о лейбнице и простых числах

[avva]

Я обнаружил курьезный факт, который не очень широко известен, кажется:

В 1678-м году французский академический журнал Journal des sçavans (стр. 75) опубликовал письмо Лейбница редактору журнала, в котором Лейбниц рассказывает о новом свойстве простых чисел, которое он открыл: все простые числа больше 5 обязательно либо на 1, либо на 5 больше числа, кратного шестерке. Иными словами, любое простое число больше 5 можно записать в форме 6n+1 либо 6n+5 для какого-то n. Иными словами, при делении на 6 оно обязательно дает остаток 1 или 5.

Скан оригинала по-французски; не уверен, что есть перевод на другие языки, но в любом случае там написано ровно то, что выше, ничего больше интересного нет:


Вкратце объяснение, что здесь курьезного (математики среди читателей это уже поняли, у них фейспалм сейчас). Простые числа - те, которые не делятся ни на какие другие, кроме 1 и самих себя. Любое число при делении на 6 дает один из остатков 0,1,2,3,4,5. Но если оно дает остаток 0, 2 или 4, то оно делится на 2, то есть не простое (кроме самой двойки). Если дает остаток 3, то делится на 3, опять не простое. Остаются остатки 1 и 5, так что неудивительно, что любое простое число больше 5 должно давать один из этих остатков. Это совершенно тривиальный результат, не заслуживающий статьи в журнале (да, даже в 1678-м году). Странно и любопытно, что Лейбниц, который примерно в те годы открыл интегральное исчисление (параллельно с Ньютоном) и делал другие серьезные открытия в математике, не заметил этой тривиальности и описал этот факт как интересное и многообещающее открытие.

Comments

[dmitrmax.livejournal.com]

Возможно, накануне в этом же журнале вышла другая статья не менее очевидного характера и Лейбниц таким образом поиздевался на редактором и мы имеем дело с троллингом?

[avva.livejournal.com]

Журнал выходил тогда раз в год. Вроде бы ничего такого не было, хотя я не искал специально.

[alon_68]

О, значит, современное savant - это упрощение написания sçavant, т.е. от того же корня, что и science.

[roman-kr.livejournal.com]

Интересно, насколько этот факт был тривиальным для древних греков?

[timofeikoryakin.livejournal.com]

Интегральное-то исчисление тут при чём? Тут, по идее, надо ставить вопрос, занимался ли Лейбниц до этого проблемами делимости и простыми числами. Лень копать, но, скорее всего, нет и это его первый подход к снаряду. И за пять лет он прошёл дистанцию от этого наблюдения до доказательства малой теоремы Ферма...

[akor168.livejournal.com]

то совершенно тривиальный результат, не заслуживающий статьи в журнале (да, даже в 1678-м году).

Очень спорное утверждение.
Зададимся двумя вопросами - даже тривиальное утверждение кто-то должен записать и описать.

Второй - насколько сам метод подсчета остатков НЕТРИВИАЛЕН. Если это первое его изложение, то тем более надо было его проиллюстрировать. Заметим, современные дети этот метод сами НЕ изобретают. Его надо специально им рассказывать, и те, кому рассказали, получают большое преимущество на олимпиадных задачках на делимость.

[avva.livejournal.com]

Но в статье нет метода подсчета остатков. Там чистое утверждение, типа "я заметил, что простые числа устроены вот так: от любого из них можно отнять 1 или 5 и получить кратное шестерки".

И все-таки это через 13 лет после смерти Ферма.

[akor168.livejournal.com]

То есть сам Лейбниц даже не знал метода получается. А он хоть доказал утверждаемый факт?

И очень возможно, что единственный человек в то время, для которого это было тривиально(или даже единственный который вообще мог это строго доказать) был Пьер Ферма, который еще и умер к тому времени.

[avva.livejournal.com]

По его письму трудно понять, доказал или нет, тогда было обычным делом посылать утверждения без доказательств. Мне кажется более вероятным, что "заметил", а не "доказал".

Как указали выше, пять лет спустя Лейбниц доказал малую теорему Ферма (по крайней мере так считается - это в неопубликованных при жизни бумагах и впервые всплыло в начале 20-го века, мне интересно было бы посмотреть на само док-во, и я пока не нашел его публикации), что было действительно серьезным для того времени результатом.

Вполне возможно, что это действительно были его первые шаги с простыми числами, и аргумент с остатками был бы для него вполне тривиальным, просто он его не заметил. А через пять лет, возможно, он сам фейспалмился на эту тему.

Где-то я видел упоминание о том, что это "открытие" очень часто повторяют математики-дилетанты. Представьте себе, вы смотрите на список простых чисел и пытаетесь всеми силами обнаружить какие-то регулярности. И вдруг замечаете, что они всегда рядом с кратными шестерки, либо меньше на 1, либо больше. Разве не замечательный факт, на первый взгляд?

[akor168.livejournal.com]

Впрочем доказывать там конечно нечего, делители у чисел вида 6n,6n+2,6n+3, 6n+4 очевидны без всяких методов. Хотя, отмечу, что мы не замечаем таких мелочей, что сама идея записывать числа как 6n+r нетривиальна.

[akor168.livejournal.com]

Забавно, но по гамбургскому счету ВСЕ тогдашние математики и были дилетантами. Новую науку начинают двигать именно они, ибо профессионалов или людей с опытом просто физически нет. И лишь потом мы, потомки, оцениваем их достижения на конец жизни и они бывают очень впечатляющими.

