теория чисел без комплексных
Jul. 6th, 2024 09:31 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avva(может быть интересно математикам и сочувствующим)
Я медленно читаю учебник алгебраической теории чисел (Marcus, Number Fields), просто для души. Очень нравится, как он написан, подача материала, мотивирование читателя, все такое.
При этом у меня возникла такая мысль. В процессе изучения разных конечных расширений Q автор постоянно пользуется тем фактом, что мы знаем те или иные алгебраические числа в качестве членов R или C, можем делать с ними всякие вычисления итд. В этом нет ничего плохого, но мне кажется, что в каком-то смысле это "поверхностное удобство", за которым нет глубокой нужды в этих огромных полях. Наверное, в аналитической теории чисел это совсем не так, но в алгебраической, по крайней мере в начале, должно быть возможным обойтись вообще без действительных и комплексных чисел.
Скажем, круговые поля в тексте вводятся как Q[e^(2pi*i/n)]. Это удобно: сразу очевидно, что присоединяемый элемент - n-ный корень единицы и не является m-ным корнем единицы ни для какого m < n. Мы просто "видим" это на комплексной плоскости. Но можно было бы сказать: посмотрим на многочлен x^n-1 и его поле разложения над Q. В нем нет кратных корней, так что их всего n, и поскольку они образуют конечную группу по умножению, она циклична и есть порождающий элемент. Он и будет примитивным корнем единицы порядка n, и круговое поле получаем, присоединив его, итд.
Интересно, можно ли всю книгу переписать так, вообще не упоминая R и C, и не пытаясь никаким образом "положить" алгебраические числа на числовую прямую или комплексную плоскость. Я не знаю ответа на этот вопрос - я пока ближе к началу книги, чем к концу. А может, есть учебники, именно так и написанные?
===========
Чтобы не вставать дважды, упомяну, что на днях узнал о забавном способе построения действительных чисел, отличающемся от сечений Дедекинда и фундаментальных последовательностей (Cauchy sequences). Назовем f:Z->Z почти линейной, если множество значений f(a+b)-f(a)-f(b) по всем a,b \in Z ограниченно (или конечно, что одно и то же). Две таких функции f,g эквивалентны, если множество значений f(x)-g(x) ограниченно. Классы эквивалентности и есть действительные числа.
Подробности см. тут (https://arxiv.org/pdf/math/0301015v1), а в этой обзорной статье (https://arxiv.org/pdf/1506.03467) приведены все известные построения действительных чисел, около 20 (хотя некоторые из них морально эквивалентны метрическому пополнению).
Я медленно читаю учебник алгебраической теории чисел (Marcus, Number Fields), просто для души. Очень нравится, как он написан, подача материала, мотивирование читателя, все такое.
При этом у меня возникла такая мысль. В процессе изучения разных конечных расширений Q автор постоянно пользуется тем фактом, что мы знаем те или иные алгебраические числа в качестве членов R или C, можем делать с ними всякие вычисления итд. В этом нет ничего плохого, но мне кажется, что в каком-то смысле это "поверхностное удобство", за которым нет глубокой нужды в этих огромных полях. Наверное, в аналитической теории чисел это совсем не так, но в алгебраической, по крайней мере в начале, должно быть возможным обойтись вообще без действительных и комплексных чисел.
Скажем, круговые поля в тексте вводятся как Q[e^(2pi*i/n)]. Это удобно: сразу очевидно, что присоединяемый элемент - n-ный корень единицы и не является m-ным корнем единицы ни для какого m < n. Мы просто "видим" это на комплексной плоскости. Но можно было бы сказать: посмотрим на многочлен x^n-1 и его поле разложения над Q. В нем нет кратных корней, так что их всего n, и поскольку они образуют конечную группу по умножению, она циклична и есть порождающий элемент. Он и будет примитивным корнем единицы порядка n, и круговое поле получаем, присоединив его, итд.
Интересно, можно ли всю книгу переписать так, вообще не упоминая R и C, и не пытаясь никаким образом "положить" алгебраические числа на числовую прямую или комплексную плоскость. Я не знаю ответа на этот вопрос - я пока ближе к началу книги, чем к концу. А может, есть учебники, именно так и написанные?
===========
Чтобы не вставать дважды, упомяну, что на днях узнал о забавном способе построения действительных чисел, отличающемся от сечений Дедекинда и фундаментальных последовательностей (Cauchy sequences). Назовем f:Z->Z почти линейной, если множество значений f(a+b)-f(a)-f(b) по всем a,b \in Z ограниченно (или конечно, что одно и то же). Две таких функции f,g эквивалентны, если множество значений f(x)-g(x) ограниченно. Классы эквивалентности и есть действительные числа.
Подробности см. тут (https://arxiv.org/pdf/math/0301015v1), а в этой обзорной статье (https://arxiv.org/pdf/1506.03467) приведены все известные построения действительных чисел, около 20 (хотя некоторые из них морально эквивалентны метрическому пополнению).
