avva | о абстрактном и осязаемом и корне из двух

Очень люблю эту задачку за её неортодоксальное, поразительное своей красотой решение.

Задача: доказать, что существуют два иррациональных числа x и y, так, что x^y (икс в степени игрек) - рациональное число.

Решение закрываю элжекатом, но если кто хочет сам подумать, не читайте эту запись дальше пока - в ней оно всё равно обсуждается.

Решение: обозначим sqrt(2) = корень из двух. Рассмотрим число X = sqrt(2)^sqrt(2).

Одно из двух: либо X - рациональное число, либо иррациональное.

Если X - рациональное число, то sqrt(2) и sqrt(2) - два иррациональных числа, одно в степени другого дают рациональное, задача решена.

Если X - иррациональное число, то заметим, что X^sqrt(2) = (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) = sqrt(2)² = 2. Таким образом, X и sqrt(2) - два иррациональных числа, одно в степени другого дают рациональное - двойку. Задача решена.

Итак, что есть примечательного в этом решении? Мы доказали, что существуют такие иррациональные x и y, что x^y - рациональное число. Но мы не показали ни одной такой пары x и y, вообще ни на шаг не приблизились к доказательству того, что вот эти конкретные x и y действительно представляют собой нужную пару.

В принципе понятно, конечно, что наше число X, по-видимому, иррациональное, и, возможно, есть способ это доказать (или нету ещё? я всё время путаюсь в том, что здесь уже умеют делать, а что нет -- кажется, иррациональность e^pi ещё не доказали, например?). Но в принципе можно себе представить ситуацию, при которой иррациональность или рациональность числа X в принципе были бы недоказуемы; это совсем маловероятно в данном случае, но в каком-нибудь несколько более сложном вполне могло бы такое произойти.

Но даже если бы в принципе невозможно было доказать, что X рационально или что X иррационально -- всё равно наше доказательство оставалось бы верным.

Казалось бы, чего особенного. Подумаешь, доказательство о существовании, не использующее конструктивного построения. Да на каждом шагу в математике. Возьми хоть существование базы у произвольного векторного пространства.

То, да не то. Существование базы требует "мощной" аксиоматической механики - аксиомы выбора. Она изначально и очевидно неконструктивна, затем и нужна. В случае нашей задачки никакой аксиомы выбора не требуется, конструктивность нарушается на гораздо более "примитивном", "осязаемом" уровне - это, может быть, и делает её столь интересной. Мы не привыкли к столь явному нарушению "осязаемости" в столь простых вещах. Нам хочется взять и "пощупать" руками наши x и y, но мы не можем.

Математик-интуиционист, последователь Брауэра, назвал бы наше доказательство неприемлемым, неверным. Проблема его не в том даже, что доказывается существование чего-то без того, чтобы привести конкретный пример. Принципы интуиционизма (а вслед за ним конструктивизма) допускают, например, конструктивные доказательства от обратного. Если бы мы предположили, что таких x и y не существует, и это предположение смогли бы конструктивным путём привести к противоречию - это было бы приемлемое с точки зрения строгого интуициониста доказательство.

Проблема в другом: в использовании принципа исключённого третьего без конструктивного его разрешения. Мы говорим: либо X рационально, либо нет. Для математика-интуициониста это утверждение имеет смысл только в том случае, когда мы можем собственно описать какую-то процедуру, позволяющую нам решить, рационально X или нет. Мы не можем разбить решение на два случая (соответствующие рациональности и иррациональности X), не давая при этом возможности решить, какой из них "в действительности" верен (и, более того, допуская, что этот вопрос в принципе может оказаться нерешаемым!).

Все эти претензии математика-интуициониста практических последствий не имеют, просто потому, что математиков-интуиционистов уже много лет как нет (а горстка конструктивистов никакой значительной роли не играет). В математике победил торжествующий платонизм, а интуиционизм изучается философами и логиками, но не используется в своей повседневной работе математиками. Я отнюдь не пытаюсь утверждать, что приведенное выше доказательство существования x и y действительно неверно или неприемлемо.

