задачка про карты

[avva]

Забавная задачка, которую можно решить несколькими способами, подсмотрена в твиттере.

Стандартную колоду из 52 карт тасуют, так что карты в случайном порядке, и начинают выкладывать по одной. После того, как выложен первый туз, смотрим на следующую карту. Что более вероятно - что это туз червей или двойка пик?

Comments

[f137]

Напрашивается ответ - конечно, двойка, поскольку с вероятностью 1/4 туз червей был тем самым первым.
Но, подозреваю, есть подвох, как обычно в задачках по теорверу.

[ugryumburcheev]

2П могла быть среди карт, открытых до первого туза. Собственно, вопрос в том, выше ли вероятность этого чем 1/4

[sobriquet9]

Вероятность того, что двойка пик оказалась раньше первого туза равна 1/5. В колоду из четырёх тузов можно вставить двойку пик пятью способами. В одном из них двойка пик будет раньше первого туза. Потом можно вставить в случайные места оставшиеся карты и ничего не поменяется.

Но непонятно, как это поможет решить задачу.

[ugryumburcheev]

точно :(

[livelight]

А вероятность того, что туз червей окажется первым (и, соответственно, НЕ будет лежать ПОСЛЕ первого туза), равна 1/4

[sobriquet9]

16 равновероятных вариантов порядка интересующих нас карт:

2Tттт, 2тТтт, 2ттТт, 2тттТ,
Т2ттт, т2Ттт, т2тТт, т2ттТ,
Тт2тт, тТ2тт, тт2Тт, тт2тТ,
Ттт2т, тТт2т, ттТ2т, ттт2Т,
Тттт2, тТтт2, ттТт2, тттТ2

2 это двойка пик, Т это туз червей, т это туз не червей. Оставляем только первый туз и следующую карту:

Tт, тТ, тт, тт,
Т2, т2, т2, т2,
Тт, тТ, тт, тт,
Тт, тТ, тт, тт,
Тт, тТ, тт, тт

Оставляем только варианты со второй картой Т или 2:

тТ,
Т2, т2, т2, т2,
тТ,
тТ,
тТ

Получается поровну.

[f137]

А перестановки внутри ттт не надо учитывать при подсчете числа вариантов?

[sobriquet9]

Зачем? Перестановок всегда одно и то же количество (6), на сравнение порядок других тузов не влияет.

[livelight]

Да, похоже, вы правы. Ох уж эти терверщики, вечно каких-нибудь парадоксов напридумывают!

[hard_squeeze]

Первый ответ: одинаково вероятно. Но это чисто на интуиции.

[vythe]

Условие не наложено на туз червей, оно наложено на что-то другое. В момент его выполнения любая карта Х может находиться как слева, так и справа от точки открывания карт. 2П и АЧ в этом смысле равноправны, так что вероятность одинакова.

[pmbbmw]

у 2ч было Н (<48) возможностей выбить, у туза червей только 1, значит туз более вероятен

[pmbbmw]

осталось только 4 карты: Т ч 1/4 2 0

[red_void]

Двойка вероятнее, но как это решить элегантно, не знаю. Рассуждал так.

После первого туза может равновероятно идти любая из оставшихся карт, двойка пик тут ничем не лучше других. Поэтому вероятность ее появления — 1/51.

А вот с тузом все хитрее. Вероятность того, что первый туз окажется на N-м месте в колоде, а сразу после него будет идти червовый туз, равна (3*48!*(51-N)!) / (52!*(49-N)!) = 3*(51-N)*(50-N)/(49*50*51*52).

Если вынести общий множитель 3/(49*50*51*52) за скобки и сложить по всем N от 1 до 48, получим сумму из i+i² по всем i от 2 до 49. Это вполне считается по известным (или легко выводимым) формулам, в итоге получаем 3/(49*50*51*52) * 41648 или 124944/(49*50*51*52). Это уже поддается сравнению с вероятностью для двойки пик: домножив числитель и знаменатель дроби 1/51 на 49*50*52, получим, что у двойки получится 127400 в числителе.

Но вычисления прям очень громоздкие получились. Любопытно будет увидеть эталонные решения.

