формула n-мерного шара и вызов арнольда
Sep. 28th, 2022 09:39 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaСжал зубы и заставил себя вывести формулу объема n-мерного шара, никуда не подглядывая и ничем не пользуясь. Не помнил ничего об этом, кроме площади круга (даже трехмерного шара не помнил). Мотивацией послужила задача из Математического тривиума Арнольда, который я читаю и грустно думаю о том, про сколько задач в нем я могу сказать, что вижу прямой путь к решению (наверное, около десяти из ста).
Интересно, действительно ли сильный студент-физик может решить все сто задач, разумеется не за три часа, как Арнольд говорит на каком-то видео (это безумие), но за какое-то разумное время? А как насчет математика, сколько из этих 100 задач сможет решить, скажем, лектор-математик в среднего уровня университете?
В общем, задача номер 9: "Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него шара? А от десятимерного?"
Конечно, можно посмотреть формулы объема, но я подумал, что вроде никогда их не выводил сам, и что наверное должен смочь. Если кому-то интересно, что у меня вышло, то можно прочитать здесь. Наверняка можно проще к этому придти, но я доволен тем, что у меня получилось. Всю жизнь я боюсь интегралов и чувствую себя неуверенно с ними, и не помню, что с ними делать, но тут заставил себя разобраться и дошел до хорошего результата. Ответ на вопрос Арнольда, кстати, это примерно 15% от пятимерного куба и 0.05% от десятимерного, если я нигде в арифметике не ошибся. Я знал, что объем единичного шара очень быстро уменьшается относительно размера куба, в который он вписан, когда растет размерность - это известный пример контринтуитивного геометрического факта. А вот можно ли как-то на пальцах геометрически "объяснить", почему множители пи добавляются только каждое второе измерение - это я с удовольствием бы прочитал, если кто знает. Это априори кажется немного странным.
P.S. Да, я посмотрел после этого в википедии, есть еще эксплицитная формула через гамма-функцию, ну это не про нас, мы люди простые, сельские, я еле-еле помню, что это такое вообще. В этой формуле все получается гладко без скачков "по две размерности"; скажем, там в числителе pi^(n/2), а для нечетных n еще корректирующий фактор sqrt(pi) добавляет значение гамма-функции. Это более гладко, но мне не вполне понятно, можно ли сказать, что это более "фундаментально".
Интересно, действительно ли сильный студент-физик может решить все сто задач, разумеется не за три часа, как Арнольд говорит на каком-то видео (это безумие), но за какое-то разумное время? А как насчет математика, сколько из этих 100 задач сможет решить, скажем, лектор-математик в среднего уровня университете?
В общем, задача номер 9: "Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него шара? А от десятимерного?"
Конечно, можно посмотреть формулы объема, но я подумал, что вроде никогда их не выводил сам, и что наверное должен смочь. Если кому-то интересно, что у меня вышло, то можно прочитать здесь. Наверняка можно проще к этому придти, но я доволен тем, что у меня получилось. Всю жизнь я боюсь интегралов и чувствую себя неуверенно с ними, и не помню, что с ними делать, но тут заставил себя разобраться и дошел до хорошего результата. Ответ на вопрос Арнольда, кстати, это примерно 15% от пятимерного куба и 0.05% от десятимерного, если я нигде в арифметике не ошибся. Я знал, что объем единичного шара очень быстро уменьшается относительно размера куба, в который он вписан, когда растет размерность - это известный пример контринтуитивного геометрического факта. А вот можно ли как-то на пальцах геометрически "объяснить", почему множители пи добавляются только каждое второе измерение - это я с удовольствием бы прочитал, если кто знает. Это априори кажется немного странным.
P.S. Да, я посмотрел после этого в википедии, есть еще эксплицитная формула через гамма-функцию, ну это не про нас, мы люди простые, сельские, я еле-еле помню, что это такое вообще. В этой формуле все получается гладко без скачков "по две размерности"; скажем, там в числителе pi^(n/2), а для нечетных n еще корректирующий фактор sqrt(pi) добавляет значение гамма-функции. Это более гладко, но мне не вполне понятно, можно ли сказать, что это более "фундаментально".
