avva | о доказательствах от противного

...В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.

Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B"... Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B (¬ означает "не"). И вот из двух условий вместе нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!

Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие.

Добавлю несколько соображений.

Десять лет назад я написал подробную запись (слишком подробную, на мой взгляд теперь, мог бы и покороче) о том, почему доказывать A ⇒ B и доказывать ¬B ⇒ ¬A - на практике разные вещи, хотя с строго логической точки зрения они эквивалентны. Сказанное там имеет отношение к вышепроцитированным словам про док-во от противного. Мы предпочитаем опираться на равенство и доказывать равенство, а не опираться на неравенство и доказывать неравенство, при прочих равных. Мы предпочитаем опираться на существование какого-то X и доказывать существование какого-то Y, а не опираться на "для всех X" и доказывать "для всех Y", при прочих равных. Эти предпочтения часто помогают нам выбратьм что доказывать: A ⇒ B или ¬B ⇒ ¬A. Доказательство от противного утверждения типа A ⇒ B будет особенно удобным, если и A, и ¬B получаются в удобной форме: существование и/или равенство. Тогда действительно легко и удобно будет "опереться на два разных хвоста и мотать их совместно".

Вместе с тем, у доказательств от противного на практике часто обнаруживаются следующие недостатки:

1. Нередко бывает, что доказательство оформлено как док-во от противного, но "на самом деле" не пользуется совместной силой предположений A и ¬B. Вместо этого происходит следующее (иногда это чуть замаскировано риторикой): предполагаем A и ¬B, потом доказываем ¬A, но не пользуемся совсем предположением A при этом, и наконец заключаем "противоречие" между A и ¬A. Легко видеть, что на самом деле это попросту косвенное доказательство ¬B ⇒ ¬A; оформление его в виде "противоречия" ничего не добавляет, а наоборот, может скрыть степень конструктивности док-ва.

2. Наоборот, когда и A и ¬B нетривиально используются в достижении противоречия, иногда выходит такая ситуация, что значительную часть док-ва проводишь за исследованием свойств объектов, про которые заранее знаешь, что они не существуют, и эти свойства внутренне противоречивы, просто ты еще не придумал, как это противоречие вывести на поверхность. Это немного странное и контрпродуктивное ощущение. Если доказываешь прямо A->B, то хотя бы в процессе док-ва можешь узнать что-то новое и интересное про вещи, которые реально "существуют". Промежуточные этапы в доказательстве от противного скорее окажутся ни к чему не годными, не добавляющими к знаниям и интуиции итд.