[ugryumburcheev]

> После первого туза может равновероятно идти любая из оставшихся карт, двойка пик тут ничем не лучше других. Поэтому вероятность ее появления — 1/51.

Да, очевидно, что 2П тут ничем не отличается от валета бубей. Но Вы уверены, что тузы в данном случае не "равнее" всяких двоек и валетов?!

[red_void]

Да, вы правы, тут я ошибся.
В самом деле, поскольку в оставшейся части колоды заведомо есть три туза, вероятность двойки смещена по сравнению с ними. Причем это, кажется, влияет на итоговый результат.

Но вычисления тогда еще более громоздкими выходят.

[ugryumburcheev]

Разве? Если первый туз открывается с Nной попытки, то
- вероятность 2П: 1/51
- вероятность ТЧ: 3/4*1/(52-N)
Остается только просуммировать по N с весами p(N). Кстати, в случае 2П эта сумма сxлопывается до 1/51

[red_void]

> Если первый туз открывается с Nной попытки, то
> - вероятность 2П: 1/51
Вот это неверно, к сожалению.

Если первый туз открыт с N-ной попытки, то среди оставшихся 52-N карт заведомо есть еще три туза. А значит, вероятность того, что двойка пик находится в уже отложенной части колоды, равна не (N-1)/51, а (N-1)/48. Соответственно, обратная вероятность равна (49-N)/48, ну и итоговая вероятность получить двойку пик после первого туза равна (49-N)/(48*(52-N)). И вот это суммировать по всем N - уже удовольствие ниже среднего.

[ugryumburcheev]

Да, верно :(

[hard_squeeze]

Попробуем порассуждать. Пусть первый туз выпадет на шаге k, k<=48 (равенство в случае, когда последние 4 карты оказались тузами). Тогда возможны 4 случая:
1) 2П выпала раньше первого туза, первый туз=туз червей. Тогда обе вероятности строго равны нулю, поскольку следующая карта никак не может быть ни 2П, ни ТЧ.
2) 2П выпала раньше, первый туз--не туз червей. Тогда P(2П)=0, а P(ТЧ)=p1>0.
3) Первым выпал туз червей. Тогда P(ТЧ)=0, P(2П)=p1>0. Вероятности в случаях 2 и 3 одинаковы, поскольку и 2П и ТЧ--среди оставшихся карт, а поскольку они распределены совершенно случайно, то вероятность что одной, что другой, оказаться на k+1 месте--абсолютно одинакова.
4) Первым выпал туз любой другой масти. Тогда снова вероятности получить либо 2П, либо ТЧ, одинаковы.

Теперь если суммировать вероятности для 2П и ТЧ во всех случаях, чтоб получить полную вероятность, получим одинаковые значения для обоих случаев.

[svyatogorodski]

Можно также сказать, что нас интересуют только относительные положения 5 карт (120 вариантов) -- 2П и четыре туза. С 2П нас устраивают ровно 20 возможностей -- она на втором месте, вероятность 1/5. С ТЧ либо он второй, но первая не 2Ч -- (1/5-1/20), либо он третий и первая 2Ч -- 1/20. Так что правильный порядок и там, и там 1/5. Распределение остальных карт никак с этим не связано, им надо разбиться на шесть отрезков -- до первой из пяти, между первой и второй, и т.д., так что вероятность Х что ни одна из них не попадет в промежуток между первым тузом и следующей картой не зависит от распределения 5 карт, и итоговая вероятность и там, и там Х/5.

[ichthuss]

Выбросим из колоды все, кроме двойки пик и всех тузов - это оставляет ответ неизменным. Если первой картой идет ни двойка пик, ни туз червей - вероятности одинаковы. Если туз червей - вероятность для двойки 1/4, для туза 0. Если двойка пик - вероятность для двойки 0, для туза червей 1/4 (вероятность того, что он в нашей колоде третий).

[cmpax_u_pagocmb]

Если первый туз червовый (вероятность 1 из 4), то следующей картой он точно не будет.
Если же первый туз не червовый, то шансы червового будут не из 52, а из меньшего числа. Тогда как для двойки пик выборка остаётся 1 из 52.

[acelase]

Условие отжигает оставшие тузы в остаток колоды, поэтому вероятность любого туза больше, если первый туз не червей.