доказательство без вычислений

[avva]

Иррациональность квадратного корня из 2: геометрическое "доказательство без вычислений", придуманное Стэнли Тэнненбаумом в 60х:



Предположим, что есть два одинаковых квадрата с целой длиной сторон, так, что их площадь вместе равна площади большего квадрата с целой длиной сторон. Поместим эти два меньших квадрата в противоположные углы большего, как на картинке. Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него. Их пересечение - тоже квадрат, и области внутри большего квадрата, которые они не покрывают - еще два квадрата в двух других углах. Из-за того, что есть пересечение, два "непокрытых" квадрата размером меньше двух исходных. Поскольку площади исходных вместе дают площадь большого квадрата, сумма площадей "непокрытых" равна площади пересечения, т.е. "дважды покрытого". Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера. Значит, не существует минимального примера двух целых квадратов, в сумме дающих третий целый.

Comments

[softmaster.livejournal.com]

пропущено "возьмём наименьший квадрат с целой длиной стороны, делящийся на два целых квадрата"

[avva.livejournal.com]

Почему пропущено? Так, как вы предлагаете, это "возьмем минимальный контрпример, но вот есть еще меньше, противоречие". Так, как я написал, это "возьмем любой контрпример, есть еще меньше, значит, минимального быть не может (а следовательно и никакого)". Разница чисто стилистическая, по-моему.

[softmaster.livejournal.com]

в выводе "значит, не существует минимального...", но в посылке не было "существует минимальный..."

мне это показалось странным, я нашёл английский текст -

Assume that our a\times a square is the smallest such integer-by-integer square.

что мне кажется более логичным.
(впрочем, я не настаиваю %)

[ichthuss]

Если число может быть представлено в виде дроби, оно может быть представлено в виде несократимой дроби.

[francis-drake.livejournal.com]

Просто не очень привычная подача: обычно последняя фраза доказательства имеет форму или "…, противоречие с посылкой", или "…, чтд". Здесь из-за слова "минимального", которого нет в постановке задачи, рефлекторно парсится первый вариант, а имеется в виду второй, от которого отрезали тривиальный последний шаг.

[p-a-s-h-a.livejournal.com]

А мне кажется, что пропущена фраза в конце наподобие
"Так последовательно уменьшая, мы дойдем до минимального целого, которое может быть стороной квадрата (чтобы это был именно квадрат) до 1, а 1*1+1*1 < 2*2"

[avla.livejournal.com]

а, ну вот теперь понятно доказательство

[levtsn.livejournal.com]

прикольно

[(Anonymous)]

>Раз сумма их площадей равна площади большего, они должны пересекаться внутри него.

По-моему, здесь спрятались вычисления. Не вижу, чем доказательство этого утверждения проще, чем классическое доказательство иррациональности sqrt(2). Вроде как даже посложнее :)

[avva.livejournal.com]

"Белые пятна", т.е. непокрытые ими области, обязаны быть, потому что например ни один из двух квадратов не может "дотянуться" до левого верхнего угла, и как минимум белое пятно 1x1 там остается. Но если нет пересечения, то сумма большого квадрата - это сумма двух плюс белых пятен, значит, не может быть равенства.

[(Anonymous)]

Да, действительно.

[francis-drake.livejournal.com]

Если не пересекаются, то проведём диагональ из левого верхнего угла и скажем, что площадь каждого треугольника равна половине площади квадрата и строго больше (поскольку включает) площади своего маленького квадрата. Значит, сумма площадей маленьких квадратов строго меньше площади большого, противоречие.

Работает ли такое утверждение, или в части "поскольку включает" нужно доказывать наличие не пересекающейся с квадратом области положительной площади, что так же трудно?

[isk.livejournal.com]

напомнило https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадрирование_квадрата

[myugor.livejournal.com]

Изящно.

[arish.livejournal.com]

Симпатично. Но классическое геометрическое доказательство несоизмеримости единицы и корня из двух тоже ничего, и идея доказательства близкая. Есть, наверное, много где, но я в книге Радемахера и Теплица прочитала.

[timur0.livejournal.com]

Красиво!

[nechaman]

Да, симпатично, для тех, кто хорошо воспринимает геометрию. Но некоторым она кажется менее наглядной. Свойство характера....

[strangerdiary.livejournal.com]

Не понял как из этого следует иррациональность.
В смысле, почему величины меньших квадратов не могут быть выражены дробями типа 3/4 или 5/7.

[green-fr.livejournal.com]

Потому что их можно домножить на 28 и получить 21 и 20. А мы только что доказали, что целыми они быть не могут.

[avva.livejournal.com]

кроме того, что вам уже ответили, посмотрите на это так. Предположим, что корень из двух на самом деле рациональное число и равен дроби p/q. Тогда (возведя в квадрат и перенеся) мы видим, что 2*q^2 = p^2, или иными словами площадь двух квадратов с целой стороной q равна площади квадрата с целой стороной p. А мы как раз доказали, что этого не может быть.

[strangerdiary.livejournal.com]

Да, разобрался. Я как то пропустил логический шаг что все величины обязаны быть целыми.

[utnapishti.livejournal.com]

Замаскированное a/b=sqrt(2) => (2b-a)/(a-b)=sqrt(2) ;)

Да, красиво. Я люблю геометрический вариант "классического" доказательства ("если у квадрата и сторона и диагональ - целые числа, то то же самое верно для квадрата, диагональю которого является сторона исходного"), но там всё-таки нужно объяснить, почему диагональ исходного - чётное число.

доказательство-шутка

[megaserg.livejournal.com]

Докажем, что корень n-й степени из 2 иррационален при n>2.

Пусть существуют a целое, b натуральное, такие что root(2, n) = a/b.
Возведём в n-ю степень: 2 = a^n / b^n.
Умножим на b^n: 2 * b^n = a^n.
То есть, b^n + b^n = a^n, что при n>2 неверно по великой теореме Ферма.

[poopoopastor.livejournal.com]

Какая прелесть... Спасибо.

[israeltanin.livejournal.com]

Красиво.
Есть много теорем, имеющих паралельное доказательство в геометрии и аналитически. Осталось доказать эквивалентность гильбертовой аксиоматики и декартова пространства. Без вычислений :)

[rsokolov.livejournal.com]

Однако длины сторон "непокрытых" и "дважды покрытого" выражаются вычитанием из исходных длин, поэтому они тоже целые, и притом меньше исходного примера.

Вот это "поэтому" тут совершенно неочевидно.

[ichthuss]

Что же неочевидного? Что результат вычитания целых чисел будет целым, или что он будет меньше исходных величин?

[kosovsky-family.livejournal.com]

Мне кажется, это надо воспринимать не как доказательство иррациональности корня из двух, а как доказательство несоизмеримости сторон квадратов по площади отличающихся в два раза (например катет и диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника).
Я понимаю, что это точно то же самое, но зато вопрос, понятный и древним грекам :)
И кстати вопрос возникший в комментариях, как от рациональных чисел перейти к целым исчезает.

[gegmopo4.livejournal.com]

Вот чтобы не писать так много слов, математики и придумали нотацию.

[palatnik.livejournal.com]

Симпатичное продолжение этой идеи здесь:
http://arxiv.org/pdf/0909.4913v2.pdf