![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТри способа взять производную функции y = x^x (икс в степени икс): инстинктивный, выпендрежный, концептуальный.
Инстинктивный: переводим ее в степень числа е. Поскольку x = e^ln x, x^x = (e^ln x)^x = e^(x*ln x). У этого выражения легко взять производную по правилу сложной фунцкии, выходит e^(x*ln x) * (x*ln x)' = [опустим подробности] = x^x(1+ln x).
Выпендрежный: в выражении y = x^x возьмем натуральный логарифм обеих сторон: ln y = x*ln x. Теперь возьмем производную обеих сторон, слева по правилу сложной функции: (1/y)*y' = x*1/x + ln x = 1+ln x. Перенесем y вправо:
y' = y(1+ln x) = x^x(1+ln x).
Концептуальный (спасибо Г.Мерзону в пересказе П.Пушкаря): Рассмотрим функцию двух переменных G(s,t) = s^t. Если s и t сами фунцкии от x, то полный дифференциал dG/dx берется по правилу сложной функции и равен G_s*s' + G_t*t', где G_s обозначает частичную производную по s итд. Теперь подставим s(x)=x, t(x)=x, тогда s'=t'=1, и надо всего лишь взять частные производные по s и t, заменить в них переменные на x и сложить.
Или в чеканной формулировке: "надо продифференцировать по одному иксу (считая второй постоянным), потом по другому — с ответами неясно что делать — так давайте их сложим."
Если задуматься, ровно такое же правило помогает найти производную произведения f(x)g(x) (правило Лейбница). Надо продифференциировать по одному иксу, считая второй постоянным: f'g, потом по второму - fg', с ответами неясно что делать - так давайте их сложим!
А если совсем заходить в абсурд, то таким же образом с помощью сложной функции от двух переменных можно вывести... правило производной суммы: f(x) + g(x), если предполагать известным, что от добавления *константы* производная не меняется. Дифференциируем по одному иксу, считая второй постоянным: f'(x)+0, по второму: 0 + g'(x), складываем.
Т.е. выходит (я не вполне всерьез), что + в f'(x)+g'(x) не восходит к плюсу в f(x)+g(x), а на самом деле появляется оттуда же, откуда появляется плюс в правиле Лейбница, в формуле для деления, наконец в формуле для x^x. А именно, все эти плюсы возникают оттого, что умножая две матрицы размером 1x2 и 2x1 (матрицы Якоби), мы перемножаем соответствующие элементы и складываем результат.
Инстинктивный: переводим ее в степень числа е. Поскольку x = e^ln x, x^x = (e^ln x)^x = e^(x*ln x). У этого выражения легко взять производную по правилу сложной фунцкии, выходит e^(x*ln x) * (x*ln x)' = [опустим подробности] = x^x(1+ln x).
Выпендрежный: в выражении y = x^x возьмем натуральный логарифм обеих сторон: ln y = x*ln x. Теперь возьмем производную обеих сторон, слева по правилу сложной функции: (1/y)*y' = x*1/x + ln x = 1+ln x. Перенесем y вправо:
y' = y(1+ln x) = x^x(1+ln x).
Концептуальный (спасибо Г.Мерзону в пересказе П.Пушкаря): Рассмотрим функцию двух переменных G(s,t) = s^t. Если s и t сами фунцкии от x, то полный дифференциал dG/dx берется по правилу сложной функции и равен G_s*s' + G_t*t', где G_s обозначает частичную производную по s итд. Теперь подставим s(x)=x, t(x)=x, тогда s'=t'=1, и надо всего лишь взять частные производные по s и t, заменить в них переменные на x и сложить.
Или в чеканной формулировке: "надо продифференцировать по одному иксу (считая второй постоянным), потом по другому — с ответами неясно что делать — так давайте их сложим."
Если задуматься, ровно такое же правило помогает найти производную произведения f(x)g(x) (правило Лейбница). Надо продифференциировать по одному иксу, считая второй постоянным: f'g, потом по второму - fg', с ответами неясно что делать - так давайте их сложим!
А если совсем заходить в абсурд, то таким же образом с помощью сложной функции от двух переменных можно вывести... правило производной суммы: f(x) + g(x), если предполагать известным, что от добавления *константы* производная не меняется. Дифференциируем по одному иксу, считая второй постоянным: f'(x)+0, по второму: 0 + g'(x), складываем.
Т.е. выходит (я не вполне всерьез), что + в f'(x)+g'(x) не восходит к плюсу в f(x)+g(x), а на самом деле появляется оттуда же, откуда появляется плюс в правиле Лейбница, в формуле для деления, наконец в формуле для x^x. А именно, все эти плюсы возникают оттого, что умножая две матрицы размером 1x2 и 2x1 (матрицы Якоби), мы перемножаем соответствующие элементы и складываем результат.
