загадочная сложность теории чисел
Oct. 7th, 2017 12:53 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaThe enigmatic complexity of number theory
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
Вопрос, который я сам себе не раз задавал, но насчет которого я тем не менее не уверен в том, насколько он осмыслен и интересен. Теория чисел - часть математики, которая изучает свойства целых чисел - вроде бы выделяется на фоне всех других математических дисциплин феноменальным количеством задач, которые просто сформулировать, но сложно решить. Сюда конечно относятся теорема Ферма и другие очень простые по формулировке и еще не решенные проблемы (гипотеза Гольдбаха: любое четное число можно представить в виде суммы двух простых; гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза Коллатца). Но по-моему дело не только в нерешенных или супер-тяжелых проблемах; теория чисел поражает также тем, как очень простые по формулировке утверждения требуют для своего доказательства "тяжелой артиллерии" из казалось бы, наивно говоря, более продвинутых областей математики.
В обсуждении по ссылке Скотт Ааронсон предлагает следующий ответ: арифметических действий с целыми числами достаточно, чтобы воплотить любой возможный алгоритм; отсюда следует, что уже даже относительно простые утверждения о целых числах могут упираться в фундаментальные ограничения типа "это невозможно доказать в принципе": теоремы Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки итп. Таким образом, в теории чисел неразрешимые задачи лежат буквально за углом, и расстояние о тривиальных фактов до них относительно невелико. Поэтому быстро приходят к сложным вопросам, которые еще разрешимы (скорее всего), но уже близки к неразрешимым.
Не уверен, что мне нравится этот ответ: то, что диофантовы уравнения упираются в неразрешимость в общем виде, это одно; а то, что мы не знаем, как решать даже очень просто выглядящие такие конкретные уравнения (пример из обсуждения: x^3+y^3 = z^3+33, неизвестно, есть ли решение у этого уравнения в целых числах) - другое, и мне не кажется очевидным, что эти две сложности друг с другом связаны. Но другого ответа у меня нет. Более того, нет даже уверенности, что этот вопрос осмыслен - возможно, это артефакт того, как мы определяем различные дисциплины в математике и то, что в них считается базисным-тривиальным?
no subject
Date: 2017-10-13 02:25 am (UTC)Мы конечно не можем всегда знать абсолютную истину (а утверждения о бесконечностях претендуют именно на абсолют). Но абсолютная истина от этого не исчезает, она существует объективно, независимо от сознания.
К абсолютной истине мы можем приближаться через серию относительных истин. В частности, утверждение о парах близнецов может быть практически проверено с большей или меньшей точностью, причём эта точность прогрессивно растёт.
Об этом ещё Ленин писал, когда ругал релятивизм:
Это рассуждение чрезвычайно важно по тому вопросу о релятивизме, принципе относительности наших знаний, который подчеркивается всеми махистами. Махисты все настаивают на том, что они релятивисты, — но махисты русские, повторяя словечки вслед за немцами, боятся или не умеют ясно и прямо поставить вопрос об отношении релятивизма к диалектике. Для Богданова (как и для всех махистов) признание относительности наших знаний исключает самомалейшее допущение абсолютной истины. Для Энгельса из относительных истин складывается абсолютная истина. Богданов — релятивист. Энгельс — диалектик.
...
С точки зрения современного материализма, т. е. марксизма, исторически условны пределы приближения наших знаний к объективной, абсолютной истине, но безусловно существование этой истины, безусловно то, что мы приближаемся к ней.
...
Релятивизм, как основа теории познания, есть не только признание относительности наших знаний, но и отрицание какой бы то ни было объективной, независимо от человечества существующей, мерки или модели, к которой приближается наше относительное познание. С точки зрения голого релятивизма можно оправдать всякую софистику, можно признать "условным", умер ли Наполеон 5-го мая 1821 года или не умер, можно простым "удобством" для человека или для человечества объявить допущение рядом с научной идеологией ("удобна" в одном отношении) религиозной идеологии (очень "удобной" в другом отношении) и т. д.
Диалектика, — как разъяснял еще Гегель, — включает в себя момент релятивизма, отрицания, скептицизма, но не сводится к релятивизму. Материалистическая диалектика Маркса и Энгельса безусловно включает в себя релятивизм, но не сводится к нему, т.е. признает относительность всех наших знаний не в смысле отрицания объективной истины, а в смысле исторической условности пределов приближения наших знаний к этой истине.