про планеты

[avva]

Красивую задачку прислали:

В пустом пространстве находится какое-то количество непересекающихся сфер одинакового размера (планет). На поверхности каждой планеты могут быть темные регионы - это места, откуда не видно других планет (или с поверхности других планет невозможно увидеть эти места, что эквивалентно). Какова суммарная площадь всех темных регионов?

Понять, каким должен быть ответ, довольно легко, а вот доказать сложно.

Я доказал для двумерной версии, а для трехмерной несколько затрудняюсь пока.

Comments

[vak]

Вроде как суммарная площадь всех темных регионов должна быть равна площади поверхности одной планеты.

Можно доказать, если переместить объёмные углы тёмных регионов параллельным переносом к общему центру. Может помочь обтянуть все планеты виртуальным эластичным «чулком». Он прилипнет к поверхностям ровно по тёмным регионам. Это легко доказать.