три задачки

[avva]

Три задачки разной степени сложности, но все непростые. Не закрываю комментарии. Кажется, все - из ФБ-группы головоломок.

1. Не судоку! Надо вписать цифры 1,2,3,4 в некоторые пустые клетки, так чтобы выполнялись два условия:

- в каждой строке и в каждом столбце цифры 1,2,3,4 встречаются ровно по одному разу
- в каждом квадратике 2x2 из соседних клеток хотя бы одна (из этих четырех клеток квадратика) остается пустой

У задачи есть единственное верное решение.



2. Эта версия известной задачи про сумму и произведение возрастов детей принадлежит покойному Джону Конвею.

Вчера вечером в автобусе я услышал разговор двух волшебников:
A: «У меня целое положительное количество детей; возраст каждого из них - натуральное число. Если ты сложишь их возраста, то получишь номер этого автобуса. Если ты перемножишь их возраста, то получишь мой собственный возраст».
Б: «Как интересно! Если ты назовешь свой возраст и скажешь, сколько у тебя детей, смогу ли я узнать их возраста?»
A: «Нет, не сможешь!»
Б: «Ага! Но теперь я знаю, сколько тебе лет!»
Какой номер у автобуса?

3. Дана последовательность чисел, определенная следующим образом:

a_1 = a_2 = 1, a_{n+1} = 14a_n - a_{n-1} - 4

Доказать, что все ее члены - точные квадраты.