три задачки
Oct. 15th, 2002 05:48 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТри математических задачки олимпиадного типа. Первая лёгкая, вторая и третья чуть сложней, возможно. Решения напишу через день-два, если какие-то не решат в комментах.
1. Прямая линия, пересекающая шахматную доску размером 8x8, пересекает в ней какое-то количество шахматных полей-квадратов. Условимся, что прямая пересекает квадрат, если она проходит сквозь хотя бы одну точку внутри его (точки на границе "не считаются"). Найти максимальное число квадратов, которое может пересечь прямая.
2. На плоскости с координатной сеткой рисуем круг с радиусом 2 (радиус, не диаметр!). Какое-то количество вершин координатной сетки (точек-перекрестий) окажутся внутри круга; здесь, опять-таки, точки, оказавшиеся на границы круга, "не считаются". Найти минимальное и максимальное возможное число вершин сетки, могущих попасть внутрь круга.
3. Для каждого натурального числа n определим f(n) = количество положительных делителей числа n, т.е. чисел, на которые n делится без остатка -- включая 1 и само число n. Например, f(1)=1, а f(4)=3, потому что у четвёрки есть три делителя: 1, 2 и 4.
Каждое натуральное число n порождает бесконечную последовательность такого вида: n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... То есть мы берём количество делителей последнего числа в списке и добавляем его в конец списка, потом опять берём уже его количество делителей и добавляем, и так до бесконечности.
Задание: найти (и доказать, естественно), для каких n порождаемая ими последовательность не содержит ни одного точного квадрата (т.е. числа вида k2, являющегося квадратом другого натурального числа).
1. Прямая линия, пересекающая шахматную доску размером 8x8, пересекает в ней какое-то количество шахматных полей-квадратов. Условимся, что прямая пересекает квадрат, если она проходит сквозь хотя бы одну точку внутри его (точки на границе "не считаются"). Найти максимальное число квадратов, которое может пересечь прямая.
2. На плоскости с координатной сеткой рисуем круг с радиусом 2 (радиус, не диаметр!). Какое-то количество вершин координатной сетки (точек-перекрестий) окажутся внутри круга; здесь, опять-таки, точки, оказавшиеся на границы круга, "не считаются". Найти минимальное и максимальное возможное число вершин сетки, могущих попасть внутрь круга.
3. Для каждого натурального числа n определим f(n) = количество положительных делителей числа n, т.е. чисел, на которые n делится без остатка -- включая 1 и само число n. Например, f(1)=1, а f(4)=3, потому что у четвёрки есть три делителя: 1, 2 и 4.
Каждое натуральное число n порождает бесконечную последовательность такого вида: n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... То есть мы берём количество делителей последнего числа в списке и добавляем его в конец списка, потом опять берём уже его количество делителей и добавляем, и так до бесконечности.
Задание: найти (и доказать, естественно), для каких n порождаемая ими последовательность не содержит ни одного точного квадрата (т.е. числа вида k2, являющегося квадратом другого натурального числа).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-10-15 09:59 am (UTC)Типа, для доски MxN должно получиться M+N-1.
2. Если 2 - радиус, а не диаметр, то минимум - 9 (единственное положение: небольшой сдвиг в любом направлении увеличивает число захваченных вершин как минимум на одну), максимум - 14. Потребовалось показать, что
(2 - sqrt(7)/2)^2 + (3/2)^2 < 2^2, а также
(3 - sqrt(7)/2)^2 + (1/2)^2 < 2^2.
Re:
Date: 2002-10-15 12:27 pm (UTC)2. Да, верно! Но Вы забыли привести сами положения?
Re:
Date: 2002-10-15 12:51 pm (UTC)2. 9 - центр круга в узле сетки.
14 - поместим центр круга в середину клетки координатной сетки, тогда внутрь круга попадает 12 точек; смещаем круг параллельно линиям сетки так, чтобы попали еще две точки. Два неравенства доказывают, что другие точки из круга не "потерялись".