задачка: три подряд

[avva]

Забавную задачку прислали. В ней нет глубокого или особенно сложного, но мне понравилось решать:

Алиса и Боб по очереди кидают игральную кость (каждый бросок дает случайное число от 1 до 6). Первой бросает Алиса. Как только какое-то число выпадет три раза подряд, игра заканчивается и побеждает тот, чей бросок был последним (третьим с одинаковым числом). Какова вероятность Алисы победить?

Как обычно в таких задачах из теории вероятности, ее можно решить несколькими разными способами. Я не буду скрывать комментарии, учтите, что в них могут быть спойлеры. Если вы решили и хотите поделиться ответом, объясните также ваше решение, иначе неинтересно! Удачи!

Comments

[amarao]

При этом три раза подряд у одного игрока или у обоих? Т.е. А 1, Б 1, А 1 - Алиса победила или нет?

[ilyadond]

Пусть вероятность выигрыша Алисы P(A), Боба - P(B).
Дальше пусть Х - событие, что первая кость Боба отличается от первой кости Алисы. Если Х произошло, то положения Боба и Алисы меняются местами, т.е. условная вероятность победы Боба в этом случае становится P(А).

Тогда по формуле условной вероятности, P(B) = P(B|X)*P(X) + P(B|~X)*P(~X) = P(А)*5/6 + P(B|~X)*1/6.

Далее, если первые 2 кости были одинаковые (~Х), то пусть Y - событие, что и третья кость тоже такая же (что означает немедленный выигрыш Алисы). А если третья кость отличается от первой и второй, то мы оказываемся в той же ситуации, что после первого хода Алисы, т.е. условная вероятность победы Боба в этом случае равна P(B). Снова применяем формулу условной вероятности:
P(B|~X) = P(B|~X,Y)*1/6 + P(B|~X,~Y)*5/6 = 0*1/6 + P(B)*5/6.

Итого имеем после подстановки в первую формулу:

P(B) = P(A)*5/6 + P(B)*5/6*1/6 ==> P(A) = P(B)*31/30, т.е.
P(A) = 31/61, P(B) = 30/61.