о разложении многочленов
Jul. 21st, 2022 08:15 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaУ меня есть небольшое "слепое пятно" в элементарном матанализе, один важный факт, который должен быть очевидным и хорошо понятным, но у меня в голове он в свое время почему-то не уложился в университетские времена, и с тех пор все время выскальзывает. Это тот факт, что любой многочлен с вещественными коэффициентами от одной переменной раскладывается на множители степени 1 или 2 - линейные или квадратичные.
Почему-то интуитивное представление в голове остается такое, что всякие многочлены высоких степеней обычно неприводимы (не раскладываются на множители), типа возьми какой-нибудь x^6+30x^5-7x^2+300, и ничего с ним не сделать. В комплексных числах, понятно, все раскладывается, есть n корней у многочлена степени n (возможно, с повторениями). Но в вещественных - с чего бы это? Но это интуитивное представление совершенно неверно. Может, это смешалось с многочленами над рациональными числами - там намного хуже с разложимостью. Или, это даже более логично, у меня это смешалось с тем, что у многочленов степени 5 и выше не существует формулы нахождения корней (знаменитая теорема Абеля, "неразрешимость в радикалах").
Так или иначе, любой такой многочлен раскладывается на множители степени 1 или 2. Есть очень простое доказательство этого, но оно требует знания комплексных чисел и фундаментальной теоремы алгебры. Согласно этой теореме, у многочлена P(x) с вещественными коэффициентами есть комплексный корень. Если этот корень на самом деле вещественный, то P(x) делится без остатка на x-a, можно поделить и свести вопрос к многочлену меньшей степени. Если же он вида a+bi, то легко проверить, что если P(a+bi)=0, то и P(a-bi)=0, т.е. сопряженное к корню число a-bi тоже корень. Тогда над комплексными числами P(x) делится на (x-(a+bi)) и (x-(a-bi)), значит и на их произведение, но оно равно квадратному многочлену (x-a)^2+b^2, что и требовалось доказать. Попросту говоря, комплексные корни идут сопряженными парами.
Мне стало любопытно, есть ли у этого факта простые доказательства, не использующие комплексные числа. В math.stackexchange упоминают, что из этого факта очень легко дойти до фундаментальной теоремы алгебры, так что, учитывая предыдущий абзац, они практически эквивалентны. В википедии есть набросок аргумента, восходящего к Гауссу (в разделе "Real-analytic proofs"), но там только набросок, если кто-то знает, где это доказывается подробно таким методом, буду признателен за ссылку (попробую сам тоже, да).
Почему-то интуитивное представление в голове остается такое, что всякие многочлены высоких степеней обычно неприводимы (не раскладываются на множители), типа возьми какой-нибудь x^6+30x^5-7x^2+300, и ничего с ним не сделать. В комплексных числах, понятно, все раскладывается, есть n корней у многочлена степени n (возможно, с повторениями). Но в вещественных - с чего бы это? Но это интуитивное представление совершенно неверно. Может, это смешалось с многочленами над рациональными числами - там намного хуже с разложимостью. Или, это даже более логично, у меня это смешалось с тем, что у многочленов степени 5 и выше не существует формулы нахождения корней (знаменитая теорема Абеля, "неразрешимость в радикалах").
Так или иначе, любой такой многочлен раскладывается на множители степени 1 или 2. Есть очень простое доказательство этого, но оно требует знания комплексных чисел и фундаментальной теоремы алгебры. Согласно этой теореме, у многочлена P(x) с вещественными коэффициентами есть комплексный корень. Если этот корень на самом деле вещественный, то P(x) делится без остатка на x-a, можно поделить и свести вопрос к многочлену меньшей степени. Если же он вида a+bi, то легко проверить, что если P(a+bi)=0, то и P(a-bi)=0, т.е. сопряженное к корню число a-bi тоже корень. Тогда над комплексными числами P(x) делится на (x-(a+bi)) и (x-(a-bi)), значит и на их произведение, но оно равно квадратному многочлену (x-a)^2+b^2, что и требовалось доказать. Попросту говоря, комплексные корни идут сопряженными парами.
Мне стало любопытно, есть ли у этого факта простые доказательства, не использующие комплексные числа. В math.stackexchange упоминают, что из этого факта очень легко дойти до фундаментальной теоремы алгебры, так что, учитывая предыдущий абзац, они практически эквивалентны. В википедии есть набросок аргумента, восходящего к Гауссу (в разделе "Real-analytic proofs"), но там только набросок, если кто-то знает, где это доказывается подробно таким методом, буду признателен за ссылку (попробую сам тоже, да).