[utnapishti.livejournal.com]

А как ты это обнаружил? Читал себе Journal des sçavans за 1678 год - и вдруг?..

[avva.livejournal.com]

Именно так, да :)

Я прочитал блог-запись о том, что происходит, если у любого числа суммировать квадраты цифр, потом повторить: приходим либо к 1, либо к небольшому циклу, начинающемуся на 4:
https://www.johndcook.com/blog/2018/03/24/squared-digit-sum/

Там была ссылка на статью со строгим док-вом этого факта, статья 1945 года:
https://oeis.org/A003621/a003621.pdf

На последней странице статьи есть небольшой текст об этом письме Лейбница, по-видимому никак не связанный с самой статьей, а просто курьезный факт, который включили в журнал 1945 года, и попало на одну страницу с концом статьи. Мне это показалось очень интересным, и я начал искать подтверждения; номер страницы не был указан, и даже название было написано с опечаткой. Быстро нашел текст журнала за 1678 год (только один выпуск), но листать все 454 страницы не хотелось, и в оглавлении в конце имя Лейбница не нашел. Поиск дополнительных сведений об этой публикации Лейбница занял довольно долгое время и убедил меня в том, что это довольно-таки малоизвестный факт, но в конце-концов в какой-то французской публикации о теории чисел в 17-м веке, хоть там тоже не обсуждали специально это письмо, в библиографии нашлась ссылка с точным номером страницы...

[(Anonymous)]

1) Если вы посмотрите, сколько решений олимпиадных задач начинаются фразой "заметим, что простые числа имеют вид 6n+-1", то поймете, насколько полезно это наблюдение.
2) Многие современные математики (вплоть до Гротендика) отмечали, что сейчас есть тенденция переоценивать технически сложные доказательства, в том числе и как меру ценности для публикации в журнале. Между тем есть много важных результатов, в которых ценна формулировка, доказательство же (после того, как утверждение сформулировано!) является простым упражнением для любого математика.

Можно получить сколько угодно просто доказываемых утверждений компьютерной генерацией, но гениальный математик нужен, чтобы записать и опубликовать то тривиальное замечание, которое окажется плодотворным.

[xgrbml.livejournal.com]

Старая орфография забавная такая. И простые числа называют primitifs (сейчас - premiers).

[xgrbml.livejournal.com]

А Лейбниц публиковал такое доказательство? (И да, для того времени это было весьма серьезно.)

[xgrbml.livejournal.com]

Это не троллинг. Все когда-то бывает в первый раз, в том числе и идея "посмотри на остатки".

[(Anonymous)]

Тут возникает вопрос, а в чём полезность/нетривиальность этого факта и заслуживает ли он статьи, даже в 1945 году? Очевидно же, что итерация суммы любых степеней цифр числа ведёт себя так же: приводит к одному из конечного набора циклов. Для степени 1 будет один цикл длины 1. Почему важно, что для степени 2 будет два цикла с длинами 1 и 8? Гораздо интереснее было бы описать структуру таких циклов для всех степеней.

[boris sivko (from livejournal.com)]

Через решето Эратосфена этот факт бы не прошёл.

[(Anonymous)]

я подозреваю что криптографы то дис пор тащатся от этого свойства ;-) (Особенно те кому разбираться с RSA/TLS/etc)

[avva.livejournal.com]

Не знаю, что вам сказать - я в общем согласен, что математически это не выглядит особо интересной теоремой, хоть я и не математик.

[utnapishti.livejournal.com]

Я нашёл упоминание об этом факте в нескольких немецкоязычных текстах. Вот, например (кажется, несколько иронический) отрывок из главы о теории чисел из книги: Moritz Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik:

Leibniz hat 1678 es für mittheilungswürdig gehalten, dass Primzahlen stets einer der Formen 6n-1 oder 6n-5 angehören, nicht einmal dahin sich erhebend, die beiden Formen als 6n +/- 1 zu vereinigen.

"Лейбниц в 1678 посчитал достойным заметки [в смысле, короткой статьи, как note] тот факт, что простые числа всегда имеют форму 6n-1 или 6n-5, даже не продвинувшись [дословно-буквально: ни разу не возвысившись] до того, чтобы объединить обе формулы в 6n +/- 1."

В примечании к этому месту написано, что Лейбниц не был первым, кто обратил внимание на этот факт: он упоминается раньше в работе Numerorum Mysteria (1599) автора Pietro Bongo (Petrus Bungus).


Я думаю, что причина курьёза состоит в том, что математика в то время была ещё слабо систематизирована, и ещё в значительной мере состояла в накоплении фактов, вперемежку глубоких и "элементарных". И в наше время иногда бывает, что "настоящий" математик, специализирующийся в какой-то области, не знает почти элементарных фактов из другой области, но а тогда-то тем более.

[avva.livejournal.com]

Здорово, спасибо!

[buddy-z.livejournal.com]

Интересно, много ли современных биологов сделают фейспалм если им напомнить что функция сердца в циркуляции крови была открыта в 1628 году. Уильям Харви аж две книги написал по этому поводу, во даёт мужик!

[siticen.livejournal.com]

Не совсем так: The verb was for a long time spelled sçavoir from Middle French until the 18th century, by false regression to Classical Latin scīre "to know". (https://en.wiktionary.org/wiki/savoir#Etymology)