avva | ещё о Лжеце

В продолжение к этой записи.

Обнаружил и почитал немного докторскую диссертацию Андреаса Бека, полностью посвящённую парадоксу Лжеца. Особенно первая её часть полезна -- там вкратце пересказываются основные попытки справиться с парадоксом Лжеца, и в чём их недостатки. Не слишком технический, но достаточно строгий формальный подход тоже многое упрощает и разъясняет.

Задача в общем случае сформулирована так: требуется построить предикат истины для семантически закрытого логического языка. Под семантически закрытым языком понимается такой, в котором для каждого утверждения X в языке можно также сформулировать утверждения об истинности/ложности X, и они тоже будут в языке: т.е. "X истинно" или "X ложно" должны тоже быть утверждениями языка. Парадокс Лжеца таким образом можно рассматривать как свидетельство невозможности формулировки понятия истины в семантически закрытом языке -- по крайней мере для обычных свойств предиката истины и достаточно широкой структуры языка. В свете этого объяснения разницы в подходах между математической и философской логикой, мы видим теперь, что стандартные математические формализации логики заведомо семантически открыты, поэтому парадокс Лжеца в них и не возникает. Разные подходы к решению парадокса Лжеца, рассматриваемые Беком, являются попытками изменить либо природу предиката истинности (вводя, например, новое значение "ни истинное, ни ложное") либо структуру языка, пытаясь запретить тем или иным образом, на тех или иных основаниях, предложения типа Лжеца.

Наконец, важно отметить, что как только математическая логика впускает в свой формализм возможность семантического замыкания -- например, с помощью гёделевского кодирования утверждений числами и рассмотрения "предиката истины" phi(X), который оперирует с численным аргументом: phi(X) истинно тогда и только тогда, когда X -- код истинного утверждения -- вместе с ним возвращается и парадокс Лжеца -- и принимает форму знаменитой теоремы Тарского о невозможности определения полного "предиката истины". Собственно, доказательство теоремы Тарского как раз и есть формализованный парадокс Лжеца.

Главной целью диссертации Бека является новая попытка обойти парадокс Лжеца -- на этот раз при помощи радикального переосмысления того, как определяется предикат истинности. В версии Бека он не "индуктивен" (под индуктивностью здесь понимается разворот истинности по цепочке -- напр. для того, чтобы определить истинность утверждения "X is false", мы должны вначале определить истинность утверждения X), a "общецелен" (holistic). Утверждения рассматриваются в качестве вершин графа, а связи между ними - в качестве рёбер графа; присвоение истинности утверждениям происходит не "по одному" вследствие индуктивного процесса, а всему графу сразу. Правда, подробностей, описываемых во второй главе диссертации, я ещё не читал, поэтому своего мнения по поводу попытки Бека пока не имею.