Но претензии эти, придирки гипотетического интуициониста на самом деле полезны: они помогают нам понять, что нам кажется странным, неординарным в этом доказательстве. Вот это, действительно, и кажется - это торжествующе-неконструктивное применение принципа исключённого третьего (который, напомню, гласит: "либо A, либо не-А"; "третьего" не дано).

В случае нашей задачки это скорее курьёз, забавная штука. Несколько по-другому выходит, когда речь заходит о теории вычислимости, алгоритмах, машинах Тюринга и т.п. Мне кажется, что там, или по крайней мере в философии вычислимости, вопрос конструктивности становится более релевантным, более неотложным.

Вот простой пример. Возьмём какой-то нерешённый математикой вопрос. Например:

Верно ли то, что любое чётное число может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?

Обозначим утверждение любое чётное число может быть представлено в виде суммы двух простых чисел буквой G. Теперь спросим следующее:

1. Существует ли машина Тюринга (иными словами, алгоритм), который выдаёт на выходе 1, если гипотеза G верна, и 0, если она неверна?

Казалось бы, задать этот вопрос - всё равно, что спросить "можем ли мы решить G алгоритмическим путём?" Но выясняется что это не так. Оказывается, существует тривиальный положительный ответ на вопрос 1.:

Если G верна, то возьмём в качестве нашей машины Тюринга машину, которая пишет в качестве вывода 1 и останавливается.
Если G неверна, то возьмём в качестве нашей машины Тюринга машину, которая пишет в качестве вывода 0 и останавливается.
В любом случае, существует машина Тюринга, к-я пишет 1, если G верна, и 0, если G неверна.

Мы ощущаем, что такое "решение" является обманом, подлогом. Но почему? Что здесь происходит? Что не так?

Легко увидеть аналогию с доказательством задачки про иррациональные числа. Мы не знаем, верна G или нет. Но если она верна, то мы можем сделать так-то, а если неверна, то по-другому. В результате мы получаем вполне правильное доказательство существования искомой машины, которое, тем не менее, совершенно нас не устраивает.

Проблема в том, что мы отождествляем понятия "существует алгоритм, который делает X" и "мы можем решить X алгоритмическим путём". Вышеизложенный подлог как раз и показывает, что это одождествление неправомочно. Нам недостаточно знать о существовании алгоритма; нам нужно держать "в руках" сам алгоритм.

Нам нужно конструктивное доказательство того, что существует алгоритм, решающий проблему G, и только такое доказательство мы примем в качестве верного. Неконструктивное доказательство формально верно, но мы отметаем его как бесполезное, обманное. Ситуация здесь полностью противоположна ситуации с числами.

Но вот формально выразить это "держать в руках" оказывается делом непростым. С точки зрения формальной математики мы можем пользоваться квантором существования и всё. Не поможет и мета-переход внутри самой теории вычислимости, хотя на первый взгляд он мог бы быть полезен. Мы могли бы попробовать сказать следующее: мы можем алгоритмически решить проблему G если не просто существует машина Тюринга, дающая на неё правильный ответ, а кроме того, существует другая машина Тюринга, эту первую машину правильно распознающая: говорящая нам, когда мы имеем дело с ней, а когда с какой-то другой машиной, G не решающей. Но увы, этот трюк только отодвигает некоструктивность на один уровень выше: тогда эта самая мета-машина будет существовать, но будет разной в зависимости от того, верна G или нет.

Возможно, действительно стоит попробовать подойти к теории вычислимости с точки зрения интуициониста, возможно, даже с формальным набором интуиционистской логики и методологии. Действительно ли это поможет? не знаю, и, честно говоря, сомневаюсь. Но что тогда вместо этого?

Над этим вопросом - конструктивизма в теории вычислимости, над тем, что означает в разных контекстах задать алгоритм, над разницей между существованием и "держанием в руках" - я размышляю уже больше года (не всё время, конечно - время от времени), в разных аспектах и под разными углами. Время от времени мне кажется, что я вижу что-то, какой-то многообещающий подход, нечто интересное, позволяющее подойти к этой проблеме несколько по-другому... но ни разу ничего конкретного мне получить так и не удалось.