гномы на досках
Jun. 11th, 2022 11:50 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТематическая подборка! Три задачки про гномов на досках. Первая и третья авторства А. Шаповалова, вторая А. Грибалко.
В порядке от простого к сложному, хотя все три не очень сложные, как мне кажется.
1. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). На каждой клетке доски 4×4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы и рыцари. Каждый гном заявил: «Среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну». Сколько всего лжецов?
("соседи" означает по прямым линиям, не наискосок)
2. Девять гномов трижды становились по одному в клетки квадрата 3×3, и каждый раз гномы, оказавшиеся в соседних по стороне клетках, здоровались. Докажите, что какие-то два гнома так и не поздоровались.
(опять-таки, соседних "по стороне", не наискосок)
3. На каждой клетке доски 7x7 стоит по гному. Если два гнома стоят рядом друг с другом (по сторонам, не наискосок), то длины их бород различаются не больше, чем на 1 дюйм. Теперь мы берем всех этих гномов и рассаживаем вдоль круглого стола. Докажите, что можно это сделать так, чтобы опять два соседних гнома не отличались по длине бород больше, чем на 1 дюйм.
В порядке от простого к сложному, хотя все три не очень сложные, как мне кажется.
1. Все гномы делятся на лжецов и рыцарей (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). На каждой клетке доски 4×4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы и рыцари. Каждый гном заявил: «Среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну». Сколько всего лжецов?
("соседи" означает по прямым линиям, не наискосок)
2. Девять гномов трижды становились по одному в клетки квадрата 3×3, и каждый раз гномы, оказавшиеся в соседних по стороне клетках, здоровались. Докажите, что какие-то два гнома так и не поздоровались.
(опять-таки, соседних "по стороне", не наискосок)
3. На каждой клетке доски 7x7 стоит по гному. Если два гнома стоят рядом друг с другом (по сторонам, не наискосок), то длины их бород различаются не больше, чем на 1 дюйм. Теперь мы берем всех этих гномов и рассаживаем вдоль круглого стола. Докажите, что можно это сделать так, чтобы опять два соседних гнома не отличались по длине бород больше, чем на 1 дюйм.
