы вращений куба, может кому-то навредить и кого-то запутать.
no subject
Date: 2015-09-14 07:11 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:19 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:35 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 08:10 am (UTC)Да, это большая беда: соответственно, мало кто понимает, что "нормальная подгруппа" - это подгруппа, не зависящая от того, как мы перенумеруем элементы группы.
Как без этого понимания рассказывать про связь линейных операторов с матрицами? зависимость фундаментальной группы от выбора отмеченной точки?
no subject
Date: 2015-09-14 09:32 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 03:40 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-15 09:39 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-16 04:28 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-16 04:39 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-16 04:51 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-16 05:15 am (UTC)Я был уверен, что давным-известно. Кстати, конструкцию обобщенного треугольника (из прямых в пространстве, как по последней ссылке) я описываю в "эстетическая геометрия или теория симметрий".
no subject
Date: 2015-09-14 12:23 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:56 pm (UTC)Но тем не менее подгруппы эти как-то очень сильно похожи! Человек, который смотрит на наш куб повернув голову набок может вообще их перепутать. В его системе отсчёта моя "вертикальная" ось горизонтальна и наоборот.
Подгруппы эти так похожи, потому что они сопряженные. Есть такой элемент x, что xA(x^-1) переводит подгруппу вращений вокруг вертикальной оси в подгруппу вращений вокруг горизонтальной. И этот элемент x - это как раз воответсвует переходу в другую систему отсчёта, "повороту головы".
Вспомните линейную алгебру. Есть у нас линейное преобразование, в нашем базисе оно описывается матрицей A. Как узнать, какой матрицей оно описывается в другом базисе? Берём матрицу X перехода между нашими базисами, перемножаем XA(X^-1) - это и есть то, что нам надо. Чтобы посмотреть на группу в другой системе координат ("повернуть голову") надо устроить такое вот сопряжение.
(Извиняюсь, если перепутал где писать "(^-1)" - забыл уже точное определение матрицы прехода.)
no subject
Date: 2015-09-15 07:14 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 08:36 am (UTC)Тут надо определиться. Если студенты не понимают примера с матрицами, то "extremely well given" - просто бред. Чувак что, дал немотивированное определение и не показал ни одного примера? И это extremely well?
С алгеброй Ли фигня же вот какая. Если алгебра имеет достаточно большую, но конечную, размерность (лень считать, но 10 - точно хватит), то тождество Якоби накладывает условий значительно больше, чем имеется структурных констант. A priori следует ожидать, что система несовместна. Поэтому не только extremely well given, но и самый захудалый курс должен первым делом обсудить, почему ЭТО вообще существует. Неужели при этом можно забыть про матрицы?
no subject
Date: 2015-09-14 09:14 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 12:38 pm (UTC)И это гадание на кофейной гуще, в любом случае, мы уж точно не знаем, что и как бы он понял.
no subject
Date: 2015-09-14 03:40 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 09:50 am (UTC)no subject
Date: 2015-09-14 02:55 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-16 04:37 am (UTC)А коммутативность произведения - из того, что солдат в карре можно считать хоть по колоннам, хоть по шеренгам...
no subject
Date: 2015-09-14 05:17 pm (UTC)no subject
Date: 2015-09-21 09:44 pm (UTC)Вот если бы в начале знакомились с какими-то некоммутативными действиями, а потом у каких-то функций-действий обнаруживалось свойство коммутативности - это было бы интересно.
Это можно реализовать, если стартовать не со сложения и умножения, а с геометрии, симметрий. Некоторые симметрии коммутативны. И определение коммутативности поэтому оказывается содержательным и интересным.
no subject
Date: 2015-09-14 05:52 pm (UTC)На мой взгляд, общая проблема в том, что из-за ограничений по времени показать важные объекты с разных сторон можно лишь имея очень тщательно продуманный курс, а его составлением и точным следованием плану утруждают себя, к сожалению, далеко не все преподаватели. Преподавать базовые математические курсы в университете на современном уровне — очень непростая работа, в первую очередь методически, и далеко не у всех преподающих есть склонность и интерес хорошо её организовать.
no subject
Date: 2015-09-17 11:25 pm (UTC)Если не сталкивались - просто посмотрите и полистайте. http://www.amazon.com/Visual-Complex-Analysis-Tristan-Needham/dp/0198534469/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1442532308&sr=8-1&keywords=Visual+Complex+Analysis